2020年高中数学第一章算法初步 5页

‎1.3 算法案例 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　学业水平达标]‎ ‎1．用辗转相除法求35和134的最大公约数，第一步是(　　)‎ A．134－35＝99　　　　　 B．134＝35×3＋29‎ C．先除以2，得到18和67 D．35＝25×1＋10‎ 解析：按照辗转相除法的算法步骤，先用大数除以小数，故选B.‎ 答案：B ‎2．下列各数转化成十进制后最小的数是(　　)‎ A．111 111(2) B．210(6)‎ C．1 000(4) D．81(9)‎ 解析：A项，将111 111(2)转化为十进制数为111 111(2)＝1×25＋1×24＋1×23＋1×22＋1×2＋1×20＝32＋16＋8＋4＋2＋1＝63；B项，将210(6)转化为十进制数为210(6)＝2×62＋1×61＋0×60＝78；C项将1 000(4)转化为十进制数为1 000(4)＝1×43＋0×42＋0×41＋0×40＝64；D项，将81(9)转化为十进制数为81(9)＝8×91＋1×90＝73，比较这四个数，78＞73＞64＞63，即A项转化为十进制数之后表示的数最小．‎ 答案：A ‎3．利用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1，当x＝4时的值，需要做乘法和加法的次数分别为(　　)‎ A．6,6　　　　　　 B．21,6‎ C．5,6 D．6,5‎ 解析：用秦九韶算法计算多项式的值时，‎ 计算的乘法的次数与多项式的未知数的最高次项的指数相同，‎ ‎∴一共进行了6次乘法运算，‎ 加法运算的次数在多项式有常数项的条件下与乘法的次数相同，‎ ‎∴一共进行了6次加法运算，‎ 故答案为A.‎ 答案：A ‎4．把89化成五进制数的末位数字为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：89÷5＝17……4, 17÷5＝3……2,3÷5＝0……3，所以把89化成五进制数为324(5)‎ 答案：D ‎5．下列结论正确的是(　　)‎ 5‎ A．88(9)<210(6) B．62＝124(5)‎ C．110(2)>10(3) D．32(4)＝23(6)‎ 解析：对于A：‎ 因为88(9)＝8×9＋8×90＝80，‎ ‎210(6)＝2×62＋1×6＋0×60＝78,80>78，‎ 所以A错误．‎ 对于B：因为124(5)＝1×52＋2×5＋4×50＝39≠62，‎ 所以B错误．‎ 对于C：因为110(2)＝1×22＋1×2＋0×20＝6，‎ ‎10(3)＝1×3＋0×30＝3,6>3，‎ 所以C正确．‎ 对于D：因为32(4)＝3×4＋2×40＝14，‎ ‎23(6)＝2×6＋3×60＝15,14≠15，‎ 所以D错误．‎ 答案：C ‎6．用辗转相除法求得数98与63的最大公约数是________．‎ 解析：98＝63×1＋35,63＝35×1＋28,35＝28×1＋7,28＝4×7＋0.所以最大公约数为7.‎ 答案：7‎ ‎7．25(7)＝________(2)．‎ 解析：因为根据除k取余法，得到25(7)＝1 011(2)．‎ 答案：1 011‎ ‎8．读程序：‎ 5‎ 若在INPUT语句中输入m，n的数据分别是72,168，则程序运行的结果为__________．‎ 解析：程序是求n的最大公约数．‎ 答案：24‎ ‎9．用秦九韶算法求多项式f(x)＝5x5－4x4＋3x2＋8x－6，当x＝3时的值．‎ 解析：f(x)＝5x5－4x4＋3x2＋8x－6‎ ‎＝((((5x－4)x＋0)x＋3)x＋8)x－6，‎ 当x＝3时，‎ v0＝5，‎ v1＝5×3－4＝11，‎ v2＝11×3＋0＝33，‎ v3＝33×3＋3＝102，‎ v4＝102×3＋8＝314，‎ v5＝314×3－6＝936.‎ ‎∴f(3)＝936.‎ ‎10．用辗转相除法求下列两数的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果．‎ ‎(1)80,36；　(2)294,84.‎ 解析：(1)80＝36×2＋8,36＝8×4＋4,8＝4×2，即80与36的最大公约数是4.‎ 验证：80－36＝44,44－36＝8,36－8＝28,28－8＝20,20－8＝12,12－8＝4,8－4＝4，‎ 故80与36的最大公约数为4.‎ ‎(2)294＝84×3＋42,84＝42×2，即294与84的最大公约数是42.‎ 验证：∵294与84都是偶数，可同时除以2，∴取147与42的最大公约数后再乘以2.‎ ‎147－42＝105,105－42＝63,63－42＝21,42－21＝21，‎ ‎∴294与84的最大公约数为21×2＝42.‎ ‎[B组　应考能力提升]‎ ‎1．计算机中常用十六进制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号与十进制得对应关系如下表：‎ 例如用十六进制表示有D＋E＝1B，则A×B＝(　　)‎ A．6E　　　　　 B．‎‎7C C．‎5F D．B0‎ 解析：∵表格中A对应的十进制数为10，B对应的十进制数为11，‎ 5‎ ‎∴A×B＝10×11，‎ 由十进制表示为：10×11＝6×16＋14，‎ 又表格中E对应的十进制为14，‎ ‎∴用十六进制表示A×B＝6E.故选A 答案：A ‎2．已知多项式f(x)＝4x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8，用秦九韶算法计算f(5)时的v1值为(　　)‎ A．22 B．564.9‎ C．20 D．14 130.2‎ 解析：根据秦九韶算法，把多项式改写为f(x)＝((((4x＋2)x＋3.5)x－2.6)x＋1.7)x－0.8；按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝5时的值：v0＝4，v1＝4×5＋2＝22.‎ 答案：A ‎3．下列各数85(9)，210(6)，1 000(4)，111 111(2)中最小的数是________．‎ 解析：将题中四个数化为十进制数．‎ ‎85(9)＝8×91＋5×90＝72＋5＝77；‎ ‎210(6)＝2×62＋1×6＋0＝72＋6＝78；‎ ‎1 000(4)＝1×43＝64；‎ ‎111 111(2)＝25＋24＋23＋22＋21＋20＝63.‎ 答案：111 111(2)‎ ‎4．已知n次多项式Pn(x)＝a0xn＋a1xn－1＋…＋an－1x＋an.如果在一种算法中，计算x(k＝2,3,4，…，n)的值需要k－1次乘法，计算P3(x0)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算Pn(x0)的值共需要__________次运算．‎ 下面给出一种减少运算次数的算法：P0(x)＝a0，‎ Pk＋1(x)＝xPk(x)＋ak＋1(k＝0,1,2，…，n－1)．利用该算法，计算P3(x0)的值共需要6次运算，计算Pn(x0)的值共需要__________次运算．‎ ‎(参考公式：1＋2＋3＋…＋n＝ )‎ 解析：Pn(x0)＝a0x＋a1x＋…＋an－1x0＋an，共需n次加法运算，每个小因式中所需乘法运算依次为n，n－1，…，1,0.故总运算次数为n＋n＋(n－1)＋…＋1＝n＋＝n(n＋3)．‎ 第二种算法中，P0(x0)＝a0，不需要运算，P1(x0)＝x0P0(x0)＋a1需2次运算， P2(x0)＝x0P1(x0)＋a2需2＋2次运算，依次往下，Pn(x0)需2n次运算．‎ 5‎ 答案：n(n＋3)　2n ‎5．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x，当x＝3时的值．‎ 解析：由f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，‎ ‎∴y1＝7×3＋6＝27；‎ ‎ y2＝27×3＋5＝86；‎ y3＝86×3＋4＝262；‎ y4＝262×3＋3＝789；‎ y5＝789×3＋2＝2 369；‎ y6＝2 369×3＋1＝7 108；‎ y7＝7 108×3＝21 324；‎ ‎∴ f(3)＝21 324. ‎ ‎6．若二进制数100y 011和八进制数x03相等，求x＋y的值．‎ 解析：100y 011(2)＝1×26＋y×23＋1×2＋1＝67＋8y，‎ x03(8)＝x×82＋3＝64x＋3，‎ ‎∴8y＋67＝64x＋3.‎ ‎∵y可取0,1，x可以取1,2,3,4,5,6,7，‎ y＝0时，x＝1；y＝1时，64x＝72无解；‎ ‎∴x＋y＝1.‎ 5‎