人教A版高中数学3-1-2用二分法求方程的近似解教案新人教版必修1 5页

3.1.2 用二分法求方程的近似解（教学设计） 教学目标： 知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会 函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用． 过程与方法：能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备． 情感、态度、价值观：体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一． 教学 重点： 重点 通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意 识． 难点 恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解． 一、复习回础，新课引入： 高次多项式方程公式解的探索史料由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数 )(xfy  的零点（即 0)( xf 的 根），对于 )(xf 为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）． 在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于 4 次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了 十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于 4 次的代数方程不存在求根公式，亦即， 不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于 3 次和 4 次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂， 一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这 是一个在计算数学中十分重要的课题． 二、师生互动，新课讲解： 1、二分法： 上节（P88 例 1）课我们已经知道，函数 62ln)(  xxxf 在区间（2，3）内有零点，问题是：如何找出这个 零点呢？如果能够把零点所在的区间范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值．下面 介绍一种求近似解的方法． 我们知道，函数 )(xf 的图象与直角坐标系中 x 轴交点的横坐标就是方程 0)( xf 的解，利用上节课 学过的函数 零点存在的条件，我们用逐步逼近的方法，来求方程的近似解． （1）在区间（2，3）内，方程有解，取区间（2，3）中点 2.5； （2）用计算器计算 084.0)5.2( f ，因为 0)3()5.2(  ff ，所以零点在区间 )3,5.2( 内； （3）再取区间 )3,5.2( 中点 2.75，用计算器计算 512.0)75.2( f ，因为 0)75.2()5.2(  ff ，所以零点在区间 )75.2,5.2( 内． （4）重复上面的过程，在有限次重复相同步骤后，零点所在区间长度在一定精度控制范围内，零点所在区间内的 任意一点都可以作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值． 本例中，把取中点和判断零点的过程，用表格列出（课本第 89 页表 3-2）． 当精确度为 0.01 时，由于 0078125.053125.25390625.2  01.0 ，所以，我们可将 53125.2x 作为函 数 62ln)(  xxxf 零点的近似值，也即方程 062ln  xx 根的近似值． 对于在区间 ],[ ba 上连续不断且 0)()(  bfaf 的函数 )(xfy  ，通过不断地把函数 )(xf 的零点所在的区间 一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）． 给定精确度 ，用二分法求函数 )(xf 零点近似值的步骤如下： 1）确定区间 ],[ ba ，验证 0)()(  bfaf ，给定精确度 ； 2）求区间 ),( ba 的中点 c ； 3）计算 )(cf ； 4）判断：（1）若 0)( cf ，则 c 就是函数的零点；（2）若 0)()(  cfaf ，则令 cb  （此时零点 ),(0 cax  ）； （3）若 0)()(  bfcf ，则令 ca  （此时零点 ),(0 bcx  ）． 5）判断：区间长度是否达到精确度 ？即若  ba ，则得到零点近似值；否则重复 2——5． 说明：由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．由于都是重复性的工作，所 以可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算． 例 1（课本 P90 例 2）借助计算器或计算机用二分法求方程 732  xx 的近似解（精确到 1.0 ）． 小结： 1） 结论：图象在闭区间 a[ ， ]b 上连续的单调函数 )(xf ，在 a( ， )b 上至多有 一个零点． 2） 函数零点的性质 从“数”的角度看：即是使 0)( xf 的实数； 从“形”的角度看：即是函数 )(xf 的图象与 x 轴交点的横坐标； 若函数 )(xf 的图象在 0xx  处与 x 轴相切，则零点 0x 通常称为不变号零点； 若函数 )(xf 的图象在 0xx  处与 x 轴相交，则零点 0x 通常称为变号零点． 3） 用二分法求函数的变号零点 二分法的条件 )(af · )(bf 0 表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点． 变式训练 1：求方程 x2＝2x＋1 的一个近似解(精确度 0.1)． 解 设 f(x)＝x2－2x－1. ∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0， ∴在区间(2,3)内，方程 x2－2x－1＝0 有一解，记为 x0. 取 2 与 3 的平均数 2.5，∵f(2.5)＝0.25>0， ∴20. ∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1， ∴方程 x2＝2x＋1 的一个精确度为 0.1 的近似解可取为 2.437 5. 点评 对于求形如 f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如 F(x)＝f(x)－g(x)＝0 的方程的近似 解，然后按照二分法求函数零点近似值的步骤求之． 例 2：已知函数 ( )f x 在区间[ , ]a b 上是连续不断的曲线，判断下列结论，正确的是 1 若 ( ) ( ) 0f a f b  ，则函数 ( )f x 在 ( , )a b 内有且只有一个零点 2 若 ( ) ( ) 0f a f b  ，则函数 ( )f x 在 ( , )a b 内无零点 3 若 ( )f x 在 ( , )a b 内有零点，则 ( ) ( ) 0f a f b  4 若 ( ) ( ) 0f a f b  ，则函数 ( )f x 在 ( , )a b 内有零点 5 若 ( ) ( ) 0f a f b  ，则函数 ( )f x 在 ( , )a b 内有零点 【解析】①有条件 ( ) ( ) 0f a f b  ，则函数 ( )f x 在 ( , )a b 内可能不止一个零点，如 3( ) 4f x x x  有（－3，3） 内有三个零点；②在 ( ) ( ) 0f a f b  下函数 ( )f x 在 ( , )a b 内未必没有零点，如 2( ) 4f x x  在（－3，3）内有两个零 点；③ ( )f x 在 ( , )a b 内有零点， ( ) ( ) 0f a f b  未必成立，如 2( ) 4f x x  在（－3，3）内有零点，但 ( 3) (3) 0f f  ； ④注意端点问题，可能 ,a b 恰好使得 ( )f x ＝0．本题从多角度、多侧面考查对定理的理解，对培养学生思维的严密性 很有帮助．答案：⑤ 变式训练 2：（课本 P92 习题 3.1 A 组：NO：1） 例 3：已知函数 2( ) 2 1f x kx x   ，当 k 为何值时，函数 ( )f x 在 R 上有一个零点？两个零点？无零点？ 【解析】 当 k ＝０时， ( )f x 是一次函数，在 R 上有且只有一个零点；当 0k  时， ( )f x 是二次函数，其零点 个数由  的符号决定．又 4 4k   ，当 1k  时， 0  ， ( )f x 无零点；当 1k  时， 0  ， ( )f x 有一个零点；当 1, 0k k  时， 0  ， ( )f x 有两个零点．综上所述，当 k ＝０或 1k  时，函数有一个零点；当 1, 0k k  时，函 数有两个零点；当 1k  时，函数没有零点． 变式训练 3：函数 2( )f x x ax b   的零点是－１和２，求函数 3( )g x ax bx  的零点． 解：由已知得 1,2 是方程 2 0x ax b   的两根, 1 0 4 2 0 a b a b       ,解得: 1, 2a b    由 3 2 0x x   得: 2( 2) 0x x   ,即 0x  . 故函数 ( )g x 的零点是 0. 三、课堂小结，巩固反思： 1．二分法的理论依据是什么？ 二分法的理论依据是：如果函数 )(xf 在闭区间 ],[ ba 上连续不断，且 0)()(  bfaf ，那么一定存在 ),( bac  ， 使 0)( cf ． 2．二分法的实施要点是什么？ 二分法寻找零点的过程是将一个含有零点的区间 ],[ ba 平分为两个小区间，判断哪个小区间内含有零点，再将该小 区间平分，……，通过 n 次的平分、判断，使零点存在于一个长度 n abl 2  的小区间．当 n 适当大时，l 满足精 确度的允许范围，于是小区间内的值可作为函数零点的近似值． 四、布置作业： A 组： 1．下列函数中不能用二分法求零点的是( ) A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3 C．f(x)＝|x| D．f(x)＝lnx 答案 C 解析 对于选项 C 而言，令|x|＝0，得 x＝0， 即函数 f(x)＝|x|存在零点； 当 x>0 时，f(x)>0，当 x<0 时，f(x)>0， ∴f(x)＝|x|的函数值非负，即函数 f(x)＝|x|有零点但零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点． 2．若函数 y＝f(x)在 R 上递增，则函数 y＝f(x)的零点( B )． A．至少有一个 B．至多有一个 C．有且只有一个 D．可能有无数个 3．(2011·新课标全国)在下列区间中，函数 f(x)＝ex＋4x－3 的零点所在的区间为( )． A. －1 4 ，0 B. 0，1 4 C. 1 4 ，1 2 D. 1 2 ，3 4 解析 因为 f 1 4 ＝e1 4 ＋4×1 4 －3＝e1 4 －2＜0，f 1 2 ＝e1 2 ＋4×1 2 －3＝e1 2 －1＞0，所以 f(x)＝ex＋4x－3 的 零点所在的区 间为 1 4 ，1 2 . 答案 C 4.若函数 f(x)=x3+x2-2x-2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下： 那么方程 x3+x2-2x-2=0 的一个近似根为 。（答案：1.437 5 ） 5．若函数 f(x)在(1,2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为 0.01，则对区间(1,2)至少二等分( ) A．5 次 B．6 次 C．7 次 D．8 次 解析：设对区间(1,2)至少二等分 n 次，此时区间长为 1，第 1 次二等分后区间长为1 2 ，第 2 次二等分后区间长为1 22， 第 3 次二等分后区间长为1 23，…，第 n 次二等分后区间长为1 2n.依题意得1 2n<0.01，∴n>log2100.由于 60，f(4)＝－0.5<0，根据零点的存在性定理知选 C. 7．方程 ln 2 6 0x x   在区间上的根必定属于区间（ B ） A． ( 2,1) B． 5( ,4)2 C． 7(1, )4 D． 7 5( , )4 2 8．函数 2( ) ln( 1)f x x x    的零点所在的大致区间是（ C ） A．（3，4） B．（2，e） C．（1，2） D．（0，1） 9．已知函数 f(x)＝x2＋x＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数 a 的取值范围是________． 解析 函数 f(x)＝x2＋x＋a 在(0,1)上递增．由已知条件 f(0)f(1)<0，即 a(a＋2)<0，解得－2