高中数学第7章（第12课时）简单的线性规划2 7页

课 题：7.4简单的线性规划（二）‎ 教学目的：‎ ‎1．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；‎ ‎2．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题 ‎3．培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力 教学重点：用图解法解决简单的线性规划问题.‎ 教学难点：准确求得线性规划问题的最优解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：‎ 一、复习引入： ‎ ‎1．二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）‎ 由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）‎ ‎2．先分别作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三条直线，再找出不等式组所表示的平面区域（即三直线所围成的封闭区域）.再作直线:2x+y=0 ‎ 然后，作一组与直线的平行的直线：:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线），从而观察t值的变化： ‎ 二、讲解新课：‎ ‎1. 请同学们来看这样一个问题:‎ 设t=2x+y，式中变量x、y满足下列条件 ‎ 求t的最大值和最小值 分析：从变量x、y所满足的条件来看，变量x、y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC.‎ 作一组与直线的平行的直线：:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线），从而观察t值的变化： ‎ 从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0，y=0时，t=2x+y=0.‎ 点（0，0）在直线：2x+y=0上.‎ 作一组与直线平行的直线（或平行移动直线):2x+y=t,t∈R.‎ 可知，当在的右上方时，直线上的点（x,y)满足2x+y＞0,‎ 即t＞0.‎ 而且，直线往右平移时，t随之增大（引导学生一起观察此规律）.‎ 在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于的直线中，以经过点B（5，2）的直线所对应的t最大，以经过点A（1，1）的直线所对应的t最小.所以： =2×5+2=12,=2×1+3=3 ‎ ‎2. 目标函数, 线性目标函数线性规划问题,可行解，可行域, 最优解:‎ 诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数 另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.‎ 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题 那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解 ‎，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解 三、讲解范例：‎ 例1 已知x、y满足不等式组，试求z=300x+900y的最大值时的整点的坐标，及相应的z的最大值 分析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z=300x+900y取最大值时的整点 ‎ 解：如图所示平面区域AOBC，点A（0，125），点B（150，0），点C的坐标由方程组 得C（），‎ 令t=300x+900y，‎ 即y=-,‎ 欲求z=300x+900y的最大值，即转化为求截距的最大值，从而可求t的最大值，因直线y=-与直线y=-x平行，故作与y=-x的平行线，当过点A（0，125）时，对应的直线的截距最大，所以此时整点A使z取最大值，zmax=300×0+900×125=112500 ‎ 例2求z=600x+300y的最大值，使式中的x,y满足约束条件的整数值.‎ 分析：画出约束条件表示的平面区域即可行域再解.‎ 解：可行域如图所示：‎ 四边形AOBC，易求点A（0，126），B（100，0）由方程组：‎ 得点C的坐标为（69,91)‎ 因题设条件要求整点（x,y)使z=600x+300y取最大值，将点（69，91），（70，90）代入z=600x+300y，可知当时，z取最大值为zmax=600×70+300×900=69000 ‎ 例3 已知x、y满足不等式,求z=3x+y的最小值 分析：可先找出可行域，平行移动直线l0:3x+y=0，找出可行解，进而求出目标函数的最小值 解：不等式x+2y≥2，表示直线x+2y=2上及右上方的点的集合；‎ 不等式2x+y≥1表示直线2x+y=1上及右上方的点的集合.‎ 可行域如图所示：‎ 作直线:3x+y=0，作一组与直线平行的直线:3x+y=t,(t∈R) ‎ ‎∵x、y是上面不等式组表示的区域内的点的坐标.‎ 由图可知：‎ 当直线:3x+y=t通过P（0，1）时，t取到最小值1，即zmin=1.‎ 评述：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：‎ ‎（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；‎ ‎（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；‎ ‎（3）在可行域内求目标函数的最优解 四、课堂练习：‎ ‎1．请同学们结合课本P64练习1来掌握图解法解决简单的线性规划问题.‎ ‎（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y 满足约束条件 解：不等式组表示的平面区域如图所示：‎ 当x=0,y=0时，z=2x+y=0‎ 点（0，0）在直线:2x+y=0上.‎ 作一组与直线平行的直线 ‎:2x+y=t,t∈R. ‎ 可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于的直线中，以经过点A（2，-1）的直线所对应的t最大.‎ 所以zmax=2×2-1=3.‎ ‎（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件 解：不等式组所表示的平面区域如图所示：‎ 从图示可知，直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（）的直线所对应的t最大.‎ 所以zmin=3×(-2)+５×(-1)=-11.‎ zmax=3×+5×=14 ‎ 五、小结 ：用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：‎ ‎1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）;‎ ‎2.设t=0，画出直线 ‎ ‎3.观察、分析，平移直线，从而找到最优解 ‎4.最后求得目标函数的最大值及最小值 六、课后作业：‎ ‎1.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6000元，运费不超过2000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？‎ 分析：将已知数据列成下表 甲原料（吨）‎ 乙原料（吨）‎ 费用限额 成本 ‎1000‎ ‎1500‎ ‎6000‎ 运费 ‎500‎ ‎400‎ ‎2000‎ 产品 ‎90‎ ‎100‎ 解：设此工厂每月甲、乙两种原料各x吨、y吨，生产z千克产品，则：‎ z=90x+100y ‎ 作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域：‎ 由 ‎ 令90x+100y=t，作直线:90x+100y=0即9x+10y=0的平行线90x+100y=t，当90x+100y=t过点M（）时，直线90x+100y=t中的截距最大.‎ 由此得出t的值也最大，最大值zmax=90×=440.‎ 答：工厂每月生产440千克产品.‎ ‎2.某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？‎ 解：设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张 则 目标函数为：z=2x+3y 作出可行域： ‎ 把直线：2x+3y=0向右上方平移至的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=2x+3y取最大值 解方程得M的坐标为（2，3）.‎ 答：每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润 七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎ ‎ ‎