高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8_4直线、平面平行的判定与性质教师用书理新人教版 19页

第八章 立体几何与空间向量 8.4 直线、平面平行的判定与性质教师 用书 理 新人教版 1．线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的 一条直线平行，则该直线与此平 面平行(简记为“线线平行⇒线 面平行”) ∵l∥a，a ⊂α，l⊄ α， ∴l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过 这条直线的任一平面与此平面 的交线与该直线平行(简记为 “线面平行⇒线线平行”) ∵l∥α，l ⊂β， α∩β＝ b，∴l∥b 2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交 直线与另一个平面平 行，则这两个平面平行 (简记为“线面平行⇒ 面面平行”) ∵a∥β，b∥β，a∩b ＝P，a⊂α，b⊂α， ∴α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时 和第三个平面相交，那 么它们的交线平行 ∵α∥β，α∩γ＝a， β∩γ＝b，∴a∥b 【知识拓展】 重要结论： (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a⊥α，a⊥β，则α∥β； (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若 a⊥α，b⊥α，则 a∥b； (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( × ) (2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．( × ) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( × ) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √ ) (5)若直线 a 与平面α内无数条直线平行，则 a∥α.( × ) (6)若α∥β，直线 a∥α，则 a∥β.( × ) 1．(教材改编)下列命题中正确的是( ) A．若 a，b 是两条直线，且 a∥b，那么 a 平行于经过 b 的任何平面 B．若直线 a 和平面α满足 a∥α，那么 a 与α内的任何直线平行 C．平行于同一条直线的两个平面平行 D．若直线 a，b 和平面α满足 a∥b，a∥α，b⊄ α，则 b∥α 答案 D 解析 A 中，a 可以在过 b 的平面内；B 中，a 与α内的直线可能异面；C 中，两平面可相交； D 中，由直线与平面平行的判定定理知，b∥α，正确． 2．设 l，m 为直线，α，β为平面，且 l⊂α，m⊂β，则“l∩m＝∅ ”是“α∥β”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 B 解析 当平面与平面平行时，两个平面内的直线没有交点，故“l∩m＝∅ ”是“α∥β”的 必要条件；当两个平面内的直线没有交点时，两个平面可以相交，∴l∩m＝∅ 是α∥β的必 要不充分条件． 3．(2016·济南模拟)平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A．存在一条直线 a，a∥α，a∥β B．存在一条直线 a，a⊂α，a∥β C．存在两条平行直线 a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D．存在两条异面直线 a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α 答案 D 解析 若α∩β＝l，a∥l，a⊄ α，a⊄ β，则 a∥α，a∥β，故排除 A.若α∩β＝l，a⊂ α，a∥l，则 a∥β，故排除 B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则 a∥β，b∥α， 故排除 C.故选 D. 4．(教材改编)如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为 DD1 的中点，则 BD1 与平面 AEC 的位置关 系为________． 答案 平行 解析 连接 BD，设 BD∩AC＝O，连接 EO，在△BDD1 中，O 为 BD 的中点，所以 EO 为△BDD1 的 中位线， 则 BD1∥EO，而 BD1⊄ 平面 ACE，EO⊂平面 ACE， 所以 BD1∥平面 ACE. 5.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形 EFGH 为截面，则四边形 EFGH 的形状为 ________． 答案 平行四边形 解析 ∵平面 ABFE∥平面 DCGH， 又平面 EFGH∩平面 ABFE＝EF，平面 EFGH∩平面 DCGH＝HG， ∴EF∥HG.同理 EH∥FG， ∴四边形 EFGH 的形状是平行四边形. 题型一 直线与平面平行的判定与性质 命题点 1 直线与平面平行的判定 例 1 如图，四棱锥 P－ABCD 中，AD∥BC，AB＝BC＝1 2 AD，E，F，H 分别为线段 AD，PC，CD 的中点，AC 与 BE 交于 O 点，G 是线段 OF 上一点． (1)求证：AP∥平面 BEF； (2)求证：GH∥平面 PAD. 证明 (1)连接 EC， ∵AD∥BC，BC＝1 2 AD， ∴BC 綊 AE， ∴四边形 ABCE 是平行四边形， ∴O 为 AC 的中点． 又∵F 是 PC 的中点，∴FO∥AP， FO⊂平面 BEF，AP⊄ 平面 BEF， ∴AP∥平面 BEF. (2)连接 FH，OH， ∵F，H 分别是 PC，CD 的中点， ∴FH∥PD，∴FH∥平面 PAD. 又∵O 是 BE 的中点，H 是 CD 的中点， ∴OH∥AD，∴OH∥平面 PAD. 又 FH∩OH＝H，∴平面 OHF∥平面 PAD. 又∵GH⊂平面 OHF，∴GH∥平面 PAD. 命题点 2 直线与平面平行的性质 例 2 (2017·长沙调研)如图，四棱锥 P－ABCD 的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均 为 2 17.点 G，E，F，H 分别是棱 PB，AB，CD，PC 上共面的四点，平面 GEFH⊥平面 ABCD，BC∥ 平面 GEFH. (1)证明：GH∥EF； (2)若 EB＝2，求四边形 GEFH 的面积． (1)证明 因为 BC∥平面 GEFH，BC⊂平面 PBC， 且平面 PBC∩平面 GEFH＝GH， 所以 GH∥BC. 同理可证 EF∥BC，因此 GH∥EF. (2)解 如图，连接 AC，BD 交于点 O，BD 交 EF 于点 K，连接 OP，GK. 因为 PA＝PC，O 是 AC 的中点，所以 PO⊥AC， 同理可得 PO⊥BD. 又 BD∩AC＝O，且 AC，BD 都在底面内， 所以 PO⊥底面 ABCD. 又因为平面 GEFH⊥平面 ABCD， 且 PO⊄ 平面 GEFH，所以 PO∥平面 GEFH. 因为平面 PBD∩平面 GEFH＝GK， 所以 PO∥GK，且 GK⊥底面 ABCD， 从而 GK⊥EF. 所以 GK 是梯形 GEFH 的高． 由 AB＝8，EB＝2 得 EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4， 从而 KB＝1 4 DB＝1 2 OB，即 K 为 OB 的中点． 再由 PO∥GK 得 GK＝1 2 PO， 即 G 是 PB 的中点，且 GH＝1 2 BC＝4. 由已知可得 OB＝4 2， PO＝ PB2－OB2＝ 68－32＝6， 所以 GK＝3. 故四边形 GEFH 的面积 S＝GH＋EF 2 ·GK ＝4＋8 2 ×3＝18. 思维升华 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a⊄ α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄ α，a⊄ β，a∥α⇒a∥β)． 如图所示，CD，AB 均与平面 EFGH 平行，E，F，G，H 分别在 BD，BC，AC，AD 上， 且 CD⊥AB.求证：四边形 EFGH 是矩形． 证明 ∵CD∥平面 EFGH， 而平面 EFGH∩平面 BCD＝EF， ∴CD∥EF. 同理 HG∥CD，∴EF∥HG. 同理 HE∥GF， ∴四边形 EFGH 为平行四边形． ∴CD∥EF，HE∥AB， ∴∠HEF 为异面直线 CD 和 AB 所成的角（或补角）． 又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF. ∴平行四边形 EFGH 为矩形． 题型二 平面与平面平行的判定与性质 例 3 如图所示，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点，求 证： (1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1∥平面 BCHG. 证明 (1)∵G，H 分别是 A1B1，A1C1 的中点， ∴GH 是△A1B1C1 的中位线， ∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC， ∴GH∥BC， ∴B，C，H，G 四点共面． (2)∵E，F 分别是 AB，AC 的中点， ∴EF∥BC. ∵EF⊄ 平面 BCHG，BC⊂平面 BCHG， ∴EF∥平面 BCHG. ∵A1G 綊 EB， ∴四边形 A1EBG 是平行四边形， ∴A1E∥GB. ∵A1E⊄ 平面 BCHG，GB⊂平面 BCHG， ∴A1E∥平面 BCHG. ∵A1E∩EF＝E， ∴平面 EFA1∥平面 BCHG. 引申探究 1．在本例条件下，若 D 为 BC1 的中点，求证：HD∥平面 A1B1BA. 证明 如图所示，连接 HD，A1B， ∵D 为 BC1 的中点，H 为 A1C1 的中点， ∴HD∥A1B， 又 HD⊄ 平面 A1B1BA， A1B⊂平面 A1B1BA， ∴HD∥平面 A1B1BA. 2．在本例条件下，若 D1，D 分别为 B1C1，BC 的中点，求证：平面 A1BD1∥平面 AC1D. 证明 如图所示，连接 A1C 交 AC1 于点 M， ∵四边形 A1ACC1 是平行四边形， ∴M 是 A1C 的中点，连接 MD， ∵D 为 BC 的中点， ∴A1B∥DM. ∵A1B⊂平面 A1BD1， DM⊄ 平面 A1BD1， ∴DM∥平面 A1BD1. 又由三棱柱的性质知，D1C1 綊 BD， ∴四边形 BDC1D1 为平行四边形， ∴DC1∥BD1. 又 DC1⊄ 平面 A1BD1，BD1⊂平面 A1BD1， ∴DC1∥平面 A1BD1， 又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面 AC1D， ∴平面 A1BD1∥平面 AC1D. 思维升华 证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义； (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个 平面平行； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行； (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化． (2016·许昌三校第三次考试)如图所示，四边形 ABCD 与四边形 ADEF 都为平行 四边形，M，N，G 分别是 AB，AD，EF 的中点．求证： (1)BE∥平面 DMF； (2)平面 BDE∥平面 MNG. 证明 (1)如图所示，设 DF 与 GN 交于点 O，连接 AE，则 AE 必过点 O， 连接 MO，则 MO 为△ABE 的中位线， 所以 BE∥MO. 因为 BE⊄ 平面 DMF，MO⊂平面 DMF， 所以 BE∥平面 DMF. (2)因为 N，G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD，EF 的中点， 所以 DE∥GN. 因为 DE⊄ 平面 MNG，GN⊂平面 MNG， 所以 DE∥平面 MNG. 因为 M 为 AB 的中点， 所以 MN 为△ABD 的中位线， 所以 BD∥MN. 因为 BD⊄ 平面 MNG，MN⊂平面 MNG， 所以 BD∥平面 MNG. 因为 DE 与 BD 为平面 BDE 内的两条相交直线， 所以平面 BDE∥平面 MNG. 题型三 平行关系的综合应用 例 4 如图所示，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D 是棱 CC1 的中点，问在棱 AB 上是否存在一点 E， 使 DE∥平面 AB1C1？若存在，请确定点 E 的位置；若不存在，请说明理由． 解 方法一 存在点 E，且 E 为 AB 的中点时，DE∥平面 AB1C1. 下面给出证明： 如图，取 BB1 的中点 F，连接 DF， 则 DF∥B1C1， ∵AB 的中点为 E，连接 EF，ED， 则 EF∥AB1，B1C1∩AB1＝B1， ∴平面 DEF∥平面 AB1C1. 而 DE⊂平面 DEF， ∴DE∥平面 AB1C1. 方法二 假设在棱 AB 上存在点 E， 使得 DE∥平面 AB1C1， 如图，取 BB1 的中点 F，连接 DF，EF，ED，则 DF∥B1C1， 又 DF⊄ 平面 AB1C1，B1C1⊂平面 AB1C1， ∴DF∥平面 AB1C1， 又 DE∥平面 AB1C1，DE∩DF＝D， ∴平面 DEF∥平面 AB1C1， ∵EF⊂平面 DEF，∴EF∥平面 AB1C1， 又∵EF⊂平面 ABB1，平面 ABB1∩平面 AB1C1＝AB1， ∴EF∥AB1， ∵点 F 是 BB1 的中点，∴点 E 是 AB 的中点． 即当点 E 是 AB 的中点时，DE∥平面 AB1C1. 思维升华 利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常 用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决． 如图所示，在四面体 ABCD 中，截面 EFGH 平行于对棱 AB 和 CD，试问截面在什么 位置时其截面面积最大？ 解 ∵AB∥平面 EFGH， 平面 EFGH 与平面 ABC 和平面 ABD 分别交于 FG，EH. ∴AB∥FG，AB∥EH， ∴FG∥EH，同理可证 EF∥GH， ∴截面 EFGH 是平行四边形． 设 AB＝a，CD＝b，∠FGH＝α (α即为异面直线 AB 和 CD 所成的角或其补角)． 又设 FG＝x，GH＝y，则由平面几何知识可得x a ＝CG BC ， y b ＝BG BC ，两式相加得x a ＋y b ＝1，即 y＝b a (a－x)， ∴S▱ EFGH＝FG·GH·sin α ＝x·b a ·(a－x)·sin α＝bsin α a x(a－x)． ∵x>0，a－x>0 且 x＋(a－x)＝a 为定值， ∴bsin α a x(a－x)≤absin α 4 ，当且仅当 x＝a－x 时等号成立． 此时 x＝a 2 ，y＝b 2 . 即当截面 EFGH 的顶点 E、F、G、H 分别为棱 AD、AC、BC、BD 的中点时截面面积最大． 5．立体几何中的探索性问题 典例 (12 分)如图，在四棱锥 S－ABCD 中，已知底面 ABCD 为直角梯形，其中 AD∥BC，∠BAD ＝90°，SA⊥底面 ABCD，SA＝AB＝BC＝2，tan∠SDA＝2 3 . (1)求四棱锥 S－ABCD 的体积； (2)在棱 SD 上找一点 E，使 CE∥平面 SAB，并证明． 规范解答 解 (1)∵SA⊥底面 ABCD，tan∠SDA＝2 3 ，SA＝2， ∴AD＝3.[2 分] 由题意知四棱锥 S－ABCD 的底面为直角梯形，且 SA＝AB＝BC＝2， VS－ABCD＝1 3 ·SA·1 2 ·(BC＋AD)·AB ＝1 3 ×2×1 2 ×(2＋3)×2＝10 3 .[6 分] (2)当点 E 位于棱 SD 上靠近 D 的三等分点处时，可使 CE∥平面 SAB.[8 分] 证明如下： 取 SD 上靠近 D 的三等分点为 E，取 SA 上靠近 A 的三等分点为 F，连接 CE，EF，BF， 则 EF 綊 2 3 AD，BC 綊 2 3 AD， ∴BC 綊 EF，∴CE∥BF.[10 分] 又∵BF⊂平面 SAB，CE⊄ 平面 SAB， ∴CE∥平面 SAB.[12 分] 解决立体几何中的探索性问题的步骤： 第一步：写出探求的最后结论； 第二步：证明探求结论的正确性； 第三步：给出明确答案； 第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 1．(2017·保定月考)有下列命题： ①若直线 l 平行于平面α内的无数条直线，则直线 l∥α； ②若直线 a 在平面α外，则 a∥α； ③若直线 a∥b，b∥α，则 a∥α； ④若直线 a∥b，b∥α，则 a 平行于平面α内的无数条直线． 其中真命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 A 解析 命题①：l 可以在平面α内，不正确；命题②：直线 a 与平面α可以是相交关系，不 正确；命题③：a 可以在平面α内，不正确；命题④正确．故选 A. 2．(2016·滨州模拟)已知 m，n，l1，l2 表示直线，α，β表示平面．若 m⊂α，n⊂α，l1 ⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是( ) A．m∥β且 l1∥α B．m∥β且 n∥β C．m∥β且 n∥l2 D．m∥l1 且 n∥l2 答案 D 解析 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平 行”可得，由选项 D 可推知α∥β.故选 D. 3．对于空间中的两条直线 m，n 和一个平面α，下列命题中的真命题是( ) A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n B．若 m∥α，n⊂α，则 m∥n C．若 m∥α，n⊥α，则 m∥n D．若 m⊥α，n⊥α，则 m∥n 答案 D 解析 对 A，直线 m，n 可能平行、异面或相交，故 A 错误；对 B，直线 m 与 n 可能平行，也 可能异面，故 B 错误；对 C，m 与 n 垂直而非平行，故 C 错误；对 D，垂直于同一平面的两直 线平行，故 D 正确． 4．如图，L，M，N 分别为正方体对应棱的中点，则平面 LMN 与平面 PQR 的位置关系是( ) A．垂直 B．相交不垂直 C．平行 D．重合 答案 C 解析 如图，分别取另三条棱的中点 A，B，C，将平面 LMN 延展为平面正六边形 AMBNCL，因 为 PQ∥AL，PR∥AM，且 PQ 与 PR 相交，AL 与 AM 相交，所以平面 PQR∥平面 AMBNCL，即平面 LMN∥平面 PQR. 5．(2016·全国甲卷)α，β是两个平面，m，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果 m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β； ②如果 m⊥α，n∥α，那么 m⊥n； ③如果α∥β，m⊂α，那么 m∥β； ④如果 m∥n，α∥β，那么 m 与α所成的角和 n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号) 答案 ②③④ 解析 当 m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④ 均正确，故正确答案为②③④. 6．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ， 且________，则 m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题． ①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ. 可以填入的条件有________． 答案 ①或③ 解析 由面面平行的性质定理可知，①正确；当 n∥β，m⊂γ时，n 和 m 在同一平面内，且 没有公共点，所以平行，③正确． 7．在正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，O 是底面 ABCD 的中心，P 是 DD1 的中点，设 Q 是 CC1 上的点， 则点 Q 满足条件________时，有平面 D1BQ∥平面 PAO. 答案 Q 为 CC1 的中点 解析 假设 Q 为 CC1 的中点． 因为 P 为 DD1 的中点， 所以 QB∥PA. 连接 DB，因为 O 是底面 ABCD 的中心， 所以 D1B∥PO， 又 D1B⊄ 平面 PAO，QB⊄ 平面 PAO，且 PA∩PO 于 P， 所以 D1B∥平面 PAO，QB∥平面 PAO， 又 D1B∩QB 于 B，所以平面 D1BQ∥平面 PAO. 故点 Q 满足条件，Q 为 CC1 的中点时，有平面 D1BQ∥平面 PAO. 8．将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命 题称为“可换命题”．给出下列四个命题： ①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两 直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中是“可换命题”的是________．(填命题的 序号) 答案 ①③ 解析 由线面垂直的性质定理可知①是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题， 故①是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以②是假命题，不 是“可换命题”；由公理 4 可知③是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题， 故③是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故④是假命 题，故④不是“可换命题”． 9.如图，空间四边形 ABCD 的两条对棱 AC、BD 的长分别为 5 和 4，则平行于两条对棱的截面 四边形 EFGH 在平移过程中，周长的取值范围是________． 答案 (8,10) 解析 设DH DA ＝GH AC ＝k，∴AH DA ＝EH BD ＝1－k， ∴GH＝5k，EH＝4(1－k)，∴周长＝8＋2k. 又∵0