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- 2021-06-15 发布
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C II ) * BB ~ c B':J pg tUeJfj ,mJ * B':l :Al :k ffi.
23. [~f~ 4-5: ~~~~iJt](lO Jt)
iQ:Pl§~ f(x) = I ax+ 11 +Ix-a I (a>O), g(x) =x2 - x.
(I)~ a=l Ht,*~~~ g(x)~f(x)l'!{J/ff~;
C II) Bffl JCx)~2 tK~-J[__ ·* a B':Jllitffiffi:!11.
,/2 y=2t
2019 年高中毕业年级第二次质量预测数学（文科）参考答案
一、选择题
BCBDC ADACB CB
二、填空题
13. 2 ;2
14. 4[ 3, ];3
−− 15.12 ;5
16. ln 2(0, ].2
三、解答题
17. 解：（ 1）由题意知， 212
23 1
naaa nnn
+ +…+ = ++
，
当 2n ≥ 时有， 2112 ( 1) 123
naaa nnn
−+ +…+ = − + − ， ----------------2 分
两式相减得， 2 2 ( 1).1
n
n
a n a nnn
= = ++
， ----------------4 分
当 1n = 时， 1 4a = 也符合，所以 *2 ( 1), .na nn n= +∈N ----------------6 分
（2） 1 1 11 1
2 ( 1) 2 1n
n
b a nn n n
= ++
= =( - )， ----------------8 分
所以 1 111 1 1 1 1
2 223 12 12(1)n
nS nn n n
= +−+ + + ++(1- - )= (1- )= ，----------------10 分
由 9
2( 1) 20n
nS n
= >+
得， 9n > ，所以满足条件的最小正整数 n 为 10. ----------------12 分
18. （1）证：连接 PF ， PAD∆ 是等边三角形， ADPF ⊥∴ ，
又底面 ABCD 是菱形，
3
π=∠BAD ， ADBF ⊥∴ ，
PF BF F= ， ⊥∴ AD 平面 BFP ， PB ⊂ 平面 BFP ， PBAD ⊥∴ .----------------4 分
（2）由（1）知 ,,AD BF PD BF AD PD D⊥⊥ = ， PADBF 平面⊥∴ .
,ABCD PAD ABCD PAD AD∴⊥ =平面 平面 平面 平面 ，
又 ADPF ⊥ ， ABCDPF 平面⊥∴ ， ----------------6 分
连接CF 交 DE 于点 H ，过 H 作 GPCPFHG 于交∥ , ABCDGH 平面⊥∴ .
又∵GH DEG⊂ 平面 ， ABCDDEG 平面平面 ⊥∴ .
∵
2
1==
DF
CE
HF
CH ，
2
1=∴
GP
CG . ----------------10 分
3
3
3
1 ==∴ PFGH ， 11.3 12D CEG G CDE CDEV V S GH−− ∆= = ⋅=----------------12 分
19. 解 ：（ 1）由频率分布直方图可得：10×（0.01+0.015+a+0.03+0.01）＝1，
解得 a＝0.035， ----------------2 分
所以通过电子阅读的居民平均年龄为：
20×10×0.01+30×10×0.015+40×10×0.035+50×10×0.03+60×10×0.01＝41.5；-------5 分
（2）
由表中数据，计算
2
2 200(30 90 60 20) 6.061 5.02450 150 90 110K ×−×= ≈>× ××
，----------------10 分
∴能有 97.5%以上的把握认为“阅读方式与年龄之间有关系”. ----------------12 分
20. 解 ：（ 1）由椭圆的定义可得 2（a+c）＝ 324+ ，所以 a+c＝ 32+
①
，
当 A 在上（或下）顶点时，△AF1F2的面积取得最大值，即最大值为 3bc =
②
，
由
①②
及 a2＝c2+b2联立求得 a＝2，b＝1，c＝ 3 ，
可得椭圆方程为 14
2
2
=+ yx . ----------------4 分
（2）当 AB 的斜率不存在时，设直线OA的方程为： xy 2
1= ，
不妨取点 )2
2,2(A ，则 )2
2,2( −B ， )0,2(P ， 2=∴ OP . ----------------5 分
当 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为： mkxy += ， ( ) ( ),,,, 2211 yxByxA
由
=+
+=
44 22 yx
mkxy 可得 ( ) 044841 222 =−+++ mkmxxk ，
2
2
21221 41
44,41
8
k
mxxk
kmxx +
−=+
−=+∴ .∵ 12
1
4kk = − ，∴ 04 2121 =+ xxyy .
电子阅读 纸质阅读 合计
青少年 90 20 110
中老年 60 30 90
合计 150 50 200
_t
I I
_t
_t
_t
_t_t
_t
_t
_t
_t
_t
( )( ) ( ) ( )
0441
3244
44144
2
2
22
2
2
2121
2
2121
=++−−=
++++=+++∴
mk
mkm
mxxkmxxkxxmkxmkx
化简得：
2
1,412 222 ≥∴+= mkm . ----------------8 分
( )( ) ( ) 01614164414464 2222222 >=−+=−+−=∆ mmkmkmk ，
设 ( )00 , yxP ，则
m
k
k
kmxxx 2
41
4
2 2
21
0
−=+
−=+= ，
mmkxy 2
1
00 =+= . ----------------10 分
)2,2
1
4
324
14
222
2
2
0
2
0
2
∈−=+=+=∴
mmm
kyxOP ，
∈∴ 22
2 ，OP .
综上， OP 的取值范围为
2,2
2 ． ----------------12 分
21. 解：（1）由题知， ( ) (1 ln ) 2 ln 2f x a x bx a a x bx′ = + − −= − ，
(1) 2 1,fb′ =−=− 所以 1
2b = ，又有 3(1) 2f ba=−−=− ，所以 1a = .
即 11, .2ab= = ----------------4 分
（2）当 10, 2ab≤=时， ( ) ln 0,fx a xx′ = −<
()fx在 (1, )e 上单调递减.-------5 分
不妨设 12xx< ，则 12() ()fx fx> ，原不等式即为 12
21
() () 3,fx fx
xx
− <−
，
即 1 2 21() ( ) 3 3,fx fx x x− <−即 11 2 2()3 ()3,fx x fx x+< +
令 () () 3,gx f x x= + 则 ()gx在 (1, )e 上为单调递增函数，
所以有 () () 3 ln 3 0gx f x a x x′′= += −+≥在(1, )e 上恒成立. ---------------8 分
3, (1, ),ln
xa xex
−≥∈令 3( ) , (1, )ln
xhx x ex
−= ∈ ， 2
3ln 1
() ,(ln )
x xhx x
+−
′ =
令 22
3 13 3() ln 1,() 0xxx xx xx x
ϕϕ−′= +− =− = <，
所以 ()xϕ 在 (1, )e 上单调递减， 3() ()xee
ϕϕ>=， ( ) 0,hx′ > ()hx 在 (1, )e 上单调递增，
() () 3hx he e<=−，所以 3.ae≥−
I I .r .r
综上， 3 0.ea−≤ ≤ ----------------12 分
22. 解（1）已知曲线C 的标准方程为
22
112 4
xy+=， P 的坐标为( )2,0− ，
将直线l 的参数方程
22 2
2
2
xt
yt
=−+
=
与曲线C 的标准方程
22
112 4
xy+=联立，
得 2 2 40tt− −=，则 12| || || | 4PA PB t t⋅==. ----------------5 分
(2)由曲线C 的标准方程为
22
112 4
xy+=，可设曲线 C 上的动点 (2 3 cos , 2sin )A θθ，
则以 A 为顶点的内接矩形周长为 4(2 3 cos 2sin ) 16sin( )3
πθθ θ+= +， 0 2
πθ<< .
因此该内接矩形周长的最大值为 16，当且仅当
6
πθ = 时等号成立. ------------10 分
23.解（1）当 1a = 时， 1x ≤− ( )
2 , 1,
1 1 2, 1 1,
2 , 1,
xx
fx x x x
xx
− ≤−
= + + − = −< <
≥
当 1x ≤− ， 2 2 , 1.x x xx− ≥− ≤−
当 11x−< <， 2 2, 1 2xx x x− ≥ ≤− ≥或 ，舍去.
当 1x ≥ ， 2 2 , 3.x x xx−≥ ≥ 综上，原不等式的解集为{ | 1 3}xx x≤− ≥或 . ----------------5 分
（2） ( )
1( 1) 1 , ,
11 (1)1, ,
( 1) 1 , ,
a x ax a
f x ax x a a x a x aa
a x ax a
− + − + ≤−
= + + − = − ++ − < <
+ +− ≥
当 01a<≤时， 2
min ( ) ( ) 1 2, 1f x fa a a= = +≥ =；
当 1a > 时， min
11( ) ( ) 2, 1fxf a aaa
= − =+≥ >；综上， [1, )a∈ +∞ . ----------------10 分
I I I
I I I I
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