成人高考数学文史财经类平面解析几何 9页

第十章 平面向量 ‎§10.1 向量及其线性运算 一、向量 ‎1.向量的概念 既有大小又有方向的量叫向量 ‎2.向量的几何表示 常用有向线段表示向量，在符号上可用小写黑体单字母、、等 ；大写黑体单字母A、B、C等，带箭头的双字母，带点单字母、、等表示。零向量表示为 ‎3.向量的模与夹角 ‎ ‎(1)向量的模 向量的大小叫做向量的模，记作、等。‎ 模为零的向量是零向量，模为1的向量叫单位向量。‎ ‎ (2)向量相等 模相等,方向相同的向量叫相等向量,是相等向量记为 ‎ 长度相等、方向相同的有向线段，无论起点是否相同，都是相等向量 ‎ (3)向量的夹角 将或平移,使它们的起点重合,它们的方向间的夹角叫的夹角,记为 ‎ (4)向量共线 如果向量的夹角等于0或，叫向量共线，记为。零向量与任何向量共线，如等。‎ ‎ 共线向量的有向线段所在的直线可以重合，也可以平行 二、向量的线性运算 向量的加减应遵循平行四边形法则 ‎1.向量的加法 向量之和是以这两向量作两边的平行四边形的对角线向量，也就是:将向量的起点移至向量的终点，再从向量的起点向向量的终点引向量，.‎ ‎2.向量的减法 向量减去向量等于向量加上的反向量，即。与向量模相等而方向相反的向量叫的反向量。或者说从的终点向量的终点引出的向量为 ‎3.数乘向量 实数与向量的乘积是一个向量，记作，它的模是。当时，与方向相同；当时，与方向相反。‎ 数乘向量的运算法则是：‎ ‎(1), (2) (3) (4) ‎ ‎2.向量共线的充要条件 非零向量共线的充要条件是存在实数,使得 例[P.132例1.(1) 1.] 已知，，，求的D点坐标.‎ 解 ，故D点坐标为（见上图）.‎ 例 向量的模，方向60º向量的模，方向0º，求和 解 ‎ 的模是 ‎ 的方向是 ‎ 的模是 ‎ 的方向是 ‎ 三、平面向量的分解定理 如果，是同一平面内两个不共线的非0向量，那么这个平面内的任一向量,有且只有一对实数、，。，称为表示这一平面内所有向量的基底．‎ ‎       这就表明：平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示．‎ ‎§10.2 向量的坐标运算和数量积 一、平面向量的坐标运算 ‎1.平面向量的坐标 在直角坐标系中,设向量的起点在坐标原点,终点A的坐标为,与轴和轴正方向相同的单位向量分别为,则由平面向量的分解定理,向量可以表示为 ‎， 记为. 称为向量坐标,,分别是向量的坐标,坐标.‎ ‎ 若向量的起点不在坐标原点，起点的坐标，终点的坐标，则向量表示为：‎ ‎ 或 或 ‎ ‎2.数量积的定义 设、b是两个非0向量,它们的夹角为,则与b的数量积(也叫内积)为：‎ 数量积的几何意义是 数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积 数量积的运算法则 (1) (2) (3)‎ ‎3.向量的坐标运算 设向量，‎ ‎(1)加法运算 ‎ ‎(2)减法运算 ‎ ‎(3)数乘运算 ‎ ‎(4)内积运算 ‎ ‎(5)共线向量 ,的充要条件是（向量共线的充要条件是矢量积为零，也即对应坐标成比例）‎ ‎(6)垂直向量 ，的充要条件是（向量垂直的充要条件是数量积为零，也即对应坐标之积为0）‎ ‎(7)向量的模 ，则向量可用直角坐标系中的向量表示，=，‎ 例 已知,求,,.‎ 解 ‎ 例 求过点N且垂直于向量的直线方程 解 在所求直线上任取一点(M不与N重合)，则，，即 ‎ ‎ ‎ 所求直线方程为 例 求过点N且平行于向量的直线方程 解 在所求直线上任取一点(M不与N重合)，则，因，故 ‎ 所求直线方程为:, ‎ 例 已知向量，向量与方向相反，并且，则等于。‎ ‎ 解 设，因向量与方向相反（一种平行），故，即，‎ ‎ 将①与②组成方程组： ，解得：，故 也可这样简单分析求解：‎ 因，，是的二倍，与方向相反，故 二、距离公式、中点公式和平移公式 ‎1.距离公式 ‎ ‎2.中点公式 ‎ ‎3.平移公式 ‎ ‎(1)平移 把平面内图形上的每一点按照同一方向移动相同的长度(即按向量平移),得到图形,我们把这一过程叫做图形G的平移.‎ ‎(2)平移公式 设是图形G上的任意一点，与它对应的向量，把它按向量平移后，在图形上的对应点为，这时，，由图得 用坐标表示为: , ‎ 由此得 上面公式表示图形中的每一点按向量平移 后,新坐标为.‎ 例 若点按平移的坐标为；求的坐标； 若点按平移至,求 解 故的坐标为(-6,13)；‎ ‎ 设,则，，故 ‎【练习】‎ ‎（1） 已知，，求的A点坐标.‎ ‎ ‎ ‎（2）如果向量，，求 第十一章 直线 ‎§11.1 直线 直线是在平面或空间沿着一定方向和其相反方向运动的点的轨迹. 直线沒有粗细、沒有端点、沒有方向性、具有无限的長度、具有确定的位置.‎ 一、直线的倾角和和斜率 ‎1.直线的倾角 一条直线向上的方向与轴正方 向所成的最小正角叫做这条直线的倾角,如图12.2中 的,显然, 的的取值范围是.‎ ‎2.直线的斜率 当直线的倾角不是90º时,直线的 斜率是直线倾角的正切,常用表示,即 ‎3.过两点的直线斜率公式 过两点,‎ 的直线的斜率公式为: ‎ ‎4.直线的截距 在平面直角坐标系中,直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距(或称纵截距), ,直线与轴的交点的横坐标叫做直线在轴上的截距(或称横截距).二者统称为直线的截距.如图12.1中直线在轴上的截距为,直线在轴上的截距为.‎ 二、直线方程 ‎（一）直线方程的几种形式 ‎1.点斜式 ，如斜率为,过点(1,4)的直线方程为 ‎2.斜截式 , 如斜率为,轴上的截距为6的直线方程为 ‎3.二點式 ，如. ‎ ‎4.截距式 ()，（从上图得，，）‎ 如过点（0，–3）、（5，0）的直线方程为 ‎5.一般形式 ，如 ‎6..参数式 .是直线上的一个点，直线的斜率是 ‎7.法线式 cosθ+sinθ-= 0. 其中p为原点到直线的距离，θ为法线与轴正方向的夹角 ‎8.向量式 ‎（二）特殊位置的直线方程 ,,,‎ 例 求下列直线方程 ‎（1）过点，斜率为；（2）横截距为5，纵截距库为4；（3）过点 解（1），‎ ‎ （2），‎ ‎ （3），‎ ‎§11.2 点、直线间的关系 设两条直线的方程为和点分别为 ‎；‎ ‎（一）两条直线平行 ‎ 直线平行的充要条件是倾角相同或斜率相等,表为 例 求过点(0,1)且与直线的平行的直线方程.‎ 解 过点(0,1)且与直线的平行的直线方程的直线方程的斜率为,由直线的点斜式方程得过点(0,1)且与直线的平行的直线方程为:,即.‎ 直线重合的充要条件是倾角相同与纵截距相等,表为 ‎（二）两条直线垂直 直线垂直的充要条件是斜率互为负倒数,表为 或 ‎ 例[P117例5(2)] 已知,,求线段MN的垂直平分线方程 解法一 ，解得：‎ 解法二 线段所在直线的斜率是，故线段的垂直平分线的斜率是1，线段 的垂直平分线经过线段的中点，线段的中点的坐标是，即，故由点斜式方 程得线段的垂直平分线方程为：，即.‎ 例 求点关于直线:的对称点的坐标.‎ 解 直线的斜率为,‎ 直线的斜率为,,.‎ ‎ .(图12.3)‎ ‎,得:,‎ 点的坐标为:‎ ‎（三）夹角 把按逆逆时针方向旋转到与重合时所转的角叫做到的角, 把按逆逆时针方向旋 转到与重合时所转的角叫做到的角. 到的角与到的角中小于或等于90º的正角叫与的夹角.‎ ‎, ‎ 因为,所以必须,故 若与的夹角为90º,则.‎ 例 求(1)与的夹角,(2) 与的夹角 解 (1)，，‎ ‎ (2)，，‎ ‎（四）点到直线的距离、两平行在线间的距离 点到直线的距离为:.(A、B不同时为0或都不为0)；‎ 两平行直线(:；:)间的距离：‎ 例 求点P(-1，2)分别到(1)2x+y-10=0，(2)3x=2的距离．(3) 求2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离.‎ 解：(1)根据点到直线的距离公式，得 ‎(2)直线3x=2即,‎ ‎(3) ‎ 例 求直线关于点对称的直线的方程. ‎ 解 方法一：‎ 由于直线与直线平行，故设直线方程为。因点P到两直线的距离相等，故：‎ ‎，解得：，（不合题意，舍去）。‎ 故所求直线的方程为。‎ 方法二：‎ ‎　　 设直线 上任一点的坐标为，它在直线上的对称点的坐标为，则 ‎ ，，由此解得，‎ 因点在直线上，故，即 ‎ ‎　 所以，所求直线的方程为 ‎ 第十二章 圆锥曲线 ‎§12.1 曲线与方程、圆 一、 曲线和方程的关系 ‎ 一曲线上的点的坐标都是一个二元方程的解,而二元方程的解为坐标的点都在曲线上,则称方程为曲线的方程.‎ 如与坐标原点距离为5的点的集合是一个圆心在原点半径为5的圆,而满足方程的所有都在圆心在原点半径为5的圆上,所以方程是圆心在原点半径为5的圆的方程.‎ 二、曲线的交点 ‎ ‎ 设两曲线的方程分别为,如果有交点,那么交点的坐标就是的一组实数解, 有多少个实数解, 就有多少个交点；若没有实数解,‎ 就没有交点.‎ 如与的解是 和,‎ 因此它们的的交点是和.‎ 三、圆 ‎（一）定义 ‎ 平面内与定点距离等于定长的点的轨迹是圆，定点是圆心，定长是半径。如方程是圆心在原点，半径为5的圆的圆的方程.‎ ‎（二）、圆的方程 ‎ ‎1. 圆的标准方程 圆心为，半径为的圆的标准方程为：‎ 如与分 别表示圆心坐标为和，半径为5的圆 的标准方程 例 求过点与点，圆心在 轴上的圆的标准方程 解 线段的中点的坐标是 ‎ ,‎ 线段所在的直线的斜率是 与垂直的直线的斜率是 的方程是:, ‎ 所求圆的圆心为轴与的交点,即,该点与点的距离的平方为,所以,所求圆的方程为 ‎2.圆的一般方程 圆的一般方程是个二元二次方程：‎ 其特征是的系数相同,不等于0，没有项,而且，用配方法可把圆的一般方程化为标准方程 此时的圆是以为圆心,以为半径的圆 例 将圆的一般方程化化为标准方程 解 ‎ ‎ ‎ ‎（三）圆的确定 确定圆的标准方程的三个参数是, 确定圆的一般方程的三个参数是 ‎ ‎（四）圆与直线的关系 设是圆上的任意一点,过点P的切线垂直于OP，由于OP的斜率,为故点的切线的斜率是,由直线的点斜式方程可知过点的切线方程为 化简，并注意是圆上的一点，‎ 可得: ‎ 这就是过圆上一点的切线方程 例 求过圆上点的切线方程 解 由所求圆的切线方程是:,即 例 判断直线与圆的位置关系 解 由得：，将代入得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以，直线与圆有一交点，故直线与圆相切。‎ ‎ 说明：①直线方程与圆方程联解有两个相同的解，则直线与圆相切；‎ ‎ ②直线方程与圆方程联解有两个不同的解，则直线与圆相交；‎ ‎③直线方程与圆方程联解无解，则直线与圆相离。‎