2020年高中数学新教材同步必修第二册 第8章8.2 立体图形的直观图 11页

8.2 立体图形的直观图 学习目标 1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.2.会用斜二测画法画常见 的柱、锥、台、球以及简单组合体的直观图. 知识点一 水平放置的平面图形的直观图的画法 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 知识点二 空间几何体直观图的画法 立体图形直观图的画法步骤 (1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个 z 轴，直观图中与之对应的是 z′轴. (2)画底面：平面 x′O′y′表示水平平面，平面 y′O′z′和 x′O′z′表示竖直平面，按 照平面图形的画法，画底面的直观图. (3)画侧棱：已知图形中平行于 z 轴(或在 z 轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变. (4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线. 1.在斜二测画法中，各条线段的长度都发生了改变.( × ) 2.在几何体的直观图中，原来平行的直线仍然平行.( √ ) 3.在斜二测画法中平行于 y 轴的线段在直观图中长度保持不变.( × ) 一、平面图形的直观图的画法 例 1 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图. 解 画法：(1)如图所示，取 AB 所在直线为 x 轴，AB 中点 O 为原点，建立直角坐标系，画 对应的坐标系 x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°. (2)以 O′为中点在 x′轴上取 A′B′＝AB，在 y′轴上取 O′E′＝1 2OE，以 E′为中点画 C′D′∥x′轴，并使 C′D′＝CD. (3)连接 B′C′，D′A′，所得的四边形 A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形 ABCD 的 直观图. 反思感悟 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般 要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可 以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于 平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可. 跟踪训练 1 已知正五边形 ABCDE，如图，试画出其直观图. 解 画法： (1)在图①中作 AG⊥x 轴于点 G，作 DH⊥x 轴于点 H. (2)在图②中画相应的 x′轴与 y′轴，两轴相交于点 O′，使∠x′O′y′＝45°. (3)在图②中的 x′轴上取 O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′ 轴上取 O′E′＝1 2OE，分别过 G′和 H′作 y′轴的平行线，并在相应的平行线上取 G′A′ ＝1 2GA，H′D′＝1 2HD. (4)连接 A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线 G′A′，H′D′，x′轴与 y′ 轴，便得到水平放置的正五边形 ABCDE 的直观图 A′B′C′D′E′(如图③). 二、空间几何体的直观图 例 2 用斜二测画法画长、宽、高分别为 4 cm、3 cm、2 cm 的长方体 ABCD—A′B′C′D′ 的直观图. 解 (1)画轴.如图，画 x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点 O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画底面.以点 O 为中点，在 x 轴上取线段 MN，使 MN＝4 cm；在 y 轴上取线段 PQ，使 PQ ＝3 2 cm.分别过点 M 和 N 作 y 轴的平行线，过点 P 和 Q 作 x 轴的平行线，设它们的交点分别 为 A，B，C，D，四边形 ABCD 就是长方体的底面 ABCD. (3)画侧棱.过 A，B，C，D 各点分别作 z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取 2 cm 长的 线段 AA′，BB′，CC′，DD′. (4)成图.顺次连接 A′，B′，C′，D′(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长 方体的直观图. 反思感悟 空间几何体的直观图的画法 (1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较 快较准确地画出. (2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个 z′轴，表示竖直方向. (3)z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致. 跟踪训练 2 用斜二测画法画出六棱锥 P－ABCDEF 的直观图，其中底面 ABCDEF 为正六边 形，点 P 在底面上的投影是正六边形的中心 O.(尺寸自定) 解 画法： (1)画出六棱锥 P－ABCDEF 的底面.①在正六边形 ABCDEF 中，取 AD 所在的直线为 x 轴，对 称轴 MN 所在的直线为 y 轴，两轴相交于点 O，如图(1)；画出相应的 x′轴、y′轴、z′轴， 三轴相交于 O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°，如图(2)；②在图(2)中，以 O′ 为中点，在 x′轴上取 A′D′＝AD，在 y′轴上取 M′N′＝1 2MN，以点 N′为中点，画出 B′C′平行于 x′轴，并且长度等于 BC，再以 M′为中点，画出 E′F′平行于 x′轴，并 且长度等于 EF；③连接 A′B′，C′D′，D′E′，F′A′得到正六边形 ABCDEF 水平放 置的直观图 A′B′C′D′E′F′. (2)画出正六棱锥 P－ABCDEF 的顶点，在 z′轴正半轴上截取点 P′，点 P′异于点 O′. (3)成图.连接 P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去 x′轴、y′轴 和 z′轴，便可得到六棱锥 P－ABCDEF 的直观图 P′－A′B′C′D′E′F′，如图(3). 三、直观图的还原与计算 例 3 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形 A′B′O′，若 O′B′＝1，那么原三角形 ABO 的面积是( ) A.1 2 B. 2 2 C. 2 D.2 2 答案 C 解析 直观图中等腰直角三角形直角边长为 1，因此面积为1 2 ，又直观图与原平面图形面积比 为 2∶4，所以原图形的面积为 2，故选 C. 反思感悟 平面多边形与其直观图面积间关系：一个平面多边形的面积为 S 原，斜二测画法得 到直观图的面积为 S 直，则有 S 直＝ 2 4 S 原. 跟踪训练 3 如图，矩形 O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 O′A′ ＝6 cm，O′C′＝2 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是( ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.一般的平行四边形 答案 C 解析 如图，在原图形 OABC 中， 应有 OD＝2O′D′＝2×2 2 ＝4 2(cm)， CD＝C′D′＝2 cm， 所以 OC＝ OD2＋CD2 ＝ 4 22＋22＝6(cm)， 所以 OA＝OC＝BC＝AB， 故四边形 OABC 是菱形. 1.关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是( ) A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B.正方形的直观图为平行四边形 C.梯形的直观图不是梯形 D.正三角形的直观图一定为等腰三角形 答案 B 解析 由于直角在直观图中有的成为 45°，有的成为 135°；当线段与 x 轴平行时，在直观图 中长度不变且仍与 x 轴平行，因此答案为 B. 2.在用斜二测画法画水平放置的△ABC 时，若∠A 的两边分别平行于 x 轴、y 轴，则在直观图 中∠A′等于( ) A.45° B.135° C.90° D.45°或 135° 答案 D 解析 因为∠A 的两边分别平行于 x 轴、y 轴，所以∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法 规则知∠x′O′y′＝45°或 135°，即∠A′＝45°或 135°. 3.下面每个选项的 2 个边长为 1 的正△ABC 的直观图不是全等三角形的一组是( ) 答案 C 解析 可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论. 4.利用斜二测画法得到： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形. 以上结论中，正确的是________.(填序号) 答案 ①② 解析 斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，因此三角形 的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形. 5.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知 A′C′＝3，B′C′＝2，则 AB 边上的 中线的实际长度为________. 答案 2.5 解析 由直观图知，原平面图形为直角三角形，且 AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计 算得 AB＝5，所求中线长为 2.5. 1.知识清单： (1)水平放置的平面图形的直观图的画法. (2)空间几何体直观图的画法. (3)直观图的还原与计算. 2.方法归纳：转化思想. 3.常见误区：同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同. 1.(多选)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是( ) A.原来相交的仍相交 B.原来垂直的仍垂直 C.原来平行的仍平行 D.原来共点的仍共点 答案 ACD 2.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是( ) 答案 C 解析 根据斜二测画法可知，此直观图的平面图形可能是 C. 3.已知等边三角形 ABC 的边长为 a，那么等边三角形 ABC 的直观图△A′B′C′的面积为 ( ) A. 3 4 a2 B. 3 8 a2 C. 6 8 a2 D. 6 16a2 答案 D 解析 建立如图①所示的平面直角坐标系 xOy. 如图②所示，建立坐标系 x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，由直观图画法，知 A′B′＝AB ＝a，O′C′＝1 2OC＝ 3 4 a. 过点 C′作 C′D′⊥O′x′于点 D′，则 C′D′＝ 2 2 O′C′＝ 6 8 a. 所以△A′B′C′的面积是 S＝1 2·A′B′·C′D′＝1 2·a· 6 8 a＝ 6 16a2. 4.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的是( ) A.水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形 B.平行四边形的直观图仍是平行四边形 C.两条相交直线的直观图可能是平行直线 D.两条垂直的直线的直观图仍互相垂直 答案 B 5.水平放置的△ABC 的直观图如图所示，其中 B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝ 3 2 ，那么原 △ABC 是一个( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.三边中只有两边相等的等腰三角形 D.三边互不相等的三角形 答案 A 解析 由△ABC 的直观图，知在原△ABC 中，AO⊥BC. ∵A′O′＝ 3 2 ，∴AO＝ 3. ∵B′O′＝C′O′＝1，∴BC＝2，AB＝AC＝2， ∴△ABC 为等边三角形. 6.在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点 M(4,4)在直观图中的对应点是 M′，则点 M′ 的坐标为________. 答案 (4,2) 解析 由直观图画法“横不变，纵折半”可得点 M′的坐标为(4,2). 7.如图，是用斜二测画法画出的△AOB 的直观图，则△AOB 的面积是________. 答案 16 解析 由图可知 O′B′＝4，则对应△AOB 中，OB＝4. 又和 y′轴平行的线段的长度为 4，则对应△AOB 边 OB 上的高为 8. 所以△AOB 的面积为1 2 ×4×8＝16. 8.如图，平行四边形 O′P′Q′R′是四边形 OPQR 的直观图，若 O′P′＝3，O′R′＝1， 则原四边形 OPQR 的周长为________. 答案 10 解析 由四边形 OPQR 的直观图可知原四边形是矩形，且 OP＝3，OR＝2，所以原四边形 OPQR 的周长为 2×(3＋2)＝10. 9.用斜二测画法画边长为 4 cm 的水平放置的正三角形(如图)的直观图. 解 (1)如图①所示，以 BC 边所在的直线为 x 轴，以 BC 边上的高线 AO 所在的直线为 y 轴. (2)画对应的 x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°. 在 x′轴上截取 O′B′＝O′C′＝2 cm，在 y′轴上截取 O′A′＝1 2OA. 连接 A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正△ABC 的直观图，如图②所示. 10.一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重 合，圆柱的底面直径为 3 cm，高(两底面圆心连线的长度)为 4 cm，圆锥的高(顶点与底面圆心 连线的长度)为 3 cm，画出此几何体的直观图. 解 (1)画轴.如图①所示，画 x 轴、z 轴，使∠xOz＝90°. (2)画圆柱的下底面.在 x 轴上取 A，B 两点，使 AB＝3 cm，且 OA＝OB，选择椭圆模板中适当 的椭圆且过 A，B 两点，使它为圆柱的下底面. (3)在 Oz 上截取 OO′＝4 cm，过点 O′作平行于 Ox 轴的 O′x′轴，类似圆柱下底面的画法 画出圆柱的上底面. (4)画圆锥的顶点.在 Oz 上截取点 P，使 PO′＝3 cm. (5)成图.连接 A′A，B′B，PA′，PB′，整理(去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线)得到此 几何体的直观图，如图②所示. 11.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB 的直观图，B′在 x′轴上，A′O′与 x′ 轴垂直，且 A′O′＝2，则△AOB 的边 OB 上的高为( ) A.2 B.4 C.2 2 D.4 2 答案 D 解 析 设 △AOB 的 边 OB 上 的 高 为 h ， 因 为 S 原 图 形 ＝ 2 2 S 直 观 图 ， 所 以 1 2 ×OB×h ＝ 2 2×1 2 ×2×O′B′.又 OB＝O′B′，所以 h＝4 2. 12.如图所示，一个水平放置的正方形 ABCO，它在直角坐标系 xOy 中，点 B 的坐标为(2,2)， 则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点 B′到 x′轴的距离为______. 答案 2 2 解析 画出直观图，则 B′到 x′轴的距离为 2 2 ·1 2OA＝ 2 4 OA＝ 2 2 . 13.如图，正方形 O′A′B′C′的边长为 1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则 原图形的周长是________. 答案 8 cm 解析 由题意知正方形 O′A′B′C′的边长为 1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观 图，所以 O′B′＝ 2 cm，对应原图形平行四边形 OABC 的高 OB＝2O′B′＝2 2 cm，如 图所示. 所以原图形中，OA＝BC＝1 cm，AB＝OC＝ 2 22＋12＝3 cm， 故原图形的周长为 2×(1＋3)＝8(cm). 14.如图所示，四边形 ABCD 是一平面图形的水平放置的斜二测直观图，四边形 ABCD 是一直 角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，且 BC 与 y 轴平行，若 AB＝6，DC＝4，AD＝2，则这个平面 图形的实际面积是________. 答案 20 2 解析 由题意知，S 梯形 ABCD＝1 2(AB＋CD)·AD＝10， 故这个平面图形的实际面积 S＝ 4 2 S 梯形 ABCD＝20 2. 15.如图所示，△A′B′C′表示水平放置的△ABC 用斜二测画法得到的直观图，A′B′在 x′ 轴上，B′C′与 x′轴垂直，且 B′C′＝3，则△ABC 的边 AB 上的高为________. 答案 6 2 解析 如图所示，过 C′作 C′D′∥y′轴，交 x′轴于点 D′，则∠C′D′B′＝45°， ∵B′C′与 x′轴垂直，且 B′C′＝3，∴C′D′＝3 2. 根据斜二测画法知△ABC 的边 AB 上的高等于 2C′D′＝6 2. 16.用斜二测画法得到一水平放置的直角三角形 ABC 如图所示，其中 AC＝1，∠ABC＝30°， 试求原三角形 A′B′C′边 B′C′上的高及△A′B′C′的面积. 解 如图所示，作 AD⊥BC 于点 D，在 BD 上取一点 E，使 DE＝AD. 由 AC＝1 可知，BC＝2，AB＝ 3，AD＝ 3 2 ，AE＝ 6 2 . 由斜二测画法知，B′C′＝BC＝2，A′E′＝2AE＝ 6. 所以 S△A′B′C′＝1 2B′C′·A′E′＝1 2 ×2× 6＝ 6.