高中数学人教a版选修4-1学业分层测评6圆周角定理word版含解析 9页

学业分层测评(六) (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．如图 2112所示，若圆内接四边形的对角线相交于 E，则图中相似三角 形有( ) 图 2112 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【解析】 由推论知：∠ADB＝∠ACB，∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠BDC， ∠CAD＝∠CBD，∴△AEB∽△DEC，△AED∽△BEC. 【答案】 B 2．如图 2113所示，圆 O上一点 C在直径 AB上的射影为 D，CD＝4，BD ＝8，则圆 O的半径等于( ) 图 2113 A．6 B．8 C．4 D．5 【解析】 ∵AB为直径，∴∠ACB＝90°. 又∵CD⊥AB， 由射影定理可知，CD2＝AD·BD， ∴42＝8AD，∴AD＝2， ∴AB＝BD＋AD＝8＋2＝10， ∴圆 O的半径为 5. 【答案】 D 3．在 Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2 3，则此三角形外接圆半 径为( ) 【导学号：07370031】 A. 3 B．2 C．2 3 D．4 【解析】 由推论 2知 AB为 Rt△ABC的外接圆的直径，又 AB＝ 2 3 cos 30° ＝4， 故外接圆半径 r＝1 2 AB＝2. 【答案】 B 4．如图 2114所示，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠A＝40°，D是 的中点，E是 的中点，分别连接 BD，DE，BE，则△BDE的三内角的度数分 别是( ) 图 2114 A．50°，30°，100° B．55°，20°，105° C．60°，10°，110° D．40°，20°，120° 【解析】 如图所示，连接 AD. ∵AB＝AC，D是 的中点， ∴AD过圆心 O. ∵∠A＝40°， ∴∠BED＝∠BAD＝20°， ∠CBD＝∠CAD＝20°. ∵E是 的中点， ∴∠CBE＝1 2 ∠CBA＝35°， ∴∠EBD＝∠CBE＋∠CBD＝55°， ∴∠BDE＝180°－20°－55°＝105°， 故选 B. 【答案】 B 5．如图 2115，点 A，B，C是圆 O上的点，且 AB＝4，∠ACB＝30°，则 圆 O的面积等于( ) 图 2115 A．4π B．8π C．12π D．16π 【解析】 连接 OA，OB. ∵∠ACB＝30°， ∴∠AOB＝60°. 又∵OA＝OB， ∴△AOB为等边三角形． 又 AB＝4，∴OA＝OB＝4， ∴S⊙O＝π·42＝16π. 【答案】 D 二、填空题 6．如图 2116，已知 Rt△ABC的两条直角边 AC，BC的长分别为 3 cm，4 cm， 以 AC为直径的圆与 AB交于点 D，则 BD AD ＝________. 图 2116 【解析】 连接 CD，∵AC是⊙O的直径， ∴∠CDA＝90°.由射影定理得 BC2＝BD·AB，AC2＝AD·AB， ∴ BC2 AC2＝ BD AD ，即 BD AD ＝ 16 9 . 【答案】 16 9 7．(2016·天津高考)如图 2117，AB是圆的直径，弦 CD与 AB相交于点 E， BE＝2AE＝2，BD＝ED，则线段 CE的长为________． 图 2117 【解析】 如图，设圆心为 O，连接 OD，则 OB＝OD. 因为 AB是圆的直径，BE＝2AE＝2，所以 AE＝1，OB ＝ 3 2 . 又 BD＝ED，∠B为△BOD与△BDE的公共底角， 所以△BOD∽△BDE，所以 BO BD ＝ BD BE ， 所以 BD2＝BO·BE＝3，所以 BD＝DE＝ 3. 因为 AE·BE＝CE·DE，所以 CE＝AE·BE DE ＝ 2 3 3 . 【答案】 2 3 3 8.如图 2118，AB为⊙O的直径，弦 AC，BD交于点 P，若 AB＝3，CD＝1， 则 sin∠APD＝__________. 图 2118 【解析】 由于 AB为⊙O的直径，则∠ADP＝90°， 所以△APD是直角三角形， 则 sin∠APD＝AD AP ，cos∠APD＝PD AP ， 由题意知，∠DCP＝∠ABP，∠CDP＝∠BAP， 所以△PCD∽△PBA. 所以 PD AP ＝ CD AB ，又 AB＝3，CD＝1，则 PD AP ＝ 1 3 . ∴cos∠APD＝1 3 .又∵sin2∠APD＋cos2∠APD＝1， ∴sin∠APD＝2 2 3 . 【答案】 2 2 3 三、解答题 9．如图 2119 所示，⊙O中 和 的中点分别为点 E和点 F，直线 EF 交 AC于点 P，交 AB于点 Q.求证：△APQ为等腰三角形． 图 2119 【证明】 连接 AF，AE. ∵E是 的中点，即 ＝ ， ∴∠AFP＝∠EAQ， 同理∠FAP＝∠AEQ. 又∵∠AQP＝∠EAQ＋∠AEQ，∠APQ＝∠AFP＋∠FAP， ∴∠AQP＝∠APQ，即△APQ为等腰三角形． 10．如图 2120(1)所示，在圆内接△ABC中，AB＝AC，D是 BC边上的一 点，E是直线 AD和△ABC外接圆的交点． 图 2120 (1)求证：AB2＝AD·AE； (2)如图 2120(2)所示，当 D为 BC延长线上的一点时，第(1)题的结论成立 吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【解】 (1)证明：如图(3)， 连接 BE. ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. ∵∠ACB＝∠AEB， ∴∠ABC＝∠AEB. 又∠BAD＝∠EAB， ∴△ABD∽△AEB， ∴AB∶AE＝AD∶AB， 即 AB2＝AD·AE. (2)如图(4)，连接 BE， 结论仍然成立，证法同(1)． [能力提升] 1．如图 2121，已知 AB是半圆 O的直径，弦 AD，BC相交于点 P，那么 CD AB 等于( ) 【导学号：07370032】 图 2121 A．sin∠BPD B．cos∠BPD C．tan∠BPD D．以上答案都不对 【解析】 连接 BD，由 BA是直径， 知△ADB是直角三角形． 由∠DCB＝∠DAB， ∠CDA＝∠CBA，∠CPD＝∠BPA，得△CPD∽△APB， PD PB ＝ CD AB ＝cos ∠BPD. 【答案】 B 2．如图 2122所示，已知⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC＝6，弦 AE交 BC于 D，若 AD＝4，则 AE＝__________. 图 2122 【解析】 连接 CE，则∠AEC＝∠ABC， 又△ABC中，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠AEC＝∠ACB， ∴△ADC∽△ACE， ∴ AD AC ＝ AC AE ， ∴AE＝AC2 AD ＝9. 【答案】 9 3．如图 2123，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝3，则△ABC 的周长是__________． 图 2123 【解析】 由圆周角定理， 得∠A＝∠D＝∠ACB＝60°， ∴AB＝BC， ∴△ABC为等边三角形． ∴周长等于 9. 【答案】 9 4.如图 2124，在△ABC中，AB＝AC，以 AB为直径的⊙O交 AC于点 E， 交 BC于点 D，连接 BE，AD交于点 P.求证： 图 2124 (1)D是 BC的中点； (2)△BEC∽△ADC； (3)AB·CE＝2DP·AD. 【证明】 (1)因为 AB是⊙O的直径， 所以∠ADB＝90°，即 AD⊥BC， 因为 AB＝AC，所以 D是 BC的中点． (2)因为 AB是⊙O的直径， 所以∠AEB＝∠ADB＝90°， 即∠CEB＝∠CDA＝90°， 因为∠C是公共角， 所以△BEC∽△ADC. (3)因为△BEC∽△ADC， 所以∠CBE＝∠CAD. 因为 AB＝AC，BD＝CD， 所以∠BAD＝∠CAD， 所以∠BAD＝∠CBE， 因为∠ADB＝∠BEC＝90°， 所以△ABD∽△BCE， 所以 AB BC ＝ AD BE ，所以 AB AD ＝ BC BE ， 因为∠BDP＝∠BEC＝90°，∠PBD＝∠CBE， 所以△BPD∽△BCE， 所以 DP CE ＝ BD BE . 因为 BC＝2BD，所以 AB AD ＝ 2DP CE ， 所以 AB·CE＝2DP·AD.