2020_2021学年新教材高中数学第4章指数与对数4 9页

‎4.2.2　‎对数的运算性质 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1．掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行对数的有关运算．(重点)‎ ‎2．了解换底公式．‎ ‎3．能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数．(难点)‎ 通过学习本节内容，提升学生的数学运算和数学建模的核心素养．‎ 回顾指数性质：(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．那么对数有哪些性质？如loga(MN)＝？‎ ‎1．符号表示 如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 ‎(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；‎ ‎(2)loga＝logaM－logaN；‎ ‎(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．‎ ‎2．文字表述 ‎(1)两正数的积的对数等于这两个正数的对数的和；‎ ‎(2)两正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；‎ ‎(3)一个正数的n次幂的对数等于n倍的该数的对数．‎ ‎3．换底公式 一般地，我们有logaN＝，(其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1)，这个公式称为对数的换底公式．‎ ‎4．与换底公式有关的几个结论 ‎(1)loga b·logb a＝1(a，b>0且a，b≠1)；‎ ‎(2) ＝loga b(a，b>0且a，b≠1，m≠0)．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)积、商的对数可以直接化为对数的和、差． (　　)‎ - 9 -‎ ‎(2)logax·logay＝loga(x＋y)． (　　)‎ ‎(3)loga(－2)4＝4loga(－2)． (　　)‎ ‎[提示]　根据对数的运算性质，只有正数积、商的对数才可以直接化为对数的和、差，(1)错误，(2)错误，(3)中－2不能作真数．‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×‎ ‎2．(1)log2 25－log2 ＝　　　　；(2)log2 8＝　　　　．‎ ‎(1)2　(2)3　[(1)log2 25－log2 ＝log2 25×＝log2 4＝log2 22＝2log2 2＝2．‎ ‎(2)log2 8＝log2 23＝3log2 2＝3．]‎ ‎3．若lg 5＝a，lg 7＝b，用a，b表示log75＝　　　　．‎ 　[log75＝＝．]‎ 对数运算性质的应用 ‎【例1】　计算下列各式的值：‎ ‎(1)lg 2＋lg 5；(2)log535＋2log－log5 －log5 14；‎ ‎(3)[(1－log6 3)2＋log6 2·log6 18]÷log6 4．‎ ‎[思路点拨]　根据对数的运算性质，先将式子转化为只含有一种或几种真数的形式再进行计算．‎ ‎[解]　(1)lg 2＋lg 5＝lg (2×5)＝lg 10＝1．‎ ‎(2)原式＝log5 ＋2log2＝log5 53－1＝2．‎ ‎(3)原式＝[(log6 6－log6 3)2＋log6 2·log6(2·32)]÷log6 4‎ ‎＝÷log6 22‎ ‎＝[(log6 2)2＋(log6 2)2＋2log6 2·log6 3]÷2log6 2‎ ‎＝log6 2＋log6 3＝log6(2·3)＝1．‎ ‎1．对于同底的对数的化简常用的方法 ‎(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；‎ ‎(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．‎ - 9 -‎ ‎2．注意对数的性质的应用，如loga1＝0，logaa＝1，a＝N．‎ ‎3．化简的式子中有多重对数符号时，应自内向外逐层化简求值．‎ ‎1．计算下列各式的值：‎ ‎(1)lg －lg ＋lg ；‎ ‎(2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2；‎ ‎(3)2log32－log3＋log38－5．‎ ‎[解]　(1)法一：原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)‎ ‎＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5‎ ‎＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)‎ ‎＝lg 10＝．‎ 法二：原式＝lg －lg 4＋lg 7 ‎＝lg ＝lg (·)＝lg ＝．‎ ‎(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3．‎ ‎(3)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1．‎ ‎【例2】　化简：‎ ‎(1)log2(28×82)；(2)用lg 2和lg 3表示lg 24；‎ ‎(3)用loga x，loga y，loga z表示loga(xy2z)．‎ ‎[思路点拨]　将需表示式子中的真数用已知的式子中的真数表示出来．‎ ‎[解]　(1)log2(28×82)＝log2[28×(23)2]＝log2(28＋3×2)＝log2 214＝14．‎ ‎(2)lg 24＝lg (3×8)＝lg 3＋lg 8＝lg 3＋3lg 2．‎ ‎(3)loga(xy2z)＝loga x＋loga y2＋loga z＝loga x＋2loga y－loga z．‎ ‎1．这类问题一般有两种处理方法 - 9 -‎ 一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；‎ 另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．要特别注意loga(MN)≠loga M·loga N，loga(M±N)≠loga M±loga N．‎ ‎2．对数的运算性质的推广：＝loga b(a，b>0且a，b≠1，m≠0)．‎ ‎2．化简：‎ ‎(1)log (45×82)；(2)log 27－log 9；‎ ‎(3)用lg x，lg y，lg z表示lg ．‎ 换底公式及其应用 ‎【例3】　(1)已知‎3a＝5b＝c，且＋＝2，则c的值为　　　　．‎ ‎(2)已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py．‎ ‎①求p；‎ ‎②证明：－＝．‎ ‎[思路点拨]　用换底公式统一底数再求解．‎ ‎(1)　[由‎3a＝5b＝c，得a＝log‎3c，b＝log‎5c，所以＝logc3，＝logc5．又＋＝2，所以logc3＋logc5＝2，即logc15＝2，c＝．]‎ ‎(2)[解]　①设3x＝4y＝6z＝k(k＞1)，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，由2x＝py，得2log3k＝plog4k，‎ 解得p＝2log34＝4log32．‎ ‎②证明：－＝－ - 9 -‎ ‎＝logk6－logk3＝logk2，‎ 而＝＝logk4＝logk2．‎ 故－＝．‎ ‎1．换底公式即将底数不同的对数转化成底数相同的对数，从而进行化简、计算或证明．换底公式应用时，一般换成以10为底的常用对数，或以e为底的自然对数，但也应该结合已知条件来确定．‎ ‎2．换底公式推导出的两个恒等式：‎ ‎(1)＝loga N；‎ ‎(2)loga b·logb a＝1，要注意熟练应用．‎ ‎3．计算：(log2 125＋log4 25＋log8 5)(log5 2＋log25 4＋log125 8)．‎ 对数运算在实际问题中的应用 ‎【例4】　2019年我国国民生产总值为a亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年，我国国民生产总值是2019年的2倍？(已知lg 2≈0．301 0，lg 3≈0．477 1，lg 1．08≈0．033 4，精确到1年)‎ ‎[思路点拨]　认真分析题意，找出其中各量之间的关系，列出式子，并利用对数运算求解．‎ ‎[解]　设经过x年，我国国民生产总值是2019年的2倍．‎ 经过1年，总产值为a(1＋8%)，‎ 经过2年，总产值为a(1＋8%)2，‎ ‎……‎ 经过x年，总产值为a(1＋8%)x．‎ 由题意得a(1＋8%)x＝‎2a，即1．08x＝2，‎ - 9 -‎ 两边取常用对数，得lg 1．08x＝lg 2，‎ 则x＝≈≈9(年)．‎ 答：约经过9年，国民生产总值是2019年的2倍．‎ 解对数应用题的步骤 ‎4．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的(结果保留1位有效数字)？(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)‎ ‎[解]　假设经过x年，该物质的剩余量是原来的，‎ 根据题意得：0.75x＝，‎ ‎∴x＝log0.75 ＝－＝－≈4．‎ 故估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的．‎ 利用对数运算性质解简单的对数方程 ‎[探究问题]‎ ‎1．对数的运算性质有哪些？‎ ‎[提示]　loga (MN)＝loga M＋loga N，loga ＝loga M－loga N，loga b＝，loga Mn＝nloga M，＝loga b．‎ ‎2．解对数方程loga M＝loga N应注意什么？‎ - 9 -‎ ‎[提示]　 ‎【例5】　已知lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，求log的值．‎ ‎[思路点拨]　根据对数的运算性质得到x，y的关系式，解方程即可．‎ ‎[解]　lg x＋lg y＝lg (xy)＝2lg (x－2y)＝lg (x－2y)2，‎ 由题知，xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，‎ ‎∴－5＋4＝0，‎ ‎∴＝0，故＝1或4．‎ 又当x＝y时，x－2y＝－y<0，故舍去，∴＝4．‎ ‎∴log ＝log 4＝－2．‎ 解含对数式的方程应注意的两点 ‎(1)对数的运算性质；‎ ‎(2)对数中底数和真数的范围限制．‎ ‎1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．‎ ‎2．运用对数的运算性质应注意：‎ - 9 -‎ ‎(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．‎ ‎(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．‎ ‎(3)在运算过程中避免出现以下错误：‎ ‎①logaNn＝(logaN)n；②loga(MN)＝logaM·logaN；③logaM±logaN＝loga(M±N)．‎ ‎1．若a>0，a≠1，x>0，y>0，则下列式子正确的是(　　)‎ A．logax＋logay＝loga(x＋y)‎ B．logax－logay＝loga(x－y)‎ C．loga＝logax÷logay D．loga(xy)＝logax＋logay D　[由对数的运算性质知D正确．]‎ ‎2．已知lg 2＝a，lg 7＝b，那么用a，b表示log8 98＝　　　　．‎ 　[log8 98＝＝＝．]‎ ‎3．已知‎2m＝5n＝10，则＋＝　　　　．‎ ‎1　[因为m＝log2 10，n＝log5 10，所以＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1．]‎ ‎4．若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．‎ ‎[解]　原方程可化为：2(lg x)2－4lg x＋1＝0．‎ 设lg x＝t，即原方程为2t2－4t＋1＝0．‎ 所以t1＋t2＝2，t1·t2＝．‎ 又因为a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，‎ 则lg a＝t1，lg b＝t2，即lg a＋lg b＝2, lg a·lg b＝．‎ lg(ab)·(logab＋logba)‎ ‎＝(lg a＋lg b)· ‎＝(lg a＋lg b)· ‎＝2×＝12，‎ 即lg(ab)·(logab＋logba)＝12．‎ - 9 -‎ - 9 -‎