2019高考数学（理）冲刺大题提分（讲义+练习）大题精做15 函数与导数：极值点不可求与构造（理） 5页

函数与导数：极值点不可求与构造 大题精做十五 精选大题 ‎[2019·厦门三中]已知函数，．‎ ‎（1）讨论的极值；‎ ‎（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）当时，无极值；当时，有极大值，无极小值；‎ ‎（2）．‎ ‎【解析】（1）依题意，‎ ‎①当时，，在上单调递增，无极值；‎ ‎②当时，，‎ 当时，，在上单调递增；‎ 当时，，在上单调递减，‎ 所以，无极小值．‎ 综上可知，当时，无极值；当时，有极大值，无极小值．‎ ‎（2）原不等式可化为，‎ 记，只需，可得．‎ ‎①当时，，，所以，在上单调递增，所以当时，，不合题意，舍去．‎ ‎·5·‎ ‎②当时，，‎ ‎（i）当时，因为，所以，所以，‎ 所以在上单调递减，故当时，，符合题意．‎ ‎（ii）当时，记，‎ 所以，在上单调递减．‎ 又，，‎ 所以存在唯一，使得．‎ 当时，，‎ 从而，即在上单调递增，‎ 所以当时，，不符合要求，舍去．‎ 综上可得，．‎ 模拟精做 ‎1．[2019·黄山一模]已知函数，（为自然对数的底数）．‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）证明：当时，不等式成立．‎ ‎·5·‎ ‎2．[2019·榆林一模]已知函数．‎ ‎（1）设，求的最大值及相应的值；‎ ‎（2）对任意正数恒有，求的取值范围．‎ ‎3．[2019·张家口期末]已知函数．‎ ‎（1）若，使得恒成立，求的取值范围．‎ ‎（2）设，为函数图象上不同的两点，的中点为，‎ 求证：．‎ 答案与解析 ‎1．【答案】（1）；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）由题意知，当时，，解得，‎ 又，，即曲线在点处的切线方程为．‎ ‎（2）证明：当时，得，‎ 要证明不等式成立，即证成立，‎ 即证成立，即证成立，‎ ‎·5·‎ 令，，易知，，‎ 由，知在上单调递增，上单调递减，，‎ 所以成立，即原不等式成立．‎ ‎2．【答案】（1）当时，取得最大值；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵，∴，‎ ‎∴，‎ 则，‎ ‎∵的定义域为，∴，‎ ‎①当时，；②当时，；③当时，，‎ 因此在上是增函数，在上是减函数，‎ 故当时，取得最大值．‎ ‎（2）由（1）可知，，‎ 不等式可化为①‎ 因为，所以（当且仅当取等号），‎ 设，则把①式可化为，即（对恒成立），‎ 令，此函数在上是增函数，所以的最小值为，‎ 于是，即．‎ ‎3．【答案】（1）；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）恒成立，即恒成立，‎ ‎·5·‎ 令，，‎ 由于，则在单调递减，在单调递增，‎ 故，解得．‎ ‎（2）证明：因为为的中点，则，‎ 故，‎ ‎，故要证，即证，‎ 由于，即证．‎ 不妨假设，只需证明，即．‎ 设，构造函数，，则，‎ 则有，从而．‎ ‎·5·‎