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- 2021-06-15 发布
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高三年级数学学科线上测试
考生须知:
1.本卷满分150分,考试时间120分钟;
2.答题前,在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号.
3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效;
4.考试结束后,只需上交答题卷.
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若全集U={0,1,2,3,4,5,6,7},集合A={3,4,5,6},集合B={1,3,4},则集合( )
A. {0,1,2,5,6,7} B. {1} C. {0,2,7} D. {5,6}
【答案】C
【解析】
【分析】
利用集合补集运算方法分别求出,,再由集合的并集运算方法求出.
【详解】因为全集U={0,1,2,3,4,5,6,7},集合A={3,4,5,6},集合B={1,3,4},则集合,,所以{0,2,7}
故选择:C
【点睛】本题考查集合的并集与补集运算,属于基础题.
2.已知双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±3x,则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
由渐近线求得,由双曲线的离心率求得答案.
- 29 -
【详解】因为该双曲线的渐近线方程为y=±3x,则,
所以双曲线的离心率
故选:A
【点睛】本题考查求双曲线的离心率,涉及双曲线的渐近线方程,属于简单题.
3.若直线y=ax+2a与不等式组表示的平面区域有公共点,则实数a的取值范围是( )
A. [0,] B. [0,9] C. [0,+ ∞] D. [-∞,9]
【答案】B
【解析】
【分析】
作出满足已知约束条件的可行域,将目标函数转化为,其等价于可行域中任意一点与的直线的斜率,则,联立直线方程求得临界点坐标,由两点坐标求出,,可得答案.
【详解】作出满足已知约束条件的可行域,将目标函数y=ax+2a转化为
其等价于可行域中任意一点与的直线的斜率,则
显然,,所以
- 29 -
故选:B
【点睛】本题考查目标函数为为斜率型的线性规划问题,属于中档题.
4.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),该几何体的体积(单位:cm3)是( )
A. 162 B. 126 C. 144 D. 108+36
【答案】A
【解析】
【分析】
将该三视图还原之后,可以得到如图立体图形为底面是等腰梯形的四棱柱,分别求得底面等腰梯形的面积和该立体图形的高,利用柱体体积运算公式求得答案.
【详解】将该三视图还原之后,可以得到如图立体图形为底面是等腰梯形的四棱柱
其中底面等腰梯形的面积为,高
- 29 -
所以四棱柱的体积
故选:A
【点睛】本题考查立体几何中三视图还原求体积问题,属于中档题.
5.已知平面α⊥平面β,且α∩β=l,aα,bβ,则“a⊥b”是“a⊥l或b⊥l”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据线线垂直、线面垂直和面面垂直的相互转化,可证得条件可推结论,结论可推条件,即为充要条件.
【详解】若有任意cα,且c⊥l,则,又因为平面α⊥平面β,即;
若a⊥b,当a⊥l时显然成立,
当a与l相交时,a与c也应相交,且,则,因为平面α⊥平面β,则b⊥l.
所以若“a⊥b”则“a⊥l或b⊥l”
- 29 -
若a⊥l或b⊥l,因为平面α⊥平面β,且α∩β=l,aα,bβ,所以或,
由线面垂直的性质知a⊥b;
所以“a⊥b”是“a⊥l或b⊥l”的充要条件.
故选:C
【点睛】本题在充分必要性的判定下考查空间中垂直关系的推理,属于中档题.
6.函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
当时,逐步分析到,显然此时,观察图像即可选出答案.
【详解】当时,,所以,即
所以,所以
所以当时,,可排除ABC
故选:D
【点睛】本题考查由函数解析式选函数图象,属于中档题.
7.已知0 D. D(X)=D(Y)
【答案】D
【解析】
【分析】
在分布列中由数学期望与方差的运算公式分别计算X与Y的对应值,既得答案.
【详解】有题意知,分别的数学期望为,
,
分别的方差为,
显然,D(X)=D(Y).
故选:D
【点睛】本题考查分布列中计算数学期望与方差,属于中档题.
8.已知C为Rt△ABD斜边BD上一点,且△ACD为等边三角形,现将△ABC沿AC翻折至.若在三棱锥中,直线和直线与平面ACD所成角分别为α,β,则( )
- 29 -
A. 0<α<β B. β<α≤2β
C. 2β≤α≤3β D. α≥3β
【答案】B
【解析】
【分析】
在Rt△ABD中,△ACD为等边三角形,所以点C为BD中点,且,所以,过作面于点O,表示,则,由,得,假设,证得矛盾,即可说明假设不成立,原命题成立,即,即得答案.
【详解】在Rt△ABD中,△ACD为等边三角形,所以点C为BD中点,且,所以
令,过作面于点O
所以,则且,所以
显然当时,则,显然成立
假设,则
- 29 -
,矛盾,假设不成立,则
所以β<α≤2β
故选:B
【点睛】本题考查空间中折叠问题,涉及线面角的表示、运算与讨论,属于难题.
9.已知00)上一点R(m,2)到它的准线的距离为3.若点A,B,C分别在抛物线上,且点A、C在y轴右侧,点B在y轴左侧,△ABC的重心G在y轴上,直线AB交y轴于点M且满足3|AM|<2|BM|,直线BC交y轴于点N.记△ABC,△AMG,△CNG的面积分别为S1,S2,S3.
- 29 -
(1)求p的值及抛物线的准线方程;
(2)求的取值范围.
【答案】(1),;(2)
【解析】
【分析】
(1)由抛物线x2=2py(p>0)上一点R(m,2)到它的准线的距离为3构建方程,求得p,则可得准线方程;
(2)设点,,由面积公式可知由点G为的重心,且在y轴上,可以表示,由相似三角形可知,即可表示,令,整理得,由,得将视为二次函数求得值域,进而求得的范围,取倒即可得答案.
【详解】(1)有题意知,,,所以准线方程:
(2)设点,
- 29 -
点G为的重心,且在y轴上,
所以,且,则,且由相似三角形可知
所以
令,
因为,所以,故,则
故
【点睛】本题考查在抛物线的背景下探究平面图形面积比的范围问题,涉及求抛物线的标准方程,还考查了三角形重心的性质,属于难题.
22.已知函数f(x)=(e-k)elnx+kx,其中k>0,g(x)=ex.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)证明:当eg(x0).
(注:e=2.71828L为自然对数的底数,且ln2≈0.693,ln3≈1.099.)
- 29 -
【答案】(1)当时,增区间为;当,减区间为,增区间为(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)确定定义域,对函数f(x)求导,利用分类讨论求含参函数的单调区间的方式,表示单调区间;
(2)需满足当eg(x0);利用分类讨论思想,验证当时,显然成立,当时,对作差构建函数,令,由是关于的一次函数,所以,分别说明其中,,即,,不符合题意;当时,构造利用求导分析单调性为在区间上单调递增,即,,综上可得证.
【详解】(1)由题意知,定义域为,且导函数.
若,,函数在区间上单调递增;
若,由.
当时,,此时函数单调递减
当时,,此时函数单调递增.
(2)当时,,即存在使得.
当时,,令,整理得,因为是关于的一次函数,所以,其中,
- 29 -
,又,
所以,即,则不符合题意.
解法1:因为讨论的是整数解问题,所以接下来若能证明时,不符合题意即可.
当时,令.
则,令,则,由易知在上单调递增,则,
则在区间上单调递增,
,即,
则在区间上单调递增,则
,即,不符合题意.综上所述,当时,存在唯一的整数,使得.
解法2(评分标准参考解法1):因为讨论的是整数解问题,所以接下来若能证明时,不符合题意即可.
当时,令.则,令
,则,由易知在上单调递增,则,则在区间上单调递增,则,即,则
- 29 -
在区间上单调递增,则,即,不符合题意.
综上所述,当时,存在唯一的整数,使得.
【点睛】本题考查利用导数解决函数的综合问题,涉及利用导数求含参函数的单调区间问题,还考查了不等式整数解的分类讨论,属于难题.
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