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  • 2021-06-15 发布

2020届高考数学大二轮复习层级二专题二三角函数及解三角形第1讲三角函数的图象与性质教学案

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第1讲 三角函数的图象与性质 ‎[考情考向·高考导航]‎ ‎1.高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质,主要考查图象的变换,函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值,并常与三角恒等变换交汇命题.‎ ‎2.主要以选择题、填空题的形式考查,难度为中等或偏下.‎ ‎[真题体验]‎ ‎1.(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=,则|a-b|=(  )‎ A.    B.     C.     D.1‎ 解析:B [∵cos 2α=cos2α-sin2 α===,∴tan2 α=,∴tan α=±,当tan α=时,a==,∴a=,b=,∴|a-b|=;当tan α=-时,a==-,∴a=-,b=-,∴|a-b|=.]‎ ‎2.(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是(  )‎ A.f(x)的一个周期为-2π B.y=f(x)的图象关于直线x=对称 C.f(x+π)的一个零点为x= D.f(x)在单调递减 解析:D [当x∈时,x+∈,函数在该区间内不单调.本题选择D选项.]‎ ‎3.(2019·全国Ⅱ卷)若x1=,x2=是函数f(x)=sin ωx(ω>0) 两个相邻的极值点,则ω=(  )‎ A.2 B. C.1 D. 解析:A [由正弦函数图象可知=x2-x1=-=,∴T=π,∴ω===2.]‎ - 18 -‎ ‎4.(2019·天津卷)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且g=,则f=(  )‎ A.-2 B.- C. D.2‎ 解析:C [在x=0处有定义的奇函数必有f(0)=0.f(x)为奇函数,可知f(0)=Asin φ=0,‎ 由|φ|<π可得φ=0;‎ 把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得g(x)=Asinωx,‎ 由g(x)的最小正周期为2π可得ω=2,‎ 由g=,可得A=2,‎ 所以f(x)=2sin 2x,f=2sin=.故选C.]‎ ‎[主干整合]‎ ‎1.三角函数的图象及性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 单调性 在[-+2kπ,+2kπ](k∈Z)上递增,在[+2kπ,+2kπ](k∈Z)上递减 在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上递增,在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上递减 在(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上都是增函数 对称中 心坐标 ‎(kπ,0),k∈Z ‎(kπ+,0),k∈Z ‎(,0)k∈Z 对称轴 方程渐 近线 x=kπ+,k∈Z x=kπ,k∈Z x=kπ+(k∈Z)‎ ‎2.三角函数图象的两种变换方法 - 18 -‎ 热点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系 ‎[题组突破]‎ ‎1.(2020·资阳模拟)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(2,1),则tan等于(  )‎ A.-7           B.- C. D.7‎ 解析:A [由角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(2,1),‎ 可得x=2,y=1,tan α==,‎ ‎∴tan 2α===,‎ ‎∴tan===-7.]‎ ‎2.(2020·衡水调研卷)已知sin (3π+α)=2sin,则等于(  )‎ - 18 -‎ A. B. C. D.- 解析:D [∵sin(3π+α)=2sin,‎ ‎∴-sin α=-2cos α,即sin α=2cos α,‎ 则= ‎===-.]‎ ‎3.(2020·衡水信息卷)已知曲线f(x)=x3-2x2-x在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为α,则cos2-2cos2α-3sin(2π-α)cos(π+α)的值为(  )‎ A. B.- C. D.- 解析:A [由f(x)=x3-2x2-x可知f′(x)=3x2-4x-1,‎ ‎∴tan α=f′(1)=-2,‎ cos2-2cos2α-3sin(2π-α)cos(π+α)‎ ‎=(-sin α)2-2cos2α-3sin αcos α ‎=sin2α-2cos2α-3sin αcos α ‎== ‎==.]‎ ‎ ‎ ‎(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等),常常借助三角函数的定义求解.应用定义时,注意三角函数值仅与终边位置有关,与终边上点的位置无关.‎ ‎(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号;利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.‎ - 18 -‎ 热点二 三角函数的图象及应用 直观 想象 素养 直观想象是指借助空间想象感知事物的形态与变化,利用几何图形理解和解决数学问题.主要包括:利用图形描述数学问题,建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思想.‎ ‎[例1] (1)(2020·东营模拟)已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=cos ωx的图象,只要将y=f(x)的图象(  )‎ A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 ‎[解析] A [由题意知,函数f(x)的最小正周期T=π,‎ 所以ω=2,‎ 即f(x)=sin,g(x)=cos 2x,‎ 把g(x)=cos 2x变形得g(x)=sin=sin,所以只要将f(x)的图象向左平移个单位长度,即可得到g(x)=cos 2x的图象,故选A.]‎ ‎(2)(2020·厦门模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间上的值域为[-1,2],则θ=________.‎ ‎[解析] 由函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象,‎ 则A=2,=-=,解得T=π,‎ - 18 -‎ 所以ω=2,即f(x)=2sin(2x+φ),‎ 当x=时,f=2sin=0,‎ 又|φ|<π,解得φ=-,‎ 所以f(x)=2sin,‎ 因为函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,‎ 所以g(x)=2sin=2cos 2x,‎ 若函数g(x)在上的值域为[-1,2],‎ 则2cos 2θ=-1即θ=kπ+,k∈Z或θ=kπ+,k∈Z,故θ=.‎ ‎[答案]  ‎(1)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象求解析式时,常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊点求A;由函数的周期确定ω;确定φ常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置.‎ ‎(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的,如果x的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.‎ ‎(1)(2020·杭州模拟)已知函数f(x)=cos-cos 2x,若要得到一个奇函数的图象,则可以将函数f(x)的图象(  )‎ A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 解析:C [f(x)=cos-cos 2x=cos-cos 2x=sin 2x-cos 2x - 18 -‎ ‎=2sin=2sin 2,所以将f(x)的图象向左平移个单位长度可得到奇函数y=2sin 2x的图象,故选C.]‎ ‎(2)‎ ‎(2019·哈尔滨三模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,已知点A(0,),B,若将它的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)图象的一条对称轴方程为(  )‎ A.x= B.x= C.x= D.x= 解析:A [∵f(0)=2sin φ=,∴sin φ=,又|φ|<π,∴φ=或,又f=2sin=0,∴+φ=kπ(k∈Z),∴ω=×=6k-2(k∈Z),或ω=×=6k-4(k∈Z),又ω>0,且==>,∴ω<3,∴ω=2,φ=,∴f(x)=2sin,将其图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,∴g(x)=2sin=2sin,g(x)图象的对称轴方程满足2x+=kπ+(k∈Z),‎ ‎∴x=+(k∈Z),故选A.]‎ 热点三 三角函数的性质及应用 ‎[例2] (1)(2019·全国Ⅱ卷)下列函数中,以为周期且在区间单调递增的是(  )‎ A.f(x)=|cos 2x|      B.f(x)=|sin 2x|‎ C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x|‎ ‎[解析] ‎ - 18 -‎ A [作出函数f(x)=|cos 2x|的图象,如图.‎ 由图象可知f(x)=|cos 2x|的周期为,在区间上单调递增.‎ 同理可得f(x)=|sin 2x|的周期为,在区间上单调递减,f(x)=cos|x|的周期为2π.f(x)=sin|x|不是周期函数,排除B,C,D.故选A.]‎ ‎(2)(2019·保定三模)已知函数f(x)=2cos(ω>0)满足:f=f,且在区间内有最大值但没有最小值.给出下列四个命题:‎ p1:f(x)在区间[0,2π]上单调递减;‎ p2:f(x)在最小正周期是4π;‎ p3:f(x)的图象关于直线x=对称;‎ p4:f(x)的图象关于点对称.‎ 其中的真命题是(  )‎ A.p1,p2 B.p1,p3‎ C.p2,p4 D.p3,p4‎ ‎[解析] C [由题意得,当x==时,f(x)取得最大值,则cos=1,+=2kπ,ω=(k∈N*),又易知T=≥-=2π,0<ω≤1,‎ 所以k=1,ω=,f(x)=2cos.‎ 故f(x)的最小正周期T==4π,p2是真命题,‎ 又f=0,因此f(x)的图象关于点对称,p4是真命题.故选C.]‎ ‎(3)(2019·唐山调研)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间上具有单调性,且f=f=-f,则f(x)的最小正周期为________.‎ - 18 -‎ ‎[解析] ∵f(x)在区间上具有单调性,且f=f,∴x=和x=均不是f(x)的极值点,其极值应该在x==处取得,∵f=-f,‎ ‎∴x=也不是函数f(x)的极值点,又f(x)在区间上具有单调性,∴x=-=为f(x)的另一个相邻的极值点,故函数f(x)的最小正周期T=2×=π.‎ ‎[答案] π 求解函数y=Asin(ωx+φ)性质的三种意识 ‎(1)转化意识:利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式.‎ ‎(2)整体意识:类比y=sin x的性质,只需将y=Asin(ωx+φ)中的“ωx+φ”看成y=sin x中的“x”,采用整体代入的方法求解.‎ ‎①令ωx+φ=kπ+(k∈Z),可求得对称轴方程.‎ ‎②令ωx+φ=kπ(k∈Z),可求得对称中心的横坐标.‎ ‎③将ωx+φ看作整体,可求得y=Asin(ωx+φ)的单调区间,注意ω的符号.‎ ‎(3)讨论意识:当A为参数时,求最值应分情况讨论.‎ ‎(1)(2020·长沙模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1,f(α)=-1,f(β)=1,若|α-β|的最小值为,且f(x)的图象关于点对称,则函数f(x)的单调递增区间是(  )‎ A.,k∈Z B.,k∈Z C.,k∈Z D.,k∈Z 解析:B [(1)本题考查三角函数的图象和性质.由f(α)=-1,f(β)=1可知f(x)的图象关于直线x=α对称,关于点(β,1)对称,所以最小正周期T=4|α-β|min=3π=‎ - 18 -‎ ,则ω=,又f=2sin+1=1,则sin=0,又|φ|<,则φ=-,则f(x)=2sin+1,由-+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z得-+3kπ≤x≤π+3kπ,k∈Z,即函数f(x)的单调递增区间是,k∈Z,故选B.]‎ ‎(2)(2019·全国Ⅰ卷)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:‎ ‎①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间单调递增 ③f(x)在[-π,π]有4个零点 ④f(x)的最大值为2.‎ 其中所有正确结论的编号是(  )‎ A.①②④ B.②④‎ C.①④ D.①③‎ 解析:C [∵f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|,‎ ‎∴f(x)是偶函数,①对;‎ f(x)在区间上单调递减,②错;‎ f(x)在[-π,π]上有3个零点,③错;‎ f(x)的最大值为2,④对.故选C.]‎ ‎(3)(多选题)关于函数f(x)=2sin +1,下列叙述正确的是(  )‎ A.其图象关于直线x=对称 B.其图象可由y=2sin +1图象上所有点的横坐标变为原来的得到 C.其图象关于点对称 D.其值域[-1,3]‎ 解析:BD [本题考查三角函数性质的综合应用以及三角函数图象的伸缩变换.f=2sin +1=+1,不是函数的最值,因此函数f(x)的图象不关于直线x=对称,故A错误;y=2sin +1图象上所有点的横坐标变为原来的得到f(x)=2sin +1的图象,故B正确;设y=2sin ,则当x=时,y=2sin =2sin - 18 -‎ ‎ π=0,即函数y=2sin +1的图象关于点对称,故C错误;当sin =1时,函数f(x)取得最大值3,当sin =-1时,函数f(x)取得最小值-1,即函数f(x)的值域是[-1,3],故D正确,故选BD.]‎ 限时40分钟 满分80分 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.(2020·南昌段考)已知角θ的始边与x轴的非负半轴重合,终边过点M(-3,4),则cos2θ-sin2θ+tan θ的值为(  )‎ A.-         B. C.- D. 解析:A [设O为坐标原点,则由已知得|OM|=5,因而cos θ=-,sin θ=,tan θ=-,则cos2θ-sin2θ+tan θ=--=-.]‎ ‎2.(2019·青岛三模)如图①,这个美妙的螺旋叫做特奥多鲁斯螺旋,是由公元5世纪古希腊哲学家特奥多鲁斯给出的,螺旋由一系列直角三角形组成,如图②,第一个三角形是边长为1的等腰直角三角形,以后每个直角三角形以上一个三角形的斜边为直角边,另一条直角边为1.将这些直角三角形在公共顶点处的角依次记为α1,α2,α3,…,则与α1+α2+α3+α4最接近的角是(  )‎ 参考值:tan 55°≈1.428,tan 60°≈1.732,tan 65°≈2.145,≈1.414‎ A.120° B.130°‎ C.135° D.140°‎ 解析:C [由题意可得,α1,α2,α3,α4都是锐角,且α1=45°,tan α2==,tan α3==,所以α3=30°,tan α4==,所以α1+α3=75°.又tan(α2+α4)==≈1.87,接近tan 60°,故α2+α4接近60°,故与α1+α2+α - 18 -‎ ‎3+α4最接近的角是135°.]‎ ‎3.(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)=的最小正周期为(  )‎ A. B. C.π D.2π 解析:C [由已知得f(x)====sin x·cos x=sin 2x,所以f(x)的最小正周期为T==π,故选C.]‎ ‎4.(2019·成都二诊)将函数y=2sinsin的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,所得图象对应的函数恰为奇函数,则φ的最小值为(  )‎ A. B. C. D. 解析:A [由y=2sinsin可得y=2sincos=sin,该函数的图象向左平移φ个单位长度后,所得图象对应的函数解析式为g(x)=sin=sin,因为g(x)=sin为奇函数,所以2φ+=kπ(k∈Z),φ=-(k∈Z),又φ>0,故φ的最小值为,选A.]‎ ‎5.(2020·广州模拟)已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增,则ω的取值范围为(  )‎ A. B. C. D. 解析:B [通解:因为x∈,所以ωx+∈,因为函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增,所以又ω>0,所以0<ω≤,选B.‎ - 18 -‎ 优解:取ω=1,f=sin=-sin<0,f=sin=sin=1,f=sin=sin=,不满足题意,排除A,C,D,选B.]‎ ‎6.(2019·洛阳统考)设函数f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)的图象关于直线x=0对称,则y=f(x)在的值域为(  )‎ A.[-,0] B.[-2,0]‎ C.(-,0) D.(-2,0)‎ 解析:A [由题意得函数f(x)=2sin,因为其图象关于直线x=0对称,所以2×0++φ=+kπ(k∈Z),即φ=+kπ(k∈Z),又|φ|<,所以φ=,f(x)=2sin=2cos 2x.当≤x≤时,≤2x≤,所以y=f(x)在上的值域为[-,0].]‎ ‎7.(2018·天津卷)将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数(  )‎ A.在区间上单调递增 B.在区间上单调递减 C.在区间上单调递增 D.在区间上单调递减 解析:A [由函数图象平移变换的性质可知:‎ 将y=sin 的图象向右平移个单位长度之后的解析式为:‎ y=sin=2sin x.‎ 则函数的单调递增区间满足:2kπ-≤2x≤2kπ+(k∈Z),‎ 即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z) ,‎ 令k=1可得一个单调递增区间为:.‎ - 18 -‎ 函数的单调递减区间满足:2kπ+≤2x≤2kπ+(k∈Z),‎ 即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z) ,‎ 令k=1可得一个单调递减区间为:.本题选择A选项.]‎ ‎8.(2020·贵阳监测)函数f(x)=Asin(ω>0)的图象与x轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,若要得到函数g(x)=Asin ωx的图象,只要将f(x)的图象(  )‎ A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 解析:D [正弦函数图象与x轴相邻交点横坐标相差为半个周期,即d==,又因为d=,所以ω=2,则f(x)=Asin=Asin,所以只要将函数f(x)的图象向右平移个单位就能得到g(x)=sin ωx的图象.]‎ ‎9.‎ ‎(2019·德州三模)如图是函数f(x)=Asin(2x+φ)图象的一部分,对不同的x1,x2∈[a,b],若f(x1)=f(x2),有f(x1+x2)=,则(  )‎ A.f(x)在区间内单调递增 B.f(x)在区间内单调递减 C.f(x)在区间内单调递增 D.f(x)在区间内单调递减 解析:A [根据图象得出:A=2,对称轴方程为x=,所以2sin(x1+x2+φ)=2⇒x - 18 -‎ ‎1+x2+φ=,‎ 所以x1+x2=-φ,因为f(x1+x2)=,‎ 所以2sin=,即sin(π-φ)=,因为|φ|≤,所以φ=,所以f(x)=2sin,因为-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,所以-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,即为f(x)的单调递增区间.]‎ ‎10.(2019·辽宁省五校协作体联考)设ω>0,将函数y=2cos的图象向右平移个单位长度后与函数y=2sin的图象重合,则ω的最小值是(  )‎ A. B. C. D. 解析:C [通解 将函数y=2cos的图象向右平移个单位长度后,得y=2cos的图象,由已知得2cos=2sin,所以cos=sin,当ω=时,cos=cos≠sin;当ω=时,cos=cos≠sin;当ω=时,cos=cos=sin,所以ω的最小值为.故选C.‎ 优解 将函数y=2cos的图象向右平移个单位长度后,得y=2cos=2cos的图象,由已知得cos=sin,所以sin=sin,所以++2kπ=ωx+,k∈Z,所以ω=+10k,k∈Z,又ω>0,所以ω的最小值为.故选C.]‎ ‎11.(多选题)在平面直角坐标系xOy中,角α以Ox为始边,终边经过点P(-1,m)(m>0),则下列各式的值一定为负的是(  )‎ A.sin α+cos α B.sin α-cos α - 18 -‎ C.sin αcos α D. ‎ 解析:CD [本题考查三角函数定义的应用及三角函数值符号的判断.由已知得r=|OP|=,则sin α=>0,cos α=-<0,tan α=-m<0,‎ ‎∴sin x+cos α的符号不确定,sin α-cos α>0,sin αcos α<0,=cos α<0.故选CD.]‎ ‎12.(2019·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=sin(ω>0),已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点,下述四个结论:‎ ‎①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点;②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点;‎ ‎③f(x)在单调递增;④ω的取值范围是.‎ 其中所有正确结论的编号是(  )‎ A.①④ B.②③‎ C.①②③ D.①③④‎ 解析:‎ D [∵f(x)=sin(ω>0),在[0,2π]有且仅有5个零点.∴0≤x≤2π,≤ωx+≤2πω+,5π≤2πω+<6π,≤ω<,④正确.如图x1,x2,x3为极大值点为3个,①正确;极小值点为2个或3个. ②不正确.‎ 当0<x<时,<ωx+<+,当ω=时,+=+=<.‎ ‎∴③正确,故选D.]‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)=sin-3cos x的最小值为________.‎ 解析:∵f(x)=sin-3cos x=-cos 2x-3cos x,‎ - 18 -‎ ‎∴f(x)min=-4.‎ 答案:-4‎ ‎14.(2019·吉林三模)将函数f(x)=2cos 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间和上均单调递增,则实数a的取值范围是____________.‎ 解析:由题意可知,函数f(x)在区间和上均单调递增,根据f(x)=2cos 2x的图象可知,-≤0且≤2a-≤π,解得≤a≤.‎ 答案: ‎15.(2018·北京卷)设函数f(x)=cos (ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则ω的最小值为________.‎ 解析:本题考查三角函数.∵f(x)≤f对任意x∈R恒成立,∴f为f(x)的最大值,∴f=cos =1,∴ω-=2kπ,解得ω=8k+,k∈Z,又∵ω>0,∴ω的最小值为.‎ 答案: ‎16.(2019·烟台三模)函数f(x)=的图象与函数g(x)=2sinx(0≤x≤4)的图象的所有交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则f(y1+y2+…+yn)+g(x1+x2+…+xn)=________.‎ 解析:如图,画出函数f(x)和g(x)的图象,可知有4个交点,并且关于点(2,0)对称,所以y1+y2+y3+y4=0,x1+x2+x3+x4=8,所以f(y1+y2+y3+y4)+g(x1+x2+x3+x4)=f(0)+g(8)=+0=.‎ - 18 -‎ 答案: - 18 -‎