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  • 2021-06-15 发布

高中数学人教a版选修4-4阶段质量检测(二)a卷word版含解析

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阶段质量检测(二) A 卷 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 6 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知曲线的方程为 x=2t, y=t (t 为参数),则下列点中在曲线上的是( ) A.(1,1) B.(2,2) C.(0,0) D.(1,2) 解析:选 C 当 t=0 时,x=0 且 y=0,即点(0,0)在曲线上. 2.(北京高考)曲线 x=-1+cos θ, y=2+sin θ (θ为参数)的对称中心( ) A.在直线 y=2x 上 B.在直线 y=-2x 上 C.在直线 y=x-1 上 D.在直线 y=x+1 上 解析:选 B 曲线 x=-1+cos θ, y=2+sin θ (θ为参数)的普通方程为 (x+1)2+(y-2)2=1,该曲线为圆,圆心(-1,2)为曲线的对称中心,其在直线 y=-2x 上,故选 B. 3.直线 l 的参数方程为 x=a+t y=b+t (t 为参数),l 上的点 P1 对应的参数是 t1,则点 P1 与 P(a,b)之间的距离是( ) A.|t1| B.2|t1| C. 2|t1| D. 2 2 |t1| 解析:选 C ∵P1(a+t1,b+t1),P(a,b), ∴|P1P|= a+t1-a2+b+t1-b2= t21+t21= 2|t1|. 4.已知三个方程:① x=t, y=t2, ② x=tan t, y=tan2t, ③ x=sin t, y=sin2t (都是以 t 为参数).那么表示同一曲线的方程是( ) A.①②③ B.①② C.①③ D.②③ 解析:选 B ①②③的普通方程都是 y=x2,但①②中 x 的取值范围相同,都是 x∈R, 而③中 x 的取值范围是-1≤x≤1. 5.参数方程 x=t+1 t y=-2 (t 为参数)所表示的曲线是( ) A.一条射线 B.两条射线 C.一条直线 D.两条直线 解析:选 B 因为 x=t+1 t ∈(-∞,-2]∪[2,+∞), 即 x≤-2 或 x≥2,故是两条射线. 6.已知曲线 C 的参数方程为 x=6+ 4 cos θ y=5tan θ-3 (θ为参数,π≤θ<2π).已知点 M(14,a) 在曲线 C 上,则 a=( ) A.-3-5 3 B.-3+5 3 C.-3+5 3 3 D.-3-5 3 3 解析:选 A ∵(14,a)在曲线 C 上, ∴ 14=6+ 4 cos θ ① a=5tan θ-3 ② 由①得:cos θ=1 2 ,又π≤θ<2π. ∴sin θ=- 1-1 2 2=- 3 2 ,∴tan θ=- 3. ∴a=5·(- 3)-3=-3-5 3. 7.直线 x=-2- 2t, y=3+ 2t (t 为参数)上与点 P(-2,3)的距离等于 2的点的坐标是( ) A.(-4,5) B.(-3,4) C.(-3,4)或(-1,2) D.(-4,5)或(0,1) 解析:选 C 可以把直线的参数方程转化成标准式,或者直接根据直线参数方程的非 标准式中参数的几何意义可得 - 22+ 22·|t|= 2,解得 t=± 2 2 ,将 t 代入原方程,得 x=-3, y=4 或 x=-1, y=2, 所以所求点的坐标为(-3,4)或(-1,2). 8 . 若 圆 的 参 数 方 程 为 x=-1+2cos θ, y=3+2sin θ (θ 为 参 数 ) , 直 线 的 参 数 方 程 为 x=2t-1, y=6t-1 (t 为参数),则直线与圆的位置关系是( ) A.过圆心 B.相交而不过圆心 C.相切 D.相离 解析:选 B 将圆、直线的参数方程化成普通方程,利用圆心到直线的距离与圆的半 径进行比较,可知圆心到直线的距离小于半径,并且圆心不在直线上. 9.设 F1 和 F2 是双曲线 x=2sec θ, y=tan θ (θ为参数)的两个焦点,点 P 在双曲线上,且满 足∠F1PF2=90°,那么△F1PF2 的面积是( ) A.1 B. 5 2 C.2 D.5 解析:选 A 方程化为普通方程是x2 4 -y2=1,∴b=1. 由题意,得 |PF1|2+|PF2|2=4c2, |PF1|-|PF2|2=4a2. ∴2|PF1|·|PF2|=4b2. ∴S=1 2|PF1|·|PF2|=b2=1. 10.已知方程 x2-ax+b=0 的两根是 sin θ和 cos θ |θ|≤π 4 ,则点(a,b)的轨迹是( ) A.椭圆弧 B.圆弧 C.双曲线弧 D.抛物线弧 解析:选 D 由题知 sin θ+cos θ=a, sin θ·cos θ=b, 即 a=sin θ+cos θ, b=sin θ·cos θ. a2-2b=(sin θ+cos θ)2-2sin θ·cos θ=1. 又|θ|≤π 4.∴表示抛物线弧. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,满分 20 分.把答案填写在题中的横线上) 11.若直线 l:y=kx 与曲线 C: x=2+cos θ, y=sin θ (参数θ∈R)有唯一的公共点,则实数 k=________. 解析:曲线 C 的普通方程为(x-2)2+y2=1,由题意知,|2k-0| 1+k2 =1,∴k=± 3 3 . 答案:± 3 3 12.(湖南高考)在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l: x=t, y=t-a (t 为参数)过椭圆 C: x=3cos φ, y=2sin φ (φ为参数)的右顶点,则常数 a 的值为________. 解析:由直线 l 的参数方程 x=t, y=t-a (t 为参数)消去参数 t 得直线 l 的一般方程:y=x -a,由椭圆的参数方程可知其右顶点为(3,0).因为直线 l 过椭圆的右顶点,所以 3-a=0, 即 a=3. 答案:3 13.已知点 P 在直线 x=3+4t, y=1+3t (t 为参数)上,点 Q 为曲线 x=5 3cos θ, y=3sin θ (θ为参数) 上的动点,则|PQ|的最小值等于________. 解析:直线方程为 3x-4y-5=0,由题意,点 Q 到直线的距离 d=|5cos θ-12sin θ-5| 5 =|13cosθ+φ-5| 5 , ∴dmin=8 5 ,即|PQ|min=8 5. 答案:8 5 14.(天津高考)已知抛物线的参数方程为 x=2pt2, y=2pt (t 为参数),其中 p>0,焦点为 F,准线为 l.过抛物线上一点 M 作 l 的垂线,垂足为 E. 若|EF|=|MF|,点 M 的横坐标是 3,则 p=________. 解析:由题意知,抛物线的普通方程为 y2=2px(p>0),焦点 F p 2 ,0 ,准线 x=-p 2 ,设 准线与 x 轴的交点为 A.由抛物线定义可得|EM|=|MF|,所以△MEF 是正三角形, 在 Rt△EFA 中,|EF|=2|FA|,即 3+p 2 =2p,得 p=2. 答案:2 三、解答题(本大题共 6 个小题,满分 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤) 15.(本小题满分 10 分)求曲线 C1: x= 2 t2+1 , y= 2t t2+1 . (t 为参数)被直线 l:y=x-1 2 所截得 的线段长. 解:曲线 C1: x= 2 t2+1 ,① y= 2t t2+1 ,② ② ① 得 t=y x ,代入①,化简得 x2+y2=2x. 又 x= 2 t2+1 ≠0, ∴C1 的普通方程为(x-1)2+y2=1(x≠0). 圆 C1 的圆心到直线 l:y=x-1 2 的距离 d= |1-0-1 2| 2 = 1 2 2 . 所求弦长为 2 1-d2= 14 2 . 16.(本小题满分 12 分)已知实数 x,y 满足 x2+(y-1)2=1,求 t=x+y 的最大值. 解:方程 x2+(y-1)2=1 表示以(0,1)为圆心,以 1 为半径的圆. ∴其参数方程为 x=cos θ, y=1+sin θ. ∴t=x+y=cos θ+sin θ+1 = 2sin(θ+π 4)+1 ∴当 sin (θ+π 4)=1 时 tmax= 2+1. 17.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 x=cos φ, y=sin φ, (φ 为参数),曲线 C2 的参数方程为 x=acos φ, y=bsin φ, (a>b>0,φ为参数).在以 O 为极点,x 轴 的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 l:θ=α与 C1,C2 各有一个交点.当α=0 时,这两个 交点间的距离为 2,当α=π 2 时,这两个交点重合. (1)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; (2)设当α=π 4 时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当α=-π 4 时,l 与 C1,C2 的交点分 别为 A2,B2,求四边形 A1A2B2B1 的面积. 解:(1)C1,C2 的普通方程分别为 x2+y2=1 和x2 a2 +y2 b2 =1.因此 C1 是圆,C2 是椭圆. 当α=0 时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0),因为这两点间的距离 为 2,所以 a=3. 当α=π 2 时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b),因为这两点重合,所 以 b=1. (2)C1,C2 的普通方程分别为 x2+y2=1 和x2 9 +y2=1. 当α=π 4 时,射线 l 与 C1 交点 A1 的横坐标为 x= 2 2 ,与 C2 交点 B1 的横坐标为 x′=3 10 10 . 当α=-π 4 时,射线 l 与 C1,C2 的两个交点 A2,B2 分别与 A1,B1 关于 x 轴对称,因此 四边形 A1A2B2B1 为梯形,故四边形 A1A2B2B1 的面积为2x′+2xx′-x 2 =2 5. 18.(本小题满分 12 分)舰 A 在舰 B 的正东,距离 6 千米;舰 C 在舰 B 的北偏西 30°, 距离 4 千米.它们准备围捕海中某动物,某时刻 A 发现动物信号,4 秒后 B、C 同时发现这 种信号,A 于是发射麻醉炮弹,假设舰与动物都是静止的,动物信号的传播速度为 1 千米/ 秒,炮弹初速度为 20 3g 3 千米/秒,其中 g 为重力加速度,空气阻力不计,求舰 A 炮击 的方位角与仰角. 解:以 BA 为 x 轴,BA 中垂线为 y 轴建立直角坐标系(如图),则 B(-3,0),A(3,0),C(-5,2 3).设海中动物为 P(x,y). 因为|BP|=|CP|, 所以 P 在线段 BC 的中垂线上,易知中垂线方程是 y= 3 3 (x+7). 又|PB|-|PA|=4,所以 P 在以 A、B 为焦点的双曲线右支上,双曲线方程是x2 4 -y2 5 =1. 从而得 P(8,5 3). 设∠xAP=α,则 tan α=kAP= 3, ∴α=60°,这样炮弹发射的方位角为北偏东 30°.再以 A 为原点,AP 为 x′轴建立坐 标系 x′Ay′,(如图).|PA|=10,设弹道曲线方程是 x′=v0tcos θ y′=v0tsin θ-1 2gt2 (其中θ为仰角) 将 P(10,0)代入,消去 t 便得 sin 2θ= 3 2 ,θ=30°或 60°这样舰 A 发射炮弹的仰角为 30°或 60°. 19.(本小题满分 12 分)已知曲线 C1:x=-4+cos t, y=3+sin t (t 是参数),C:x=8cos θ, y=3sin θ (θ 是参数). (1)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t=π 2 ,Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 C3: x=3+2t, y=-2+t (t 是参数)距离的最小值. 解:(1)C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2:x2 64 +y2 9 =1, C1 为圆心是(-4,3),半径是 1 的圆. C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆. (2)当 t=π 2 时,P(-4,4),Q(8cos θ,3sin θ), 故 M -2+4cos θ,2+3 2sin θ . C3 为直线 x-2y-7=0, M 到 C3 的距离 d= 5 5 |4cos θ-3sin θ-13|. 从而当 cos θ=4 5 ,sin θ=-3 5 时,d 取得最小值8 5 5 . 20 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为 x=4cos θ, y=4sin θ (θ为参数,且 0≤θ≤2π),点 M 是曲线 C1 上的动点. (1)求线段 OM 的中点 P 的轨迹的参数方程; (2)以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若直线 l 的极坐标方程为 ρcos θ-ρsin θ+1=0(ρ>0),求点 P 到直线 l 距离的最大值. 解:(1)曲线 C1 上的动点 M 的坐标为(4cos θ,4sin θ),坐标原点 O(0,0),设 P 的坐标为 (x,y),则由中点坐标公式得 x=1 2(0+4cos θ)=2cos θ,y=1 2(0+4sin θ)=2sin θ,所以点 P 的坐标为(2cos θ,2sin θ),因此点 P 的轨迹的参数方程为 x=2cos θ y=2sin θ ,(θ为参数,且 0≤θ≤2π). (2)由直角坐标与极坐标关系 x=ρcos θ, y=ρsin θ, 得直线 l 的直角坐标方程为 x-y+1=0, 又由(1)知点 P 的轨迹为圆心在原点,半径为 2 的圆, 因为原点(0,0)到直线 x-y+1=0 的距离为 |0-0+1| 12+-12 = 1 2 = 2 2 , 所以点 P 到直线 l 距离的最大值为 2+ 2 2 .