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- 2021-06-15 发布
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阶段质量检测(二) A 卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 6 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的)
1.已知曲线的方程为 x=2t,
y=t
(t 为参数),则下列点中在曲线上的是( )
A.(1,1) B.(2,2) C.(0,0) D.(1,2)
解析:选 C 当 t=0 时,x=0 且 y=0,即点(0,0)在曲线上.
2.(北京高考)曲线 x=-1+cos θ,
y=2+sin θ
(θ为参数)的对称中心( )
A.在直线 y=2x 上 B.在直线 y=-2x 上
C.在直线 y=x-1 上 D.在直线 y=x+1 上
解析:选 B 曲线 x=-1+cos θ,
y=2+sin θ
(θ为参数)的普通方程为
(x+1)2+(y-2)2=1,该曲线为圆,圆心(-1,2)为曲线的对称中心,其在直线 y=-2x
上,故选 B.
3.直线 l 的参数方程为 x=a+t
y=b+t
(t 为参数),l 上的点 P1 对应的参数是 t1,则点 P1 与
P(a,b)之间的距离是( )
A.|t1| B.2|t1| C. 2|t1| D. 2
2 |t1|
解析:选 C ∵P1(a+t1,b+t1),P(a,b),
∴|P1P|= a+t1-a2+b+t1-b2= t21+t21= 2|t1|.
4.已知三个方程:① x=t,
y=t2,
② x=tan t,
y=tan2t,
③ x=sin t,
y=sin2t
(都是以 t 为参数).那么表示同一曲线的方程是( )
A.①②③ B.①② C.①③ D.②③
解析:选 B ①②③的普通方程都是 y=x2,但①②中 x 的取值范围相同,都是 x∈R,
而③中 x 的取值范围是-1≤x≤1.
5.参数方程
x=t+1
t
y=-2
(t 为参数)所表示的曲线是( )
A.一条射线 B.两条射线 C.一条直线 D.两条直线
解析:选 B 因为 x=t+1
t
∈(-∞,-2]∪[2,+∞),
即 x≤-2 或 x≥2,故是两条射线.
6.已知曲线 C 的参数方程为
x=6+ 4
cos θ
y=5tan θ-3
(θ为参数,π≤θ<2π).已知点 M(14,a)
在曲线 C 上,则 a=( )
A.-3-5 3 B.-3+5 3 C.-3+5
3 3 D.-3-5
3 3
解析:选 A ∵(14,a)在曲线 C 上,
∴
14=6+ 4
cos θ
①
a=5tan θ-3 ②
由①得:cos θ=1
2
,又π≤θ<2π.
∴sin θ=- 1-1
2
2=- 3
2
,∴tan θ=- 3.
∴a=5·(- 3)-3=-3-5 3.
7.直线 x=-2- 2t,
y=3+ 2t
(t 为参数)上与点 P(-2,3)的距离等于 2的点的坐标是( )
A.(-4,5) B.(-3,4)
C.(-3,4)或(-1,2) D.(-4,5)或(0,1)
解析:选 C 可以把直线的参数方程转化成标准式,或者直接根据直线参数方程的非
标准式中参数的几何意义可得 - 22+ 22·|t|= 2,解得 t=± 2
2
,将 t 代入原方程,得
x=-3,
y=4
或 x=-1,
y=2,
所以所求点的坐标为(-3,4)或(-1,2).
8 . 若 圆 的 参 数 方 程 为 x=-1+2cos θ,
y=3+2sin θ
(θ 为 参 数 ) , 直 线 的 参 数 方 程 为
x=2t-1,
y=6t-1
(t 为参数),则直线与圆的位置关系是( )
A.过圆心 B.相交而不过圆心
C.相切 D.相离
解析:选 B 将圆、直线的参数方程化成普通方程,利用圆心到直线的距离与圆的半
径进行比较,可知圆心到直线的距离小于半径,并且圆心不在直线上.
9.设 F1 和 F2 是双曲线 x=2sec θ,
y=tan θ
(θ为参数)的两个焦点,点 P 在双曲线上,且满
足∠F1PF2=90°,那么△F1PF2 的面积是( )
A.1 B. 5
2 C.2 D.5
解析:选 A 方程化为普通方程是x2
4
-y2=1,∴b=1.
由题意,得 |PF1|2+|PF2|2=4c2,
|PF1|-|PF2|2=4a2.
∴2|PF1|·|PF2|=4b2.
∴S=1
2|PF1|·|PF2|=b2=1.
10.已知方程 x2-ax+b=0 的两根是 sin θ和 cos θ |θ|≤π
4 ,则点(a,b)的轨迹是( )
A.椭圆弧 B.圆弧 C.双曲线弧 D.抛物线弧
解析:选 D 由题知 sin θ+cos θ=a,
sin θ·cos θ=b,
即 a=sin θ+cos θ,
b=sin θ·cos θ.
a2-2b=(sin θ+cos θ)2-2sin θ·cos θ=1.
又|θ|≤π
4.∴表示抛物线弧.
二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,满分 20 分.把答案填写在题中的横线上)
11.若直线 l:y=kx 与曲线 C: x=2+cos θ,
y=sin θ
(参数θ∈R)有唯一的公共点,则实数
k=________.
解析:曲线 C 的普通方程为(x-2)2+y2=1,由题意知,|2k-0|
1+k2
=1,∴k=± 3
3 .
答案:± 3
3
12.(湖南高考)在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l: x=t,
y=t-a
(t 为参数)过椭圆 C:
x=3cos φ,
y=2sin φ
(φ为参数)的右顶点,则常数 a 的值为________.
解析:由直线 l 的参数方程 x=t,
y=t-a
(t 为参数)消去参数 t 得直线 l 的一般方程:y=x
-a,由椭圆的参数方程可知其右顶点为(3,0).因为直线 l 过椭圆的右顶点,所以 3-a=0,
即 a=3.
答案:3
13.已知点 P 在直线 x=3+4t,
y=1+3t
(t 为参数)上,点 Q 为曲线
x=5
3cos θ,
y=3sin θ
(θ为参数)
上的动点,则|PQ|的最小值等于________.
解析:直线方程为 3x-4y-5=0,由题意,点 Q 到直线的距离
d=|5cos θ-12sin θ-5|
5
=|13cosθ+φ-5|
5
,
∴dmin=8
5
,即|PQ|min=8
5.
答案:8
5
14.(天津高考)已知抛物线的参数方程为 x=2pt2,
y=2pt
(t 为参数),其中 p>0,焦点为 F,准线为 l.过抛物线上一点 M 作 l 的垂线,垂足为 E.
若|EF|=|MF|,点 M 的横坐标是 3,则 p=________.
解析:由题意知,抛物线的普通方程为 y2=2px(p>0),焦点 F
p
2
,0 ,准线 x=-p
2
,设
准线与 x 轴的交点为 A.由抛物线定义可得|EM|=|MF|,所以△MEF 是正三角形,
在 Rt△EFA 中,|EF|=2|FA|,即 3+p
2
=2p,得 p=2.
答案:2
三、解答题(本大题共 6 个小题,满分 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤)
15.(本小题满分 10 分)求曲线 C1:
x= 2
t2+1
,
y= 2t
t2+1
.
(t 为参数)被直线 l:y=x-1
2
所截得
的线段长.
解:曲线 C1:
x= 2
t2+1
,①
y= 2t
t2+1
,②
②
①
得 t=y
x
,代入①,化简得 x2+y2=2x.
又 x= 2
t2+1
≠0,
∴C1 的普通方程为(x-1)2+y2=1(x≠0).
圆 C1 的圆心到直线 l:y=x-1
2
的距离 d=
|1-0-1
2|
2
= 1
2 2
.
所求弦长为 2 1-d2= 14
2 .
16.(本小题满分 12 分)已知实数 x,y 满足 x2+(y-1)2=1,求 t=x+y 的最大值.
解:方程 x2+(y-1)2=1 表示以(0,1)为圆心,以 1 为半径的圆.
∴其参数方程为 x=cos θ,
y=1+sin θ.
∴t=x+y=cos θ+sin θ+1
= 2sin(θ+π
4)+1
∴当 sin (θ+π
4)=1 时 tmax= 2+1.
17.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 x=cos φ,
y=sin φ, (φ
为参数),曲线 C2 的参数方程为 x=acos φ,
y=bsin φ, (a>b>0,φ为参数).在以 O 为极点,x 轴
的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 l:θ=α与 C1,C2 各有一个交点.当α=0 时,这两个
交点间的距离为 2,当α=π
2
时,这两个交点重合.
(1)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值;
(2)设当α=π
4
时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当α=-π
4
时,l 与 C1,C2 的交点分
别为 A2,B2,求四边形 A1A2B2B1 的面积.
解:(1)C1,C2 的普通方程分别为 x2+y2=1 和x2
a2
+y2
b2
=1.因此 C1 是圆,C2 是椭圆.
当α=0 时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0),因为这两点间的距离
为 2,所以 a=3.
当α=π
2
时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b),因为这两点重合,所
以 b=1.
(2)C1,C2 的普通方程分别为 x2+y2=1 和x2
9
+y2=1.
当α=π
4
时,射线 l 与 C1 交点 A1 的横坐标为 x= 2
2
,与 C2 交点 B1 的横坐标为 x′=3 10
10 .
当α=-π
4
时,射线 l 与 C1,C2 的两个交点 A2,B2 分别与 A1,B1 关于 x 轴对称,因此
四边形 A1A2B2B1 为梯形,故四边形 A1A2B2B1 的面积为2x′+2xx′-x
2
=2
5.
18.(本小题满分 12 分)舰 A 在舰 B 的正东,距离 6 千米;舰 C 在舰 B 的北偏西 30°,
距离 4 千米.它们准备围捕海中某动物,某时刻 A 发现动物信号,4 秒后 B、C 同时发现这
种信号,A 于是发射麻醉炮弹,假设舰与动物都是静止的,动物信号的传播速度为 1 千米/
秒,炮弹初速度为 20 3g
3
千米/秒,其中 g 为重力加速度,空气阻力不计,求舰 A 炮击
的方位角与仰角.
解:以 BA 为 x 轴,BA 中垂线为 y 轴建立直角坐标系(如图),则
B(-3,0),A(3,0),C(-5,2 3).设海中动物为 P(x,y).
因为|BP|=|CP|,
所以 P 在线段 BC 的中垂线上,易知中垂线方程是 y= 3
3 (x+7).
又|PB|-|PA|=4,所以 P 在以 A、B 为焦点的双曲线右支上,双曲线方程是x2
4
-y2
5
=1.
从而得 P(8,5 3).
设∠xAP=α,则 tan α=kAP= 3,
∴α=60°,这样炮弹发射的方位角为北偏东 30°.再以 A 为原点,AP 为 x′轴建立坐
标系 x′Ay′,(如图).|PA|=10,设弹道曲线方程是
x′=v0tcos θ
y′=v0tsin θ-1
2gt2 (其中θ为仰角)
将 P(10,0)代入,消去 t 便得 sin 2θ= 3
2
,θ=30°或 60°这样舰 A 发射炮弹的仰角为
30°或 60°.
19.(本小题满分 12 分)已知曲线 C1:x=-4+cos t,
y=3+sin t
(t 是参数),C:x=8cos θ,
y=3sin θ
(θ
是参数).
(1)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t=π
2
,Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 C3:
x=3+2t,
y=-2+t
(t 是参数)距离的最小值.
解:(1)C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2:x2
64
+y2
9
=1,
C1 为圆心是(-4,3),半径是 1 的圆.
C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆.
(2)当 t=π
2
时,P(-4,4),Q(8cos θ,3sin θ),
故 M
-2+4cos θ,2+3
2sin θ .
C3 为直线 x-2y-7=0,
M 到 C3 的距离 d= 5
5 |4cos θ-3sin θ-13|.
从而当 cos θ=4
5
,sin θ=-3
5
时,d 取得最小值8 5
5 .
20 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为
x=4cos θ,
y=4sin θ
(θ为参数,且 0≤θ≤2π),点 M 是曲线 C1 上的动点.
(1)求线段 OM 的中点 P 的轨迹的参数方程;
(2)以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若直线 l 的极坐标方程为
ρcos θ-ρsin θ+1=0(ρ>0),求点 P 到直线 l 距离的最大值.
解:(1)曲线 C1 上的动点 M 的坐标为(4cos θ,4sin θ),坐标原点 O(0,0),设 P 的坐标为
(x,y),则由中点坐标公式得 x=1
2(0+4cos θ)=2cos θ,y=1
2(0+4sin θ)=2sin θ,所以点 P
的坐标为(2cos θ,2sin θ),因此点 P 的轨迹的参数方程为 x=2cos θ
y=2sin θ
,(θ为参数,且
0≤θ≤2π).
(2)由直角坐标与极坐标关系 x=ρcos θ,
y=ρsin θ,
得直线 l 的直角坐标方程为 x-y+1=0,
又由(1)知点 P 的轨迹为圆心在原点,半径为 2 的圆,
因为原点(0,0)到直线 x-y+1=0 的距离为 |0-0+1|
12+-12
= 1
2
= 2
2
,
所以点 P 到直线 l 距离的最大值为 2+ 2
2 .
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