• 892.50 KB
  • 2021-06-15 发布

高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8_4直线、平面平行的判定与性质教师用书理新人教版

  • 19页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
第八章 立体几何与空间向量 8.4 直线、平面平行的判定与性质教师 用书 理 新人教版 1.线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的 一条直线平行,则该直线与此平 面平行(简记为“线线平行⇒线 面平行”) ∵l∥a,a ⊂α,l⊄ α, ∴l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行,则过 这条直线的任一平面与此平面 的交线与该直线平行(简记为 “线面平行⇒线线平行”) ∵l∥α,l ⊂β, α∩β= b,∴l∥b 2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交 直线与另一个平面平 行,则这两个平面平行 (简记为“线面平行⇒ 面面平行”) ∵a∥β,b∥β,a∩b =P,a⊂α,b⊂α, ∴α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时 和第三个平面相交,那 么它们的交线平行 ∵α∥β,α∩γ=a, β∩γ=b,∴a∥b 【知识拓展】 重要结论: (1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若 a⊥α,a⊥β,则α∥β; (2)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若 a⊥α,b⊥α,则 a∥b; (3)平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.( × ) (2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.( × ) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( × ) (4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( √ ) (5)若直线 a 与平面α内无数条直线平行,则 a∥α.( × ) (6)若α∥β,直线 a∥α,则 a∥β.( × ) 1.(教材改编)下列命题中正确的是( ) A.若 a,b 是两条直线,且 a∥b,那么 a 平行于经过 b 的任何平面 B.若直线 a 和平面α满足 a∥α,那么 a 与α内的任何直线平行 C.平行于同一条直线的两个平面平行 D.若直线 a,b 和平面α满足 a∥b,a∥α,b⊄ α,则 b∥α 答案 D 解析 A 中,a 可以在过 b 的平面内;B 中,a 与α内的直线可能异面;C 中,两平面可相交; D 中,由直线与平面平行的判定定理知,b∥α,正确. 2.设 l,m 为直线,α,β为平面,且 l⊂α,m⊂β,则“l∩m=∅ ”是“α∥β”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 当平面与平面平行时,两个平面内的直线没有交点,故“l∩m=∅ ”是“α∥β”的 必要条件;当两个平面内的直线没有交点时,两个平面可以相交,∴l∩m=∅ 是α∥β的必 要不充分条件. 3.(2016·济南模拟)平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A.存在一条直线 a,a∥α,a∥β B.存在一条直线 a,a⊂α,a∥β C.存在两条平行直线 a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α D.存在两条异面直线 a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α 答案 D 解析 若α∩β=l,a∥l,a⊄ α,a⊄ β,则 a∥α,a∥β,故排除 A.若α∩β=l,a⊂ α,a∥l,则 a∥β,故排除 B.若α∩β=l,a⊂α,a∥l,b⊂β,b∥l,则 a∥β,b∥α, 故排除 C.故选 D. 4.(教材改编)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 DD1 的中点,则 BD1 与平面 AEC 的位置关 系为________. 答案 平行 解析 连接 BD,设 BD∩AC=O,连接 EO,在△BDD1 中,O 为 BD 的中点,所以 EO 为△BDD1 的 中位线, 则 BD1∥EO,而 BD1⊄ 平面 ACE,EO⊂平面 ACE, 所以 BD1∥平面 ACE. 5.如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形 EFGH 为截面,则四边形 EFGH 的形状为 ________. 答案 平行四边形 解析 ∵平面 ABFE∥平面 DCGH, 又平面 EFGH∩平面 ABFE=EF,平面 EFGH∩平面 DCGH=HG, ∴EF∥HG.同理 EH∥FG, ∴四边形 EFGH 的形状是平行四边形. 题型一 直线与平面平行的判定与性质 命题点 1 直线与平面平行的判定 例 1 如图,四棱锥 P-ABCD 中,AD∥BC,AB=BC=1 2 AD,E,F,H 分别为线段 AD,PC,CD 的中点,AC 与 BE 交于 O 点,G 是线段 OF 上一点. (1)求证:AP∥平面 BEF; (2)求证:GH∥平面 PAD. 证明 (1)连接 EC, ∵AD∥BC,BC=1 2 AD, ∴BC 綊 AE, ∴四边形 ABCE 是平行四边形, ∴O 为 AC 的中点. 又∵F 是 PC 的中点,∴FO∥AP, FO⊂平面 BEF,AP⊄ 平面 BEF, ∴AP∥平面 BEF. (2)连接 FH,OH, ∵F,H 分别是 PC,CD 的中点, ∴FH∥PD,∴FH∥平面 PAD. 又∵O 是 BE 的中点,H 是 CD 的中点, ∴OH∥AD,∴OH∥平面 PAD. 又 FH∩OH=H,∴平面 OHF∥平面 PAD. 又∵GH⊂平面 OHF,∴GH∥平面 PAD. 命题点 2 直线与平面平行的性质 例 2 (2017·长沙调研)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 8 的正方形,四条侧棱长均 为 2 17.点 G,E,F,H 分别是棱 PB,AB,CD,PC 上共面的四点,平面 GEFH⊥平面 ABCD,BC∥ 平面 GEFH. (1)证明:GH∥EF; (2)若 EB=2,求四边形 GEFH 的面积. (1)证明 因为 BC∥平面 GEFH,BC⊂平面 PBC, 且平面 PBC∩平面 GEFH=GH, 所以 GH∥BC. 同理可证 EF∥BC,因此 GH∥EF. (2)解 如图,连接 AC,BD 交于点 O,BD 交 EF 于点 K,连接 OP,GK. 因为 PA=PC,O 是 AC 的中点,所以 PO⊥AC, 同理可得 PO⊥BD. 又 BD∩AC=O,且 AC,BD 都在底面内, 所以 PO⊥底面 ABCD. 又因为平面 GEFH⊥平面 ABCD, 且 PO⊄ 平面 GEFH,所以 PO∥平面 GEFH. 因为平面 PBD∩平面 GEFH=GK, 所以 PO∥GK,且 GK⊥底面 ABCD, 从而 GK⊥EF. 所以 GK 是梯形 GEFH 的高. 由 AB=8,EB=2 得 EB∶AB=KB∶DB=1∶4, 从而 KB=1 4 DB=1 2 OB,即 K 为 OB 的中点. 再由 PO∥GK 得 GK=1 2 PO, 即 G 是 PB 的中点,且 GH=1 2 BC=4. 由已知可得 OB=4 2, PO= PB2-OB2= 68-32=6, 所以 GK=3. 故四边形 GEFH 的面积 S=GH+EF 2 ·GK =4+8 2 ×3=18. 思维升华 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点); (2)利用线面平行的判定定理(a⊄ α,b⊂α,a∥b⇒a∥α); (3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a⊂α⇒a∥β); (4)利用面面平行的性质(α∥β,a⊄ α,a⊄ β,a∥α⇒a∥β). 如图所示,CD,AB 均与平面 EFGH 平行,E,F,G,H 分别在 BD,BC,AC,AD 上, 且 CD⊥AB.求证:四边形 EFGH 是矩形. 证明 ∵CD∥平面 EFGH, 而平面 EFGH∩平面 BCD=EF, ∴CD∥EF. 同理 HG∥CD,∴EF∥HG. 同理 HE∥GF, ∴四边形 EFGH 为平行四边形. ∴CD∥EF,HE∥AB, ∴∠HEF 为异面直线 CD 和 AB 所成的角(或补角). 又∵CD⊥AB,∴HE⊥EF. ∴平行四边形 EFGH 为矩形. 题型二 平面与平面平行的判定与性质 例 3 如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E,F,G,H 分别是 AB,AC,A1B1,A1C1 的中点,求 证: (1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG. 证明 (1)∵G,H 分别是 A1B1,A1C1 的中点, ∴GH 是△A1B1C1 的中位线, ∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC, ∴GH∥BC, ∴B,C,H,G 四点共面. (2)∵E,F 分别是 AB,AC 的中点, ∴EF∥BC. ∵EF⊄ 平面 BCHG,BC⊂平面 BCHG, ∴EF∥平面 BCHG. ∵A1G 綊 EB, ∴四边形 A1EBG 是平行四边形, ∴A1E∥GB. ∵A1E⊄ 平面 BCHG,GB⊂平面 BCHG, ∴A1E∥平面 BCHG. ∵A1E∩EF=E, ∴平面 EFA1∥平面 BCHG. 引申探究 1.在本例条件下,若 D 为 BC1 的中点,求证:HD∥平面 A1B1BA. 证明 如图所示,连接 HD,A1B, ∵D 为 BC1 的中点,H 为 A1C1 的中点, ∴HD∥A1B, 又 HD⊄ 平面 A1B1BA, A1B⊂平面 A1B1BA, ∴HD∥平面 A1B1BA. 2.在本例条件下,若 D1,D 分别为 B1C1,BC 的中点,求证:平面 A1BD1∥平面 AC1D. 证明 如图所示,连接 A1C 交 AC1 于点 M, ∵四边形 A1ACC1 是平行四边形, ∴M 是 A1C 的中点,连接 MD, ∵D 为 BC 的中点, ∴A1B∥DM. ∵A1B⊂平面 A1BD1, DM⊄ 平面 A1BD1, ∴DM∥平面 A1BD1. 又由三棱柱的性质知,D1C1 綊 BD, ∴四边形 BDC1D1 为平行四边形, ∴DC1∥BD1. 又 DC1⊄ 平面 A1BD1,BD1⊂平面 A1BD1, ∴DC1∥平面 A1BD1, 又∵DC1∩DM=D,DC1,DM⊂平面 AC1D, ∴平面 A1BD1∥平面 AC1D. 思维升华 证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义; (2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个 平面平行; (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行; (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化. (2016·许昌三校第三次考试)如图所示,四边形 ABCD 与四边形 ADEF 都为平行 四边形,M,N,G 分别是 AB,AD,EF 的中点.求证: (1)BE∥平面 DMF; (2)平面 BDE∥平面 MNG. 证明 (1)如图所示,设 DF 与 GN 交于点 O,连接 AE,则 AE 必过点 O, 连接 MO,则 MO 为△ABE 的中位线, 所以 BE∥MO. 因为 BE⊄ 平面 DMF,MO⊂平面 DMF, 所以 BE∥平面 DMF. (2)因为 N,G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD,EF 的中点, 所以 DE∥GN. 因为 DE⊄ 平面 MNG,GN⊂平面 MNG, 所以 DE∥平面 MNG. 因为 M 为 AB 的中点, 所以 MN 为△ABD 的中位线, 所以 BD∥MN. 因为 BD⊄ 平面 MNG,MN⊂平面 MNG, 所以 BD∥平面 MNG. 因为 DE 与 BD 为平面 BDE 内的两条相交直线, 所以平面 BDE∥平面 MNG. 题型三 平行关系的综合应用 例 4 如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 是棱 CC1 的中点,问在棱 AB 上是否存在一点 E, 使 DE∥平面 AB1C1?若存在,请确定点 E 的位置;若不存在,请说明理由. 解 方法一 存在点 E,且 E 为 AB 的中点时,DE∥平面 AB1C1. 下面给出证明: 如图,取 BB1 的中点 F,连接 DF, 则 DF∥B1C1, ∵AB 的中点为 E,连接 EF,ED, 则 EF∥AB1,B1C1∩AB1=B1, ∴平面 DEF∥平面 AB1C1. 而 DE⊂平面 DEF, ∴DE∥平面 AB1C1. 方法二 假设在棱 AB 上存在点 E, 使得 DE∥平面 AB1C1, 如图,取 BB1 的中点 F,连接 DF,EF,ED,则 DF∥B1C1, 又 DF⊄ 平面 AB1C1,B1C1⊂平面 AB1C1, ∴DF∥平面 AB1C1, 又 DE∥平面 AB1C1,DE∩DF=D, ∴平面 DEF∥平面 AB1C1, ∵EF⊂平面 DEF,∴EF∥平面 AB1C1, 又∵EF⊂平面 ABB1,平面 ABB1∩平面 AB1C1=AB1, ∴EF∥AB1, ∵点 F 是 BB1 的中点,∴点 E 是 AB 的中点. 即当点 E 是 AB 的中点时,DE∥平面 AB1C1. 思维升华 利用线面平行的性质,可以实现与线线平行的转化,尤其在截面图的画法中,常 用来确定交线的位置,对于最值问题,常用函数思想来解决. 如图所示,在四面体 ABCD 中,截面 EFGH 平行于对棱 AB 和 CD,试问截面在什么 位置时其截面面积最大? 解 ∵AB∥平面 EFGH, 平面 EFGH 与平面 ABC 和平面 ABD 分别交于 FG,EH. ∴AB∥FG,AB∥EH, ∴FG∥EH,同理可证 EF∥GH, ∴截面 EFGH 是平行四边形. 设 AB=a,CD=b,∠FGH=α (α即为异面直线 AB 和 CD 所成的角或其补角). 又设 FG=x,GH=y,则由平面几何知识可得x a =CG BC , y b =BG BC ,两式相加得x a +y b =1,即 y=b a (a-x), ∴S▱ EFGH=FG·GH·sin α =x·b a ·(a-x)·sin α=bsin α a x(a-x). ∵x>0,a-x>0 且 x+(a-x)=a 为定值, ∴bsin α a x(a-x)≤absin α 4 ,当且仅当 x=a-x 时等号成立. 此时 x=a 2 ,y=b 2 . 即当截面 EFGH 的顶点 E、F、G、H 分别为棱 AD、AC、BC、BD 的中点时截面面积最大. 5.立体几何中的探索性问题 典例 (12 分)如图,在四棱锥 S-ABCD 中,已知底面 ABCD 为直角梯形,其中 AD∥BC,∠BAD =90°,SA⊥底面 ABCD,SA=AB=BC=2,tan∠SDA=2 3 . (1)求四棱锥 S-ABCD 的体积; (2)在棱 SD 上找一点 E,使 CE∥平面 SAB,并证明. 规范解答 解 (1)∵SA⊥底面 ABCD,tan∠SDA=2 3 ,SA=2, ∴AD=3.[2 分] 由题意知四棱锥 S-ABCD 的底面为直角梯形,且 SA=AB=BC=2, VS-ABCD=1 3 ·SA·1 2 ·(BC+AD)·AB =1 3 ×2×1 2 ×(2+3)×2=10 3 .[6 分] (2)当点 E 位于棱 SD 上靠近 D 的三等分点处时,可使 CE∥平面 SAB.[8 分] 证明如下: 取 SD 上靠近 D 的三等分点为 E,取 SA 上靠近 A 的三等分点为 F,连接 CE,EF,BF, 则 EF 綊 2 3 AD,BC 綊 2 3 AD, ∴BC 綊 EF,∴CE∥BF.[10 分] 又∵BF⊂平面 SAB,CE⊄ 平面 SAB, ∴CE∥平面 SAB.[12 分] 解决立体几何中的探索性问题的步骤: 第一步:写出探求的最后结论; 第二步:证明探求结论的正确性; 第三步:给出明确答案; 第四步:反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范. 1.(2017·保定月考)有下列命题: ①若直线 l 平行于平面α内的无数条直线,则直线 l∥α; ②若直线 a 在平面α外,则 a∥α; ③若直线 a∥b,b∥α,则 a∥α; ④若直线 a∥b,b∥α,则 a 平行于平面α内的无数条直线. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A 解析 命题①:l 可以在平面α内,不正确;命题②:直线 a 与平面α可以是相交关系,不 正确;命题③:a 可以在平面α内,不正确;命题④正确.故选 A. 2.(2016·滨州模拟)已知 m,n,l1,l2 表示直线,α,β表示平面.若 m⊂α,n⊂α,l1 ⊂β,l2⊂β,l1∩l2=M,则α∥β的一个充分条件是( ) A.m∥β且 l1∥α B.m∥β且 n∥β C.m∥β且 n∥l2 D.m∥l1 且 n∥l2 答案 D 解析 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行,那么这两个平面平 行”可得,由选项 D 可推知α∥β.故选 D. 3.对于空间中的两条直线 m,n 和一个平面α,下列命题中的真命题是( ) A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m∥α,n⊂α,则 m∥n C.若 m∥α,n⊥α,则 m∥n D.若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n 答案 D 解析 对 A,直线 m,n 可能平行、异面或相交,故 A 错误;对 B,直线 m 与 n 可能平行,也 可能异面,故 B 错误;对 C,m 与 n 垂直而非平行,故 C 错误;对 D,垂直于同一平面的两直 线平行,故 D 正确. 4.如图,L,M,N 分别为正方体对应棱的中点,则平面 LMN 与平面 PQR 的位置关系是( ) A.垂直 B.相交不垂直 C.平行 D.重合 答案 C 解析 如图,分别取另三条棱的中点 A,B,C,将平面 LMN 延展为平面正六边形 AMBNCL,因 为 PQ∥AL,PR∥AM,且 PQ 与 PR 相交,AL 与 AM 相交,所以平面 PQR∥平面 AMBNCL,即平面 LMN∥平面 PQR. 5.(2016·全国甲卷)α,β是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: ①如果 m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β; ②如果 m⊥α,n∥α,那么 m⊥n; ③如果α∥β,m⊂α,那么 m∥β; ④如果 m∥n,α∥β,那么 m 与α所成的角和 n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号) 答案 ②③④ 解析 当 m⊥n,m⊥α,n∥β时,两个平面的位置关系不确定,故①错误,经判断知②③④ 均正确,故正确答案为②③④. 6.设α,β,γ是三个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n⊂γ, 且________,则 m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题. ①α∥γ,n⊂β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m⊂γ. 可以填入的条件有________. 答案 ①或③ 解析 由面面平行的性质定理可知,①正确;当 n∥β,m⊂γ时,n 和 m 在同一平面内,且 没有公共点,所以平行,③正确. 7.在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是底面 ABCD 的中心,P 是 DD1 的中点,设 Q 是 CC1 上的点, 则点 Q 满足条件________时,有平面 D1BQ∥平面 PAO. 答案 Q 为 CC1 的中点 解析 假设 Q 为 CC1 的中点. 因为 P 为 DD1 的中点, 所以 QB∥PA. 连接 DB,因为 O 是底面 ABCD 的中心, 所以 D1B∥PO, 又 D1B⊄ 平面 PAO,QB⊄ 平面 PAO,且 PA∩PO 于 P, 所以 D1B∥平面 PAO,QB∥平面 PAO, 又 D1B∩QB 于 B,所以平面 D1BQ∥平面 PAO. 故点 Q 满足条件,Q 为 CC1 的中点时,有平面 D1BQ∥平面 PAO. 8.将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题,则该命 题称为“可换命题”.给出下列四个命题: ①垂直于同一平面的两直线平行;②垂直于同一平面的两平面平行;③平行于同一直线的两 直线平行;④平行于同一平面的两直线平行.其中是“可换命题”的是________.(填命题的 序号) 答案 ①③ 解析 由线面垂直的性质定理可知①是真命题,且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题, 故①是“可换命题”;因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交,所以②是假命题,不 是“可换命题”;由公理 4 可知③是真命题,且平行于同一平面的两平面平行也是真命题, 故③是“可换命题”;因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面,故④是假命 题,故④不是“可换命题”. 9.如图,空间四边形 ABCD 的两条对棱 AC、BD 的长分别为 5 和 4,则平行于两条对棱的截面 四边形 EFGH 在平移过程中,周长的取值范围是________. 答案 (8,10) 解析 设DH DA =GH AC =k,∴AH DA =EH BD =1-k, ∴GH=5k,EH=4(1-k),∴周长=8+2k. 又∵0