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- 2021-06-15 发布
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课时训练 9 等差数列的前 n项和
一、等差数列前 n项和公式及应用
1.在等差数列{an}中,d=2,an=11,Sn=35,则 a1为( )
A.5或 7 B.3或 5 C.7或-1 D.3或-1
答案:D
解析:a1+(n-1)×2=11 ①,Sn=na1+
( -1)
2 ×2=35 ②,由①②解得 a1=3或 a1=-1.
经检验,a1=3与 a1=-1均符合题意,故选 D.
2.已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn,若 a4=18-a5,则 S8等于( )
A.18 B.36 C.54 D.72
答案:D
解析:∵a4=18-a5,∴a4+a5=18.
∴S8=
8( 1+ 8)
2 =4(a1+a8)=4(a4+a5)=72.
3.(2015河北邯郸三校联考,2)等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前 20项和等于
( )
A.160 B.180 C.200 D.220
答案:B
解析:∵a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,
∴a1+a20+a2+a19+a3+a18=54=3(a1+a20).
∴a1+a20=18.∴S20=
20( 1+ 20)
2 =180.故选 B.
4.设 Sn为公差不为零的等差数列{an}的前 n项和.若 S9=3a8,则
15
3 5
=( )
A.15 B.17 C.19 D.21
答案:A
解析:由 S9=3a8,得
9( 1+ 9)
2 3
2(a1+a15),即 9a5=
15
5 ,所以
15
3 5
=15.
5.有一个凸 n边形,各内角的度数成等差数列,公差是 10°,最小角为 100°,则边数 n= .
答案:8
解析:n×100°+ ( -1)2 ×10°=(n-2)×180°,解得 n=8或 n=9.又 an=100°+(n-1)×10°<180°,∴n=8.
6.已知等差数列{an}的前三项为 a-1,4,2a,记前 n项和为 Sn.设 Sk=2 550,求 a和 k的值.
解:设{an}的公差为 d,由已知得,a1=a-1,a2=4,a3=2a.
又 2a2=a1+a3,∴8=(a-1)+2a,∴a=3,
∴a1=2,d=a2-a1=2.
由 Sk=ka1+
( -1)
2 d,得 2k+ ( -1)2 ×2=2 550,
即 k2+k-2 550=0,解得 k=50或 k=-51(舍去),∴a=3,k=50.
二、由 Sn求解数列的通项公式
7.设数列{an}的前 n项和 Sn=n2+1,则数列{an}的通项公式为 .
答案:an=
2, 1,
2 -1, ≥ 2
解析:当 n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+1-(n-1)2-1=2n-1.
当 n=1时,a1=S1=1+1=2不适合上式.
∴数列{an}的通项公式为 an=
2, 1,
2 -1, ≥ 2.
8.已知数列{an}的前 n项和为 Sn=3n-2,求数列{an}的通项公式.
解:当 n=1时,a1=S1=31-2=1;
当 n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2×3n-1,而 2×31-1=2≠1.
故数列{an}的通项公式为 an=
1, 1,
2 × 3 -1, ≥ 2.
9.已知数列{an}的前 n项和为 Sn,且满足 a1=1,an+2SnSn-1=0(n≥2).
(1)求证:数列
1
是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
(1)证明:∵n≥2时,an=Sn-Sn-1,
又 an+2SnSn-1=0,∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0.
∵Sn≠0,两边同除以 SnSn-1,得
1
-1
1
+2=0,即 1
1
-1
=2(n≥2),
∴数列
1
是等差数列.
(2)解:∵a1=1,
1
1
1
1
=1,
∴
1
=1+(n-1)×2=2n-1,∴Sn=
1
2 -1.
当 n≥2时,an=Sn-Sn-1=
1
2 -1
1
2( -1)-1
=- 2
(2 -1)(2 -3).
而- 2
(2×1-1)(2×1-3)=2≠1,故{an}的通项公式 an=
1, 1,
- 2
(2 -1)(2 -3) , ≥ 2.
(建议用时:30分钟)
1.在等差数列{an}中,若 a1-a4+a8-a12+a15=2,则 S15等于( )
A.28 B.30 C.31 D.32
答案:B
解析:∵a1-a4+a8-a12+a15
=(a1+a15)-(a4+a12)+a8=a8=2.
∴S15=
15( 1+ 15)
2 15×2 8
2 =30.
2.在等差数列{an}中,公差 d≠0,首项 a1≠d.如果这个数列的前 20项的和 S20=10M,则 M应是( )
A.a5+a15 B.a2+2a10
C.2a1+19d D.a20+d
答案:C
解析:∵S20=20a1+
20×19
2 d=10(2a1+19d)=10M,
∴M=2a1+19d.
3.已知数列{an}为等差数列,其前 n项的和为 Sn,若 a3=6,S3=12,则公差 d=( )
A.1 B.2 C.3 D.53
答案:B
解析:在等差数列中,S3=
3( 1+ 3)
2 3( 1+6)
2 =12,解得 a1=2,所以解得 d=2,选 B.
4.将含有 k项的等差数列插入 4和 67之间,结果仍成一新的等差数列,并且新的等差数列所有项的和
是 781,则 k的值为( )
A.20 B.21 C.22 D.24
答案:A
解析:由数列前 n项和公式可得
( +2)(4+67)
2 =781,解得 k=20.
5.(2015江西吉安联考,5)在等差数列{an}中,a9=
1
2a12+6,则数列{an}的前 11项和 S11等于( )
A.24 B.48 C.66 D.132
答案:D
解析:∵数列{an}为等差数列,设其公差为 d,
∵a9=
1
2a12+6,
∴a1+8d=
1
2(a1+11d)+6,
∴a1+5d=12,即 a6=12.
∴数列{an}的前 11项和 S11=a1+a2+…+a11
=(a1+a11)+(a2+a10)+…+(a5+a7)+a6
=11a6=132.故选 D.
6.已知{an}为等差数列,Sn为其前 n项和,若 a1=
1
2,S2=a3,则 a2= ,Sn= .
答案:1 1
4n
2+14n
7.若一个等差数列前 3项和为 34,最后 3项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个数列有
项.
答案:13
解析:∵
1 + 2 + 3 34,
+ -1 + -2 146,
∴3(a1+an)=180,a1+an=60,Sn=
( 1+ )
2 =390.∴n=13.
8.设公差不为 0的等差数列{an}的前 n项和为 Sn,若 a5=5a3,则
9
5
= .
答案:9
解析: 9 5
9( 1+ 9)
2
5( 1+ 5)
2
9 5
5 3
,又∵a5=5a3,∴
9
5
=9.
9.已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,a3+a5=38.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求 a1+a4+a7+…+a3n-2.
解:(1)设数列{an}的公差为 d,
则由已知得
1 25,
2 1 + 6 38,解得 d=-2.
∴通项公式 an=-2n+27.
(2)令 Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2,
由已知 a3n-2=-6n+31.
∴数列{a3n-2}是首项为 25,公差为-6的等差数列.
∴Sn=
( 1+ 3 -2)
2 =-3n2+28n.
10.一个水池有若干出水量相同的水龙头,如果所有水龙头同时放水,那么 24 min可注满水池.如果开
始时全部放开,以后每隔相等的时间关闭一个水龙头,到最后一个水龙头关闭时,恰好注满水池,而且
最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的 5倍,问最后关闭的这个水龙头放水多
长时间?
解:设共有 n个水龙头,每个水龙头放水时间从小到大依次为 x1,x2,…,xn.
由已知可知 x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1,
∴数列{xn}成等差数列,
每个水龙头 1 min放水
1
24 (这里不妨设水池的容积为 1),
∴
1
24 ·(x1+x2+…+xn)=1,即 Sn=24n.
∴
( 1+ )
2 =24n.∴x1+xn=48.
又∵xn=5x1,∴6x1=48.
∴x1=8(min),xn=40(min).
故最后关闭的水龙头放水 40 min.
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