高中数学人教a版必修四课时训练 第二章 平面向量 章末检测（a） word版含答案 6页

第二章 平面向量(A) (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分) 1．与向量 a＝(1， 3)的夹角为 30°的单位向量是( ) A．(1 2 ， 3 2 )或(1， 3) B．( 3 2 ， 1 2 ) C．(0,1) D．(0,1)或( 3 2 ， 1 2 ) 2．设向量 a＝(1,0)，b＝(1 2 ， 1 2 )，则下列结论中正确的是( ) A．|a|＝|b| B．a·b＝ 2 2 C．a－b 与 b 垂直 D．a∥b 3．已知三个力 f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物 体保持平衡，现加上一个力 f4，则 f4等于( ) A．(－1，－2) B．(1，－2) C．(－1,2) D．(1,2) 4．已知正方形 ABCD的边长为 1，AB→＝a，BC→＝b，AC→＝c，则 a＋b＋c 的模等于( ) A．0 B．2＋ 2 C. 2 D．2 2 5．若 a 与 b 满足|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则 a·a＋a·b 等于( ) A.1 2 B.3 2 C．1＋ 3 2 D．2 6．若向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则 c 等于( ) A．－ 1 2 a＋3 2 b B.1 2 a－3 2 b C.3 2 a－1 2 b D．－ 3 2 a＋1 2 b 7．若向量 a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则 x＝( ) A．6 B．5 C．4 D．3 8．向量BA→＝(4，－3)，向量BC→＝(2，－4)，则△ABC的形状为( ) A．等腰非直角三角形 B．等边三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰直角三角形 9．设点 A(1,2)、B(3,5)，将向量AB→按向量 a＝(－1，－1)平移后得到A′B′→ 为( ) A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,7) 10．若 a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且 a 与 b 的夹角是钝角，则λ的取值范围是( ) A. 10 3 ，＋∞ B. 10 3 ，＋∞ C. －∞， 10 3 D. －∞， 10 3 11．在菱形 ABCD中，若 AC＝2，则CA→ ·AB→等于( ) A．2 B．－2 C．|AB→ |cos A D．与菱形的边长有关 12．如图所示，已知正六边形 P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是( ) A.P1P2→ ·P1P3→ B.P1P2→ ·P1P4→ C.P1P2→ ·P1P5→ D.P1P2→ ·P1P6→ 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分) 13．已知向量 a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则 m＝________. 14．已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30°，|a|＝2，|b|＝ 3，则向量 a 和向量 b 的数量积 a·b＝ ________. 15．已知非零向量 a，b，若|a|＝|b|＝1，且 a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则实数 k的值为 ________． 16. 如图所示，半圆的直径 AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于 A，B的任意一点，若 P 为半径 OC上的动点，则(PA→＋PB→ )·PC→的最小值是________． 三、解答题(本大题共 6小题，共 70分) 17．(10分)已知 a，b，c 在同一平面内，且 a＝(1,2)． (1)若|c|＝2 5，且 c∥a，求 c； (2)若|b|＝ 5 2 ，且(a＋2b)⊥(2a－b)，求 a 与 b 的夹角． 18．(12分)已知|a|＝2，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，当实数 k为何 值时， (1)c∥d；(2)c⊥d. 19．(12分)已知|a|＝1，a·b＝1 2 ，(a－b)·(a＋b)＝1 2 ，求： (1)a 与 b 的夹角； (2)a－b 与 a＋b 的夹角的余弦值． 20．(12分)在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)． (1)求以线段 AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数 t满足(AB→－tOC→ )·OC→＝0，求 t的值． 21．(12分)已知正方形 ABCD，E、F分别是 CD、AD的中点，BE、CF交于点 P.求证： (1)BE⊥CF； (2)AP＝AB. 22．(12分)已知向量OP1→ 、OP2→ 、OP3→ 满足条件OP1→ ＋OP2→ ＋OP3→ ＝0，|OP1→ |＝|OP2→ |＝|OP3→ |＝1. 求证：△P1P2P3是正三角形． 第二章 平面向量(A) 答案 1．D 2.C 3．D [根据力的平衡原理有 f1＋f2＋f3＋f4＝0，∴f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．] 4．D [|a＋b＋c|＝|AB→＋BC→＋AC→ |＝|2AC→ |＝2|AC→ |＝2 2.] 5．B [由题意得 a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos 60°＝1＋1 2 ＝ 3 2 ，故选 B.] 6．B [令 c＝λa＋μb，则 λ＋μ＝－1 λ－μ＝2， ∴ λ＝1 2 μ＝－ 3 2 ， ∴c＝1 2 a－3 2 b.] 7．C [∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3， x)＝18＋3x＝30.∴x＝4.] 8．C [∵BA→＝(4，－3)，BC→＝(2，－4)， ∴AC→＝BC→－BA→＝(－2，－1)， ∴CA→ ·CB→＝(2,1)·(－2,4)＝0， ∴∠C＝90°，且|CA→ |＝ 5，|CB→ |＝2 5，|CA→ |≠|CB→ |. ∴△ABC是直角非等腰三角形．] 9．B [∵AB→＝(3,5)－(1,2)＝(2,3)，平移向量AB→后得A′B′→ ，A′B′→ ＝AB→＝(2,3)．] 10．A [a·b＝－3λ＋10<0，∴λ>10 3 .当 a 与 b 共线时， λ －3 ＝ 2 5 ，∴λ＝－6 5 .此时，a 与 b 同向， ∴λ>10 3 .] 11．B [ 如图，设对角线 AC与 BD交于点 O，∴AB→＝AO→＋OB→ . CA→ ·AB→＝CA→ ·(AO→＋OB→ )＝－2＋0＝－ 2，故选 B.] 12．A [根据正六边形的几何性质． 〈P1P2 → ，P1P3 → 〉＝ π 6 ，〈P1P2 → ，P1P4 → 〉＝ π 3 ， 〈P1P2→ ，P1P5→ 〉＝ π 2 ，〈P1P2→ ，P1P6→ 〉＝ 2π 3 . ∴P1P2→ ·P1P6→ <0，P1P2→ ·P1P5→ ＝0， P1P2→ ·P1P3→ ＝|P1P2→ |· 3|P1P2→ |cos π 6 ＝ 3 2 |P1P2→ |2， P1P2 → ·P1P4 → ＝|P1P2 → |·2|P1P2 → |·cos π 3 ＝|P1P2 → |2.比较可知 A正确．] 13．－1 解析 ∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，∴a＋b＝(1，m－1)． ∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m－1)＝0.∴m＝－1. 14．3 解析 a·b＝|a||b|cos 30°＝2· 3·cos 30°＝3. 15．6 解析 由(2a＋3b)·(ka－4b)＝2ka2－12b2＝2k－12＝0，∴k＝6. 16．－ 1 2 解析 因为点 O是 A，B的中点，所以PA→＋PB→＝2PO→，设|PC→ |＝x，则|PO→ |＝1－x(0≤x≤1)． 所以(PA→＋PB→ )·PC→＝2PO→ ·PC→＝－2x(1－x)＝2(x－1 2 )2－1 2 . ∴当 x＝1 2 时，(PA→＋PB→ )·PC→取到最小值－ 1 2 . 17．解 (1)∵c∥a，∴设 c＝λa，则 c＝(λ，2λ)． 又|c|＝2 5，∴λ＝±2，∴c＝(2,4)或(－2，－4)． (2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0. ∵|a|＝ 5，|b|＝ 5 2 ，∴a·b＝－ 5 2 . ∴cos θ＝ a·b |a||b| ＝－1，∴θ＝180°. 18．解 由题意得 a·b＝|a||b|cos 60°＝2×3×1 2 ＝3. (1)当 c∥d，c＝λd，则 5a＋3b＝λ(3a＋kb)． ∴3λ＝5，且 kλ＝3，∴k＝9 5 . (2)当 c⊥d 时，c·d＝0，则(5a＋3b)·(3a＋kb)＝0. ∴15a2＋3kb2＋(9＋5k)a·b＝0，∴k＝－ 29 14 . 19．解 (1)∵(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝1－|b|2＝1 2 ，∴|b|2＝1 2 ，∴|b|＝ 2 2 ， 设 a 与 b 的夹角为θ，则 cos θ＝ a·b |a||b| ＝ 1 2 1× 2 2 ＝ 2 2 .∴θ＝45°. (2)∵|a|＝1，|b|＝ 2 2 ， ∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×1 2 ＋ 1 2 ＝ 1 2 .∴|a－b|＝ 2 2 ， 又|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1 2 ＋ 1 2 ＝ 5 2 .∴|a＋b|＝ 10 2 ， 设 a－b 与 a＋b 的夹角为α，则 cos α＝a－b·a＋b |a－b|·|a＋b| ＝ 1 2 2 2 × 10 2 ＝ 5 5 .即 a－b 与 a＋b 的夹角 的余弦值为 5 5 . 20．解 (1)AB→＝(3,5)，AC→＝(－1,1)， 求两条对角线的长即求|AB→＋AC→ |与|AB→－AC→ |的大小． 由AB→＋AC→＝(2,6)，得|AB→＋AC→ |＝2 10， 由AB→－AC→＝(4,4)，得|AB→－AC→ |＝4 2. (2)OC→＝(－2，－1)，∵(AB→－tOC→ )·OC→＝AB→ ·OC→－tOC→ 2，易求AB→ ·OC→＝－11，OC→ 2＝5， ∴由(AB→－tOC→ )·OC→＝0得 t＝－ 11 5 . 21．证明 如图建立直角坐标系 xOy，其中 A为原点，不妨设 AB＝2， 则 A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)， E(1,2)，F(0,1)． (1)BE→＝OE→－OB→＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)， CF→＝OF→－OC→＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)， ∵BE→ ·CF→＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴BE→⊥CF→，即 BE⊥CF. (2)设 P(x，y)，则FP→＝(x，y－1)，CF→＝(－2，－1)， ∵FP→∥CF→，∴－x＝－2(y－1)，即 x＝2y－2. 同理由BP→∥BE→，得 y＝－2x＋4，代入 x＝2y－2. 解得 x＝6 5 ，∴y＝8 5 ，即 P 6 5 ， 8 5 . ∴AP→ 2＝ 6 5 2＋ 8 5 2＝4＝AB→ 2， ∴|AP→ |＝|AB→ |，即 AP＝AB. 22．证明 ∵OP1→ ＋OP2→ ＋OP3→ ＝0，∴OP1→ ＋OP2→ ＝－OP3→ ， ∴(OP1→ ＋OP2→ )2＝(－OP3→ )2， ∴|OP1→ |2＋|OP2→ |2＋2OP1→ ·OP2→ ＝|OP3→ |2， ∴OP1→ ·OP2→ ＝－ 1 2 ， cos∠P1OP2＝ OP1→ ·OP2→ |OP1→ |·|OP2→ | ＝－ 1 2 ， ∴∠P1OP2＝120°.同理，∠P1OP3＝∠P2OP3＝120°，即OP1→ 、OP2→ 、OP3→ 中任意两个向量的夹 角为 120°，故△P1P2P3是正三角形．