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- 2021-06-15 发布
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3.1随机事件的概率(三)
问题提出
1. 两个集合之间存在着包含与相等的关系,集合可以进行交、并、补运算,你还记得子集、等集、交集、并集和补集的含义及其符号表示吗?
2. 我们可以把一次试验可能出现的结果看成一个集合(如连续抛掷两枚硬币),那么必然事件对应全集,随机事件对应子集,不可能事件对应空集,从而可以类比集合的关系与运算,分析事件之间的关系与运算,使我们对概率有进一步的理解和认识.
知识探究(一):事件的关系与运算
在掷骰子试验中,我们用集合形式定义如下事件:
C1={出现1点},C2={出现2点},
C3={出现3点},C4={出现4点},
C5={出现5点},C6={出现6点},
D1={出现的点数不大于1},
D2={出现的点数大于4},
D3={出现的点数小于6},
E={出现的点数小于7},
F={出现的点数大于6},
G={出现的点数为偶数},
H={出现的点数为奇数},等等.
思考1:上述事件中哪些是必然事件?哪些是随机事件?哪些是不可能事件?
思考2:如果事件C1发生,则一定有哪些事件发生?在集合中,集合C1与这些集合之间的关系怎样描述?
一般地,对于事件A与事件B,如果当事件A发生时,事件B一定发生,称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)记为: BÊA(或AÍB)
特别地,不可能事件用Ф表示,它与任何事件的关系约定为:
任何事件都包含不可能事件.
思考3:分析事件C1与事件D1之间的包含关系,按集合观点这两个事件之间的关系应怎样描述?
一般地,当两个事件A、B满足:
若B Ê A,且A ÊB,则称事件A与事件B相等,记作A=B.
思考4:如果事件C5发生或C6发生,就意味着哪个事件发生?反之成立吗?
事件D2一定发生, 反之也成立.
事件D2为事件C5与事件C6的并事件(或和事件)
一般地,当且仅当事件A发生或事件B发生时,事件C发生,则称事件C为事件A与事件B的并事件(或和事件),记作
C=A∪B(或A+B).
思考5:类似地,当且仅当事件A发生且事件B发生时,事件C发生,则称事件C为事件A与事件B的交事件(或积事件),记作C=A∩B(或AB),在上述事件中能找出这样的例子吗?
思考6:两个集合的交可能为空集,两个事件的交事件也可能为不可能事件,即A∩B=Æ,此时,称事件A与事件B互斥,那么在一次试验中,事件A与事件B互斥的含义怎样理解?在上述事件中能找出这样的例子吗?
思考7:若A∩B为不可能事件,A∪
B为必然事件,则称事件A与事件B互为对立事件,那么在一次试验中,事件A与事件B互为对立事件的含义怎样理解?在上述事件中能找出这样的例子吗?
事件A与事件B有且只有一个发生.
思考8:事件A与事件B的和事件、积事件,分别对应两个集合的并、交,那么事件A与事件B互为对立事件,对应的集合A、B是什么关系?
集合A与集合B互为补集.
思考9:若事件A与事件B相互对立,那么事件A与事件B互斥吗?反之,若事件A与事件B互斥,那么事件A与事件B相互对立吗?
知识迁移
例1 某射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?
事件A:命中环数大于7环;
事件B:命中环数为10环;
事件C:命中环数小于6环;
事件D:命中环数为6、7、8、9、10环.
事件A与事件C互斥,事件B与事件C互斥,事件C与事件D互斥且对立.
例2 一个人打靶时连续射击两次事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 ( D )
A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都不中靶
例3 把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人,每人分得一张,那么事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 ( B )
A. 对立事件 B. 互斥但不对立事件
C. 必然事件 D. 不可能事件
知识探究(二):概率的几个基本性质
思考1:概率的取值范围是什么?必然事件、不可能事件的概率分别是多少?
思考2:如果事件A与事件B互斥,则事件A∪B发生的频数与事件A、B发生的频数有什么关系?fn(A∪B)与fn(A)、fn(B)有什么关系?进一步得到P(A∪B)与P(A)、P(B)有什么关系?
若事件A与事件B互斥,则A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,且 P(A∪B)=P(A)+P(B),这就是概率的加法公式.
思考3:如果事件A与事件B互为对立事件,
则P(A∪B)的值为多少?P(A∪B)与P(A)、
P(B)有什么关系?由此可得什么结论?
若事件A与事件B互为对立事件,则: P(A)+P(B)=1.
思考4:如果事件A与事件B互斥,那么P(A)+P(B)与1的大小关系如何?
P(A)+P(B)≤1.
思考5:如果事件A1,A2,…,An中任何两个都互斥,那么事件(A1+A2+…+An)的含义如何?P(A1+A2+…+An)与P(A1),P(A2),…,P(An)有什么关系?
事件(A1 + A2 +…+ An)表示事件A1, A2,…,An中有一个发生;P(A1 + A2 +…+ An)= P(A1)+P(A2)+…+P(An).
例4 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心(事件A)的概率是
,取到方片(事件B)的概率是 ,问:
(l)取到红色牌(事件C)的概率是多少?
(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少?
P(C)=P(A∪B)= P(A)+P(B)=0.5,
P(D)=1- P(C)=0.5.
例5 袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,已知得到红球的概率是 ,得到黑球或黄球的概率是 ,得到黄球或绿球的概率也是 ,
试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少?
课堂小结
1. 事件的各种关系与运算,可以类比集合的关系与运算;
2. 在一次试验中,两个互斥事件不能同时发生,它包括一个事件发生而另一个事件不发生,或者两个事件都不发生,两个对立 事件有且仅有一个发生;
3. 事件(A+B)或(A∪B),表示事件A与事件B至少有一个发生,事件(AB)或A∩B,表事件A与事件B同时发生.
4. 概率加法公式是对互斥事件而言的, 一般地,P(A∪B)≤P(A)+P(B).
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