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- 2021-06-15 发布
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第三章 概率
章末检测
时间:120分钟 满分:150分
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.某人在打靶中连续射击两次,与事件“至少有一次中靶”互斥的事件是( )
A.至多有一次中靶 B.两次都中靶
C.两次都不中靶 D.只有一次中靶
解析:连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是“两次都不中靶”.
答案:C
2.先后抛掷两颗骰子,所得点数之和为7,则基本事件共有( )
A.5个 B.6个
C.7个 D.8个
解析:所得点数之和为7的基本事件为(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),共6个.
答案:B
3.奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环,颜色自左至右,上方依次为蓝、黑、红,下方依次为黄、绿,象征着五大洲.在手工课上,老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作,每人分得1个,则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是( )
A.对立事件 B.不可能事件
C.互斥但不对立事件 D.既不互斥又不对立事件
解析:甲、乙不能同时得到红色,因而这两个事件是互斥事件;又甲、乙可能都得不到红色,即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件,故这两个事件不是对立事件.
答案:C
4.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( )
A.0.7 B.0.65
C.0.35 D.0.3
解析:事件“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件,由于P(A)=0.65,所以由对立事件的概率公式得“抽到的产品不是一等品”的概率为P=1-P(A)=1-0.65=0.35.
答案:C
5.在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB
9
的长,则该矩形面积大于20 cm2的概率为( )
A. B.
C. D.
解析:设线段AC的长为x cm,则线段CB的长为(12-x) cm,那么矩形的面积为x(12-x) cm2,
由x(12-x)>20,解得2<x<10.又0<x<12,所以该矩形面积大于20 cm2的概率为.
答案:C
6.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8 g的概率为0.3,质量小于4.85 g的概率为0.32,那么质量在[4.8,4.85]内的概率是( )
A.0.62 B.0.38
C.0.02 D.0.068
解析:由图知,质量x在[4.8,4.85]的概率P(4.8≤x≤4.85)=P(x<4.85)-P(x<4.8)=0.32-0.3=0.02,故选C.
答案:C
7.为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:从红、黄、白、紫4种颜色的花中任取2种有6种取法,分别为红与黄,红与白,红与紫,黄与白,黄与紫,白与紫,共6种,其中红色与紫色不在同一花坛有4种情况,故红色与紫色不在同一花坛的概率P==.
答案:C
8.在区间[-1,1]上任取两数x和y,组成有序实数对(x,y),记事件A为“x2+y2<1”,则P(A)等于( )
A. B.
C.π D.2π
解析:如图,集合S={(x,y)|-1≤x≤1,-1≤y≤1},则S中每个元素与随机事件的结果一一对应.而事件A所对应的事件(x,y)与圆面x2+y2<1的点一一对应,
9
∴P(A)=.
答案:A
9.将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为b,c,则方程x2+bx+c=0有实根的概率为( )
A. B.
C. D.
解析:将一枚骰子抛掷两次共有6×6=36种结果.方程x2+bx+c=0有实根,则Δ=b2-4c≥0,即b≥2,其包含的结果有:(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(4,4),(5,4),(6,4),(5,5),(6,5),(5,6),(6,6),共19种,由古典概型的概率计算公式可得P=.故选C.
答案:C
10.节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒以内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:设第一串彩灯亮的时刻为x,第二串彩灯亮的时刻为y,则要使两串彩灯亮的时刻相差不超过2秒,
则如图,不等式组所表示的图形面积为16,不等式组所表示的六边形OABCDE的面积为16-4=12,由几何概型的公式可得P==.
答案:C
11.已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为( )
A.0.4 B.0.6
C.0.8 D.1
9
解析:首先对5件产品编号为1,2,3,4,5.其中1,2两件为次品,3,4,5为正品,从5件产品中任取2件产品,基本事件为:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个.
其中恰有一件为次品的事件为:(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),共6个.
∴恰有一件次品的概率P===0.6,选B.
答案:B
12.袋子中装有大小相同的5个小球,分别有2个红球、3个白球.现从中随机抽取2个小球,则这2个小球中既有红球也有白球的概率为( )
A. B.
C. D.
解析:设2个红球分别为a,b,3个白球分别为A,B,C,从中随机抽取2个,则有(a,b),(a,A)(a,B),(a,C),(b,A)(b,B),(b,C),(A,B),(A,C),(B,C),共10个基本事件,其中既有红球也有白球的基本事件有6个,则所求概率为P==.
答案:D
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中的横线上)
13.地面上有三个同心圆(如图),其半径分别为3、2、1.若向图中最大的圆内投点且投到图中阴影区域的概率为,则两直线所夹锐角的弧度数为________.
解析:设两直线所夹锐角弧度为α,则有:
==,
解得:α=.故答案为.
答案:
9
14.从2本不同的数学书和2本不同的语文书中任意抽出2本书(每本书被抽中的机会相等),则抽出的书是同一学科的概率等于________.
解析:从2本不同的数学书和2本不同的语文书中任意抽出2本书共有6种不同的取法,其中抽出的书是同一学科的取法共有2种,因此所求的概率等于=.
答案:
15.小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离大于,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于,则去打篮球;否则,在家看书.则小波周末不在家看书的概率为________.
解析:∵去看电影的概率P1==,
去打篮球的概率
P2==,
∴不在家看书的概率为
P=+=.
答案:
16.如图所示,靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成,射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.15,0.20,0.45,则不中靶的概率是________.
解析:设射手“命中圆面Ⅰ”为事件A,“命中圆环Ⅱ”为事件B,“命中圆环Ⅲ”为事件C,“不中靶”为事件D,则A,B,C互斥,故射手中靶概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P (C)=0.15+0.20+0.45=0.80.因为中靶和不中靶是对立事件,故不中靶的概率为P(D)=1-P(A∪B∪C)=1-0.80=0.20.
答案:0.20
三、解答题(本大题共有6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(12分)某人去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4.
(1)求他乘火车或飞机去的概率;
(2)求他不乘飞机去的概率.
解析:设“乘火车”“乘轮船”“乘汽车”“乘飞机”分别为事件A,B,C,D,则P(A)=0.3,P(B)=0.2,P(C)=0.1,P(D)=0.4.
9
(1)P(A∪D)=P(A)+P(D)=0.3+0.4=0.7.
(2)设“不乘飞机”为事件E,
则P(E)=1-P(D)=1-0.4=0.6.
18.(12分)甲、乙两人做出猜拳游戏(锤子,剪刀,布).
求:(1)平局的概率;(2)甲赢的概率;(3)乙赢的概率.
解析:设平局为事件A,甲赢为事件B,乙赢为事件C.容易得到如图所示的图形.
平局含3个基本事件(图中的△),P(A)==.
(2)甲赢含3个基本事件(图中的⊙),P(B)==.
(3)乙赢含3个基本事件(图中的※),P(C)==.
19.(12分)袋中有红、黄、白三种颜色的球各3只,从中每次任取1只,有放回地抽取3次,求:
(1)3只全是红球的概率;
(2)3只颜色全相同概率;
(3)3只颜色不全相同的概率;
(4)3只颜色全不相同的概率.
解析:从袋中有放回地抽取3次,全部的基本事件用树状图表示为:
(1)记“3只球全是红球”为 事件A,则P(A)=.
(2)记“3只球颜色相同”为事件B,则P(B)=++=.
(3)记“3只球颜色不全相同”为事件C,则有24种情况,故P(C)==.
9
(4)要使3只球颜色全不相同,只可能是红、黄、白球各出现一次,记“3只颜色全不相同”为事件D,则P(D)==.
20.(12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球.若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.
(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果;
(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率.你认为正确吗?请说明理由.
解析:(1)所有可能的摸出结果是
{A1,a1},{A1,a2}, {A1,b1},{A1,b2},{A2,a1},{A2,a2},{A2,b1},{A2,b2},{B,a1},{B,a2},{B,b1}, {B,b2}.
(2)不正确.理由如下:
由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1,a1},{A1,a2},{A2,a1},{A2,a2},共4种,所以中奖的概率为=,不中奖的概率为1-=>,故这种说法不正确.
21.(13分)某校高三学生体检后,为了解高三学生的视力情况,该校从高三六个班的300名学生中以班为单位(每班学生50人),每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据.其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表:
视
力
数据
4.0
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
5.3
人数
2
2
2
1
1
(1)用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值;
9
(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3,4.4,4.5,4.6,4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较,求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率.
解析:(1)高三(1)班学生视力的平均值为
=4.7,
故估计高三(1)班学生视力的平均值为4.7.
(2)从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较,所有的取法共有15种,而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法有:(4.3,4.5),(4.3,4.6),(4.3,4.7),(4.3,4.8),(4.4,4.6),(4.4,4.7),(4.4,4.8),(4.5,4.7),(4.5,4.8),(4.6,4.8),共有10种,故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为P==.
22.(13分)某校高三共有900名学生,高三模拟考试之后,为了了解学生学习情况,用分层抽样方法从中抽出若干学生此次数学成绩,按成绩分组,并制成如下的频率分布表.
组号
分组
频数
频率
第一组
[70,80)
6
0.06
第二组
[80,90)
4
0.04
第三组
[90,100)
22
0.22
第四组
[100,110)
20
0.20
第五组
[110,120)
18
b
第六组
[120,130)
a
0.15
第七组
[130,140)
10
0.10
第八组
[140,150]
5
0.05
合计
c
1
(1)确定表中a,b,c的值;
9
(2)为了了解数学成绩在120分以上的学生的心理状态,现决定在第六、七、八组中用分层抽样方法抽取6名学生,在这6名学生中又再随机抽取2名与心理老师面谈,求第七组中至少有一名学生被抽到与心理老师面谈的概率;
(3)估计该校本次考试的数学平均分.
解析:(1)因为频率和为1,所以b=0.18,
因为频率=频数/样本容量,所以c=100,a=15.
(2)第六、七、八组共有30个样本,用分层抽样方法抽取6名学生,第六、七、八组被抽取的样本数分别为3,2,1,将第六组、第八组被抽取的样本分别用A,B,C,D表示,第七组抽出的样本用E,F表示.
从这6名学生中随机抽取2个的方法有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共15种.其中至少含E或F的取法有9种,则所求概率为.
(3)估计平均分为75×0.06+85×0.04+95×0.22+105×0.2+115×0.18+125×0.15+135×0.1+145×0.05=110.
9
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