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  • 2021-06-15 发布

高中数学人教a版选修4-1学业分层测评6圆周角定理word版含解析

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学业分层测评(六) (建议用时:45分钟) [学业达标] 一、选择题 1.如图 2112所示,若圆内接四边形的对角线相交于 E,则图中相似三角 形有( ) 图 2112 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 【解析】 由推论知:∠ADB=∠ACB,∠ABD=∠ACD,∠BAC=∠BDC, ∠CAD=∠CBD,∴△AEB∽△DEC,△AED∽△BEC. 【答案】 B 2.如图 2113所示,圆 O上一点 C在直径 AB上的射影为 D,CD=4,BD =8,则圆 O的半径等于( ) 图 2113 A.6 B.8 C.4 D.5 【解析】 ∵AB为直径,∴∠ACB=90°. 又∵CD⊥AB, 由射影定理可知,CD2=AD·BD, ∴42=8AD,∴AD=2, ∴AB=BD+AD=8+2=10, ∴圆 O的半径为 5. 【答案】 D 3.在 Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AC=2 3,则此三角形外接圆半 径为( ) 【导学号:07370031】 A. 3 B.2 C.2 3 D.4 【解析】 由推论 2知 AB为 Rt△ABC的外接圆的直径,又 AB= 2 3 cos 30° =4, 故外接圆半径 r=1 2 AB=2. 【答案】 B 4.如图 2114所示,等腰△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠A=40°,D是 的中点,E是 的中点,分别连接 BD,DE,BE,则△BDE的三内角的度数分 别是( ) 图 2114 A.50°,30°,100° B.55°,20°,105° C.60°,10°,110° D.40°,20°,120° 【解析】 如图所示,连接 AD. ∵AB=AC,D是 的中点, ∴AD过圆心 O. ∵∠A=40°, ∴∠BED=∠BAD=20°, ∠CBD=∠CAD=20°. ∵E是 的中点, ∴∠CBE=1 2 ∠CBA=35°, ∴∠EBD=∠CBE+∠CBD=55°, ∴∠BDE=180°-20°-55°=105°, 故选 B. 【答案】 B 5.如图 2115,点 A,B,C是圆 O上的点,且 AB=4,∠ACB=30°,则 圆 O的面积等于( ) 图 2115 A.4π B.8π C.12π D.16π 【解析】 连接 OA,OB. ∵∠ACB=30°, ∴∠AOB=60°. 又∵OA=OB, ∴△AOB为等边三角形. 又 AB=4,∴OA=OB=4, ∴S⊙O=π·42=16π. 【答案】 D 二、填空题 6.如图 2116,已知 Rt△ABC的两条直角边 AC,BC的长分别为 3 cm,4 cm, 以 AC为直径的圆与 AB交于点 D,则 BD AD =________. 图 2116 【解析】 连接 CD,∵AC是⊙O的直径, ∴∠CDA=90°.由射影定理得 BC2=BD·AB,AC2=AD·AB, ∴ BC2 AC2= BD AD ,即 BD AD = 16 9 . 【答案】 16 9 7.(2016·天津高考)如图 2117,AB是圆的直径,弦 CD与 AB相交于点 E, BE=2AE=2,BD=ED,则线段 CE的长为________. 图 2117 【解析】 如图,设圆心为 O,连接 OD,则 OB=OD. 因为 AB是圆的直径,BE=2AE=2,所以 AE=1,OB = 3 2 . 又 BD=ED,∠B为△BOD与△BDE的公共底角, 所以△BOD∽△BDE,所以 BO BD = BD BE , 所以 BD2=BO·BE=3,所以 BD=DE= 3. 因为 AE·BE=CE·DE,所以 CE=AE·BE DE = 2 3 3 . 【答案】 2 3 3 8.如图 2118,AB为⊙O的直径,弦 AC,BD交于点 P,若 AB=3,CD=1, 则 sin∠APD=__________. 图 2118 【解析】 由于 AB为⊙O的直径,则∠ADP=90°, 所以△APD是直角三角形, 则 sin∠APD=AD AP ,cos∠APD=PD AP , 由题意知,∠DCP=∠ABP,∠CDP=∠BAP, 所以△PCD∽△PBA. 所以 PD AP = CD AB ,又 AB=3,CD=1,则 PD AP = 1 3 . ∴cos∠APD=1 3 .又∵sin2∠APD+cos2∠APD=1, ∴sin∠APD=2 2 3 . 【答案】 2 2 3 三、解答题 9.如图 2119 所示,⊙O中 和 的中点分别为点 E和点 F,直线 EF 交 AC于点 P,交 AB于点 Q.求证:△APQ为等腰三角形. 图 2119 【证明】 连接 AF,AE. ∵E是 的中点,即 = , ∴∠AFP=∠EAQ, 同理∠FAP=∠AEQ. 又∵∠AQP=∠EAQ+∠AEQ,∠APQ=∠AFP+∠FAP, ∴∠AQP=∠APQ,即△APQ为等腰三角形. 10.如图 2120(1)所示,在圆内接△ABC中,AB=AC,D是 BC边上的一 点,E是直线 AD和△ABC外接圆的交点. 图 2120 (1)求证:AB2=AD·AE; (2)如图 2120(2)所示,当 D为 BC延长线上的一点时,第(1)题的结论成立 吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由. 【解】 (1)证明:如图(3), 连接 BE. ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB. ∵∠ACB=∠AEB, ∴∠ABC=∠AEB. 又∠BAD=∠EAB, ∴△ABD∽△AEB, ∴AB∶AE=AD∶AB, 即 AB2=AD·AE. (2)如图(4),连接 BE, 结论仍然成立,证法同(1). [能力提升] 1.如图 2121,已知 AB是半圆 O的直径,弦 AD,BC相交于点 P,那么 CD AB 等于( ) 【导学号:07370032】 图 2121 A.sin∠BPD B.cos∠BPD C.tan∠BPD D.以上答案都不对 【解析】 连接 BD,由 BA是直径, 知△ADB是直角三角形. 由∠DCB=∠DAB, ∠CDA=∠CBA,∠CPD=∠BPA,得△CPD∽△APB, PD PB = CD AB =cos ∠BPD. 【答案】 B 2.如图 2122所示,已知⊙O为△ABC的外接圆,AB=AC=6,弦 AE交 BC于 D,若 AD=4,则 AE=__________. 图 2122 【解析】 连接 CE,则∠AEC=∠ABC, 又△ABC中,AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB, ∴∠AEC=∠ACB, ∴△ADC∽△ACE, ∴ AD AC = AC AE , ∴AE=AC2 AD =9. 【答案】 9 3.如图 2123,在⊙O中,已知∠ACB=∠CDB=60°,AC=3,则△ABC 的周长是__________. 图 2123 【解析】 由圆周角定理, 得∠A=∠D=∠ACB=60°, ∴AB=BC, ∴△ABC为等边三角形. ∴周长等于 9. 【答案】 9 4.如图 2124,在△ABC中,AB=AC,以 AB为直径的⊙O交 AC于点 E, 交 BC于点 D,连接 BE,AD交于点 P.求证: 图 2124 (1)D是 BC的中点; (2)△BEC∽△ADC; (3)AB·CE=2DP·AD. 【证明】 (1)因为 AB是⊙O的直径, 所以∠ADB=90°,即 AD⊥BC, 因为 AB=AC,所以 D是 BC的中点. (2)因为 AB是⊙O的直径, 所以∠AEB=∠ADB=90°, 即∠CEB=∠CDA=90°, 因为∠C是公共角, 所以△BEC∽△ADC. (3)因为△BEC∽△ADC, 所以∠CBE=∠CAD. 因为 AB=AC,BD=CD, 所以∠BAD=∠CAD, 所以∠BAD=∠CBE, 因为∠ADB=∠BEC=90°, 所以△ABD∽△BCE, 所以 AB BC = AD BE ,所以 AB AD = BC BE , 因为∠BDP=∠BEC=90°,∠PBD=∠CBE, 所以△BPD∽△BCE, 所以 DP CE = BD BE . 因为 BC=2BD,所以 AB AD = 2DP CE , 所以 AB·CE=2DP·AD.