2021届高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第6节对数与对数函数课件新人教A版 44页

第 6 节　对数与对数函数 知 识 梳 理 x ＝ log a N 1. 对数的概念 如果 a x ＝ N ( a >0 ，且 a ≠ 1) ，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 __________ ，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数 . 2. 对数的性质、运算性质与换底公式 N log a M ＋ log a N log a M － log a N n log a M 3. 对数函数及其性质 (1) 概念：函数 y ＝ log a x ( a ＞ 0 ，且 a ≠ 1) 叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 (0 ，＋ ∞ ). (2) 对数函数的图象与性质   a >1 0< a <1 图象 性质 定义域： __________ 值域： _____ 当 x ＝ 1 时， y ＝ 0 ，即过定点 _______ 当 x >1 时， y >0 ； 当 0< x <1 时， y <0 当 x >1 时， y <0 ； 当 0< x <1 时， y >0 在 (0 ，＋ ∞ ) 上是 ________ 在 (0 ，＋ ∞ ) 上是 ________ (0 ，＋ ∞ ) R (1 ， 0) 增函数 减函数 4. 反函数 指数函数 y ＝ a x ( a >0 ，且 a ≠ 1) 与对数函数 __________ ( a >0 ，且 a ≠ 1) 互为反函数，它们的图象关于直线 ________ 对称 . y ＝ log a x y ＝ x [ 常用结论与微点提醒 ] 1. 换底公式的两个重要结论 2. 在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大 . 诊 断 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) 解析 　 (1)log 2 x 2 ＝ 2log 2 | x | ，故 (1) 错 . (2) 形如 y ＝ log a x ( a ＞ 0 ，且 a ≠ 1) 为对数函数，故 (2) 错 . (4) 若 0< b <1< a ，则当 x ＞ 1 时， log a x ＞ log b x ，故 (4) 错 . 答案 　 (1) × 　 (2) × 　 (3) √ 　 (4) × 2. ( 新教材必修第一册 P127T3 改编 ) log 2 9 × log 3 4 ＋ 2log 5 10 ＋ log 5 0.25 ＝ ( 　　 ) A.0 B.2 C.4 D.6 解析 　原式＝ 2log 2 3 × (2log 3 2) ＋ log 5 (10 2 × 0.25) ＝ 4 ＋ log 5 25 ＝ 4 ＋ 2 ＝ 6. 答案 　 D A. a > b > c B. a > c > b C. c > b > a D. c > a > b 答案　 D 4. (2018· 全国 Ⅲ 卷 ) 设 a ＝ log 0.2 0.3 ， b ＝ log 2 0.3 ，则 ( 　　 ) A. a ＋ b < ab <0 B. ab < a ＋ b <0 C. a ＋ b <0< ab D. ab <0< a ＋ b 答案　 B 5. (2019· 武汉月考 ) 已知函数 y ＝ log a ( x ＋ c )( a ， c 为常数，其中 a >0 ，且 a ≠ 1) 的图象如图，则下列结论成立的是 ( 　　 ) A. a >1 ， c >1 B. a >1 ， 0< c <1 C.0< a <1 ， c >1 D.0< a <1 ， 0< c <1 解析　 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以 0< a <1. 又当 x ＝ 0 时， y >0 ，即 log a c >0 ，所以 0< c <1. 答案　 D 考点一　对数的运算 解析　 (1) 由已知，得 a ＝ log 2 m ， b ＝ log 5 m ， 答案　 (1)A 　 (2)1 规律方法　 1. 在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并 . 2. 先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算 . 3. a b ＝ N ⇔ b ＝ log a N ( a >0 ，且 a ≠ 1) 是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化 . 所以 t ＝ 2 ，则 a ＝ b 2 . 又 a b ＝ b a ， 所以 b 2 b ＝ b b 2 ，即 2 b ＝ b 2 ， 又 a > b >1 ，解得 b ＝ 2 ， a ＝ 4. 答案　 (1)A 　 (2)4 　 2 考点二　对数函数的图象及应用 【例 2 】 (1) (2020· 南昌调研 ) 已知 lg a ＋ lg b ＝ 0 ，则函数 f ( x ) ＝ a － x 与函数 g ( x ) ＝ log b x 的图象可能是 ( 　　 ) 解析　 (1) 由 lg a ＋ lg b ＝ 0 ，得 ab ＝ 1. 因此 f ( x ) ＝ b x 与 g ( x ) ＝ log b x 单调性相同 . A ， B ， D 中的函数单调性相反，只有 C 的函数单调性相同 . (2) 如图，在同一坐标系中分别作出 y ＝ f ( x ) 与 y ＝－ x ＋ a 的图象，其中 a 表示直线 y ＝－ x ＋ a 在 y 轴上的截距 . 由图可知，当 a >1 时，直线 y ＝－ x ＋ a 与 y ＝ f ( x ) 只有一个交点 . 答案　 (1)C 　 (2)(1 ，＋ ∞ ) 规律方法　 1. 在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点 ( 与坐标轴的交点、最高点、最低点等 ) 排除不符合要求的选项 . 2. 一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解 . (2) 由题意，易知 a >1. 如图，在同一坐标系内作出 y ＝ ( x － 1) 2 ， x ∈ (1 ， 2) 及 y ＝ log a x ， x ∈ (1 ， 2) 的图象 . 若 y ＝ log a x 过点 (2 ， 1) ，得 log a 2 ＝ 1 ，所以 a ＝ 2. 根据题意，函数 y ＝ log a x ， x ∈ (1 ， 2) 的图象恒在 y ＝ ( x － 1) 2 ， x ∈ (1 ， 2) 的上方 . 结合图象， a 的取值范围是 (1 ， 2]. 答案　 (1)B 　 (2)C 考点三　解决与对数函数性质有关的问题　 多维探究 角度 1 　比较大小 A. a ＝ b < c B. a ＝ b > c C. a < b < c D. a > b > c (2) (2019· 天津卷 ) 已知 a ＝ log 5 2 ， b ＝ log 0.5 0.2 ， c ＝ 0.5 0.2 ，则 a ， b ， c 的大小关系为 ( 　　 ) A. a < c < b B. a < b < c C. b < c < a D. c < a < b 因为 y ＝ log 0.5 x 是减函数， 所以 b ＝ log 0.5 0.2>log 0.5 0.5 ＝ 1. 因为 y ＝ 0.5 x 是减函数，所以 0.5 ＝ 0.5 1 < c ＝ 0.5 0.2 <0.5 0 ＝ 1 ， 即 0.5< c <1. 所以 a < c < b . 答案　 (1)B 　 (2)A 规律方法　 比较幂或对数值的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较，若底数不同，可考虑利用中间量进行比较 . 角度 2 　解简单的对数不等式 【例 3 － 2 】 (1) (2020· 成都诊断 ) 已知定义域为 R 的偶函数 f ( x ) 在 ( － ∞ ， 0] 上是减函数，且 f (1) ＝ 2 ，则不等式 f (log 2 x )>2 的解集为 ( 　　 ) (2) 当 a >1 时， f ( x ) ＝ log a (8 － ax ) 在 [1 ， 2] 上是减函数，由 f ( x )>1 在区间 [1 ， 2] 上恒成立， 当 0< a <1 时， f ( x ) 在 [1 ， 2] 上是增函数， 由 f ( x )>1 在区间 [1 ， 2] 上恒成立，知 f ( x ) min ＝ f (1) ＝ log a (8 － a )>1 ，且 8 － 2 a >0. ∴ 8 － a < a 且 8 － 2 a >0 ，此时解集为 ∅ . 规律方法　 形如 log a x >log a b 的不等式，借助 y ＝ log a x 的单调性求解，如果 a 的取值不确定，需分 a >1 与 0< a <1 两种情况讨论 . 角度 3 　对数型函数性质的综合应用 (1) 若函数 f ( x ) 是 R 上的奇函数，求 a 的值； (2) 若函数 f ( x ) 的定义域是一切实数，求 a 的取值范围； (3) 若函数 f ( x ) 在区间 [0 ， 1] 上的最大值与最小值的差不小于 2 ，求实数 a 的取值范围 . 解　 (1) 若函数 f ( x ) 是 R 上的奇函数，则 f (0) ＝ 0 ， ∴ log 2 (1 ＋ a ) ＝ 0 ， ∴ a ＝ 0. 当 a ＝ 0 时， f ( x ) ＝－ x 是 R 上的奇函数 . 所以 a ＝ 0. 故只要 a ≥ 0 ，则 a 的取值范围是 [0 ，＋ ∞ ). 规律方法　 1. 研究函数性质，要树立定义域优先的原则，讨论函数的一切问题都在定义域上进行 . 2. 解题注意几点： (1) 由 f (0) ＝ 0 ，得 a ＝ 0 ，需验证 f ( － x ) ＝－ f ( x ).(2) f ( x ) 的定义域为 R ，转化为不等式恒成立问题 .(3) 第 (3) 问运用转化思想，把对数不等式转化为等价的代数不等式 . (2) 由 f ( x ) 是奇函数可得 a ＝－ 1 ， (3) ∵ 函数 f ( x ) ＝ log a ( x ＋ 2) ＋ 3( a >0 ，且 a ≠ 1) 的图象恒过定点 ( m ， n ) ，令 x ＋ 2 ＝ 1 ，求得 x ＝－ 1 ， f ( x ) ＝ 3 ，可得函数的图象经过定点 ( － 1 ， 3) ， ∴ m ＝－ 1 ， n ＝ 3. ∵ 函数 g ( x ) ＝ mx 2 － 2 bx ＋ n ＝－ x 2 － 2 bx ＋ 3 ， 所以实数 b 的取值范围为 [ － 1 ，＋ ∞ ). 答案　 (1)D 　 (2)( － 1 ， 0) 　 (3)[ － 1 ，＋ ∞ ) 以基本初等函数为载体考查函数的应用，常考常新 . 命题多与函数零点 ( 不等式 ) 、参数的求值交汇，如 2017· 全国 Ⅲ 卷 ·T15 ， 2018· 全国 Ⅰ 卷· T9 ， 2019· 全国 Ⅲ 卷 ·T11 ，解题的关键是活用函数的图象与性质，重视导数的工具作用 . 解析　 存在 b ∈ (0 ，＋ ∞ ) ，使 f ( a ) ＝ g ( b ) ， 答案　 D 思维升华　 1. 解题的关键： (1) 由 f ( a ) ＝ g ( b ) ，引入参数 t 表示 a ， b 两个量 .(2) 构造函数，转化为求函数的最值 . 2. 可导函数唯一极值点也是函数的最值点，导数是求解函数最值的工具 . A.(16 ， 32) B.(18 ， 34) C.(17 ， 35) D.(6 ， 7) 解析　 画出函数 f ( x ) 的图象如图所示 . 不妨设 a < b < c ，则 a <0 ， b >0. 由 f ( a ) ＝ f ( b ) ，得 1 － 2 a ＝ 2 b － 1 ，则 2 a ＋ 2 b ＝ 2. 又 f ( a ) ＝ f ( b ) ＝ f ( c ) ，结合图象，得 0<5 － c <1 ，则 4< c <5. ∴ 16<2 c <32. 故 18<2 a ＋ 2 b ＋ 2 c <34. 答案　 B