高中数学（人教版a版必修一）配套课时作业：第一章集合与函数的概念1-3习题课word版含解析 10页

§1.3 习题课 课时目标 1.加深对函数的基本性质的理解.2.培养综合运用函数的基本性质 解题的能力． 1．若函数 y＝(2k＋1)x＋b 在 R 上是减函数，则( ) A．k>1 2B．k<1 2C．k>－1 2D．k<－1 2 2．定义在 R 上的函数 f(x)对任意两个不相等的实数 a，b，总有fa－fb a－b >0 成 立，则必有( ) A．函数 f(x)先增后减 B．函数 f(x)先减后增 C．f(x)在 R 上是增函数 D．f(x)在 R 上是减函数 3．已知函数 f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，且 a＋b>0，则有( ) A．f(a)＋f(b)>－f(a)－f(b) B．f(a)＋f(b)<－f(a)－f(b) C．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b) D．f(a)＋f(b)a，则实数 a 的取值范围是 ______________． 一、选择题 1．设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，已知 x1>0，x2<0， 且 f(x1)0 C．f(－x1)>f(－x2) D．f(－x1)·f(－x2)<0 2．下列判断： ①如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，那么这个函数为偶函数； ②对于定义域为实数集 R 的任何奇函数 f(x)都有 f(x)·f(－x)≤0； ③解析式中含自变量的偶次幂而不含常数项的函数必是偶函数； ④既是奇函数又是偶函数的函数存在且唯一． 其中正确的序号为( ) A．②③④B．①③C．②D．④ 3．定义两种运算：a⊕b＝ab，a⊗b＝a2＋b2，则函数 f(x)＝ 2⊕x x⊗2－2 为( ) A．奇函数 B．偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．既是奇函数也是偶函数 4．用 min{a，b}表示 a，b 两数中的最小值，若函数 f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图 象关于直线 x＝－1 2 对称，则 t 的值为( ) A．－2B．2C．－1D．1 5．如果奇函数 f(x)在区间[1,5]上是减函数，且最小值为 3，那么 f(x)在区间[－ 5，－1]上是( ) A．增函数且最小值为 3B．增函数且最大值为 3 C．减函数且最小值为－3D．减函数且最大值为－3 6．若 f(x)是偶函数，且当 x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则 f(x－1)<0 的解集是 ( ) A．(－1,0) B．(－∞，0)∪(1,2) C．(1,2) D．(0,2) 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．若函数 f(x)＝－ x＋a bx＋1 为区间[－1,1]上的奇函数，则它在这一区间上的最大 值为____． 8．已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，且当 x>0 时，f(x)＝2x－3，则 f(－2) ＋f(0)＝________. 9．函数 f(x)＝x2＋2x＋a，若对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立，则实数 a 的 取值范围是________． 三、解答题 10．已知奇函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且 f(x)在(0，＋∞)上是 增函数，f(1)＝0. (1)求证：函数 f(x)在(－∞，0)上是增函数； (2)解关于 x 的不等式 f(x)<0. 11．已知 f(x)＝x2＋ax＋b x ，x∈(0，＋∞)． (1)若 b≥1，求证：函数 f(x)在(0,1)上是减函数； (2)是否存在实数 a，b，使 f(x)同时满足下列两个条件： ①在(0,1)上是减函数，(1，＋∞)上是增函数；②f(x)的最小值是 3.若存在，求 出 a，b 的值；若不存在，请说明理由． 能力提升 12．设函数 f(x)＝1－ 1 x＋1 ，x∈[0，＋∞) (1)用单调性的定义证明 f(x)在定义域上是增函数； (2)设 g(x)＝f(1＋x)－f(x)，判断 g(x)在[0，＋∞)上的单调性(不用证明)，并由此 说明 f(x)的增长是越来越快还是越来越慢？ 13．如图，有一块半径为 2 的半圆形纸片，计划剪裁成等腰梯形 ABCD 的形状， 它的下底 AB 是⊙O 的直径，上底 CD 的端点在圆周上，设 CD＝2x，梯形 ABCD 的周长为 y. (1)求出 y 关于 x 的函数 f(x)的解析式； (2)求 y 的最大值，并指出相应的 x 值． 1．函数单调性的判定方法 (1)定义法． (2)直接法：运用已知的结论，直接判断函数的单调性，如一次函数，二次函数， 反比例函数；还可以根据 f(x)，g(x)的单调性判断－f(x)，1 fx ，f(x)＋g(x)的单调 性等． (3)图象法：根据函数的图象判断函数的单调性． 2．二次函数在闭区间上的最值 对于二次函数 f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[m，n]上最值问题，有以下结论： (1)若 h∈[m，n]，则 ymin＝f(h)＝k，ymax＝max{f(m)，f(n)}； (2)若 h∉[m，n]，则 ymin＝min{f(m)，f(n)}， ymax＝max{f(m)，f(n)}(a<0 时可仿此讨论)． 3．函数奇偶性与单调性的差异． 函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的，这一点与研究函数的单调性不 同，从这个意义上说，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数 的“整体”性质，只是对函数定义域内的每一个值 x，都有 f(－x)＝－f(x)[或 f(－ x)＝f(x)]，才能说 f(x)是奇函数(或偶函数)． §1.3 习题课 双基演练 1．D [由已知，令 2k＋1<0，解得 k<－1 2.] 2．C [由fa－fb a－b >0，知 f(a)－f(b)与 a－b 同号， 由增函数的定义知选 C.] 3．C [∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a. 由函数的单调性可知，f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)． 两式相加得 C 正确．] 4．C [由图象可知，当 x＝0 时，f(x)取得最大值； 当 x＝－3 2 时，f(x)取得最小值．故选 C.] 5.1 3 0 解析 偶函数定义域关于原点对称， ∴a－1＋2a＝0.∴a＝1 3. ∴f(x)＝1 3x2＋bx＋1＋b. 又∵f(x)是偶函数，∴b＝0. 6．(－∞，－1) 解析 若 a≥0，则 1 2a－1>a，解得 a<－2，∴a∈∅； 若 a<0，则1 a>a，解得 a<－1 或 a>1，∴a<－1. 综上，a∈(－∞，－1)． 作业设计 1．B [由已知得 f(x1)＝f(－x1)，且－x1<0，x2<0，而函数 f(x)在(－∞，0)上是 增函数，因此由 f(x1)0.故选 B.] 2．C [判断①，一个函数的定义域关于坐标原点对称，是这个函数具有奇偶 性的前提条件，但并非充分条件，故①错误． 判断②正确，由函数是奇函数，知 f(－x)＝－f(x)，特别地当 x＝0 时，f(0)＝0， 所以 f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0. 判断③，如 f(x)＝x2，x∈[0,1]，定义域不关于坐标原点对称，即存在 1∈[0,1]， 而－1 [0,1]；又如 f(x)＝x2＋x，x∈[－1,1]，有 f(x)≠f(－x)．故③错误． 判断④，由于 f(x)＝0，x∈[－a，a]，根据确定一个函数的两要素知，a 取不同 的实数时，得到不同的函数．故④错误． 综上可知，选 C.] 3．A [f(x)＝ 2x x2＋2 ，f(－x)＝－f(x)，选 A.] 4．D [当 t>0 时 f(x)的图象如图所示(实线) 对称轴为 x＝－t 2 ，则t 2 ＝1 2 ，∴t＝1.] 5．D [当－5≤x≤－1 时 1≤－x≤5， ∴f(－x)≥3，即－f(x)≥3. 从而 f(x)≤－3， 又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同， 故 f(x)在[－5，－1]上是减函数．故选 D.] 6．D [依题意，因为 f(x)是偶函数，所以 f(x－1)<0 化为 f(|x－1|)<0，又 x∈[0， ＋∞)时，f(x)＝x－1，所以|x－1|－1<0， 即|x－1|<1，解得 0－3 解析 ∵f(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1， ∴[1，＋∞)为 f(x)的增区间， 要使 f(x)在[1，＋∞)上恒有 f(x)>0，则 f(1)>0， 即 3＋a>0，∴a>－3. 10．(1)证明 设 x1－x2>0. ∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数， ∴f(－x1)>f(－x2)． ∵f(x)是奇函数， ∴f(－x1)＝－f(x1)，f(－x2)＝－f(x2)， ∴－f(x1)>－f(x2)，即 f(x1)0，则 f(x)0，x1－x2<0. 又 b>1，且 00， ∴f(x1)>f(x2)， 所以函数 f(x)在(0,1)上是减函数． (2)解 设 0x2≥0，f(x1)－f(x2)＝(1－ 1 x1＋1)－(1－ 1 x2＋1)＝ x1－x2 x1＋1x2＋1. 由 x1>x2≥0⇒x1－x2>0，(x1＋1)(x2＋1)>0， 得 f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)． 所以 f(x)在定义域上是增函数． (2)解 g(x)＝f(x＋1)－f(x)＝ 1 x＋1x＋2 ， g(x)在[0，＋∞)上是减函数，自变量每增加 1，f(x)的增加值越来越小，所以 f(x) 的增长是越来越慢． 13．解 (1)作 OH，DN 分别垂直 DC，AB 交于 H，N， 连结 OD. 由圆的性质，H 是中点，设 OH＝h， h＝ OD2－DH2＝ 4－x2. 又在直角△AND 中，AD＝ AN2＋DN2 ＝ 2－x2＋4－x2＝ 8－4x＝2 2－x， 所以 y＝f(x)＝AB＋2AD＋DC＝4＋2x＋4 2－x，其定义域是(0,2)． (2)令 t＝ 2－x，则 t∈(0， 2)，且 x＝2－t2， 所以 y＝4＋2·(2－t2)＋4t＝－2(t－1)2＋10， 当 t＝1，即 x＝1 时，y 的最大值是 10.