安徽省十校联盟2020届高三下学期3月线上自主联合检测数学（文）试题 Word版含解析 22页

www.ks5u.com 安徽省十校联盟2020届高三线上自主联合检测 文科数学试题 注意事项：‎ ‎1.答题前，务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2.答题时使用0.5毫米黑色签字笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.‎ ‎3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.‎ ‎4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.‎ 建议打印用纸：试卷、答案：A4纸或A3纸二合一打印答题卡：A3纸（建议彩印）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 依题意，∴，故选C.‎ ‎2.复数，是虚数单位，则下列结论正确的是 A. B. 的共轭复数为 C. 的实部与虚部之和为1 D. 在复平面内的对应点位于第一象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的四则运算，求得，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．‎ ‎【详解】由题意，‎ 则，的共轭复数为，‎ - 22 -‎ 复数的实部与虚部之和为，在复平面内对应点位于第一象限，故选D．‎ ‎【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为．‎ ‎3.雷达图(Radar Chart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(Spider Chart)，原先是财务分析报表的一种，现可用于对研究对象的多维分析．图为甲、乙两人在五个方面的评价值的雷达图，则下列说法不正确的是（ ）‎ A. 甲、乙两人在次要能力方面的表现基本相同 B. 甲在沟通、服务、销售三个方面的表现优于乙 C. 在培训与销售两个方面上，甲综合表现优于乙 D. 甲在这五个方面的综合表现优于乙 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对比两人在雷达图中的相应数据，即可得到结论．‎ ‎【详解】解：由雷达图可知，A，B，D三项正确．‎ 乙在培训方面的评价值为40，甲在培训方面的评价值为20；‎ 而乙在销售方面的评价值约为50，甲在销售方面的评价值约为60，‎ 比较甲、乙的两个评价值的平均数，可知乙的较高，所以C项不正确．‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查考生对统计图表的应用，考查数据处理能力，属于中档题．‎ - 22 -‎ ‎4.若，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 易知，，，∴，故选B.‎ ‎5.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的结果为86，则正整数k的最小值为（ ）‎ A. 1 806 B. 43 C. 48 D. 42‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据已知中的程序框图，模拟程序的执行过程，可得答案．‎ ‎【详解】解：开始，n＝1，S＝1，故S＝2×1＋1＝3，n＝1×(1＋1)＝2，‎ S与输出的结果不符，故2≥k不成立．‎ S＝2×3＋2＝8，n＝2×(2＋1)＝6，‎ S与输出的结果不符，故6≥k不成立．‎ S＝2×8＋6＝22，n＝6×(6＋1)＝42，‎ S与输出的结果不相符，故42≥k不成立．‎ S＝2×22＋42＝86，n＝42×(42＋1)＝1 806.‎ - 22 -‎ S与输出的结果相符，故1 806≥k成立．‎ 所以k的最小值为43.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是程序框图，难度不大，属于基础题．‎ ‎6.已知等差数列的前项和为，若，，则的公差为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵，∴，则，∴，故选B.‎ ‎7.已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（ ）‎ A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：由题意考查充分性和必要性即可求得最终结果.‎ 详解：若，则，又，所以；‎ 若，当时，直线与平面的位置关系不确定，无法得到.‎ 综上，“”是“”的充分不必要条件.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：本题主要考查线面平行的判断定理，面面平行的判断定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎8.已知实数，满足，若的最大值为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 作出可行域，如图内部（含边界），其中，若A是最优解，则 - 22 -‎ ‎，，检验符合题意；若B是最优解，则，，检验不符合题意，若，则最大值为34；若C是最优解，则，，检验不符合题意；所以，故选B.‎ ‎9.某几何体由三个圆柱和大小相同的两个半球组成，它的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积是（ ）‎ ‎ ‎ ‎（侧视图中间有小圆）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图即可知半球的直径为2，左右两个圆柱的高为1，底面直径为2，中间圆柱的高为3，底面直径为1，再根据球的表面积公式，圆柱的侧面积公式等即可求出．‎ ‎【详解】由三视图可知，该几何体左、右各是半球，半球的直径为2，左右两个圆柱的高为1，底面直径为2，中间圆柱的高为3，底面直径为1．‎ - 22 -‎ 所以该几何体的表面积．‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用三视图求几何体的表面积，涉及球的表面积公式，圆柱的侧面积公式等的应用，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题．‎ ‎10.已知点和，直线：，若直线与线段有公共点，则的最小值为（ ）‎ A. 24 B. C. 25 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意可知，，即可画出点所在的区域，根据线性规划的知识和表示的几何意义，即可求出．‎ ‎【详解】依题可得，，点所在的区域，如图所示：‎ 直线过点时，得，直线过点时，得.‎ 表示点到原点的距离的平方.‎ 到直线的距离，‎ 到直线的距离，‎ - 22 -‎ 又，∴的最小值为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查一元二次不等式组表示的平面区域，以及非线性目标函数最值的求法应用，属于基础题．‎ ‎11.设，函数的图象经过点，将该函数的图象向右平移个单位后所得函数图象关于轴对称，则的最小值是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两角和的正弦公式以及题意可求出，再根据平移法则可求出函数的图象向右平移个单位后所得函数图象对应的函数，然后根据函数为偶函数可解出，即可求出的最小值．‎ ‎【详解】由已知得.由得，‎ 因为，所以.所以.‎ 将函数的图象向右平移个单位后所得函数图象对应的函数为.‎ 由已知可得，所得函数为偶函数，所以，解得.‎ 因为，所以的最小值是2.‎ 故选：B.‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式的应用，利用函数性质求的解析式，平移法则和函数性质的应用，属于基础题．‎ ‎12.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两个不同的点，为坐标原点，，两点在直线上的射影分别为，，若，，则（ ）‎ A. 1 B. C. 4 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，可求出，，再根据，，列出方程，然后根据过焦点弦的性质可得，代入计算，即可求出．‎ ‎【详解】作出图象，如图所示： ‎ 设，，由题意可得，.‎ 故，‎ 所以，即.‎ ‎，‎ 所以，即.‎ 又直线过焦点，所以，‎ 所以，‎ 即，‎ - 22 -‎ 解得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查过抛物线的焦点弦的性质应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知向量，，若，则实数__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，则题意，解得.‎ ‎14.在中，，，，则的值为______ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可求出,再根据余弦定理求出,即可由正弦定理求出.‎ ‎【详解】由可得，，解得．‎ ‎∴，即．‎ 由正弦定理可得，．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查三角形面积公式的应用，以及正余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．‎ ‎15.某公司为确定明年投入某产品的广告支出,对近5年的年广告支出(单位:万元)与年销售额(单位:万元)进行了初步统计,如下表所示.‎ 年广告支出/万元 ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎8‎ - 22 -‎ 年销售额/万元 ‎28‎ ‎37‎ ‎60‎ ‎70‎ 经测算,年广告支出与年销售额满足线性回归方程,则的值为_____.‎ ‎【答案】55‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据在线性回归方程上,即可求得的值.‎ ‎【详解】根据所给数据求出:‎ ‎ 根据在线性回归方程上 ‎ ,解得: ‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】掌握在线性回归方程是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎16.已知抛物线：（）的焦点为，准线：，点在抛物线上，点在准线上，若，直线的倾斜角为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 22 -‎ 如图，设准线与x轴交点为B，由于AF的倾斜角为，∴，双，∴，又由已知，即，∴.‎ 点睛：破解抛物线上的动点与焦点、定点的距离和最值问题的关键：一是“化折为直”的思想，即借助抛物线的定义化折为直；二是“数形结合”思想，即画出满足题设条件的草图，通过图形的辅助找到破题的入口．本题就是得出＝，然后再由已知得等边三角形，从而有．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知数列为等差数列，数列满足，若，，成等比数列，且.‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1），,；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意分别求出，，，即可得到，由可求出数列的公差，即可解出，从而求出，；‎ ‎（2）由（1）可知，，即可利用裂项相消法求出数列的前项和．‎ ‎【详解】（1）设数列是公差为的等差数列，‎ 由，若，，成等比数列，‎ 可得，‎ 即为，‎ - 22 -‎ 由，即，‎ 可得，‎ 则，‎ 解得， ‎ 则，;‎ ‎，.‎ ‎（2），‎ 则前项和.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，通项公式的求法，裂项相消法的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．‎ ‎18.2019年国际篮联篮球世界杯，将于2019年在的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.为了宣传世界杯，某大学从全校学生中随机抽取了名学生，对是否收看篮球世界杯赛事的情况进行了问卷调查，统计数据如下：‎ 会收看 不会收看 男生 ‎60‎ ‎20‎ 女生 ‎20‎ ‎20‎ ‎（1）根据上表说明，能否有的把握认为收看篮球世界杯赛事与性别有关？‎ ‎（2）现从参与问卷调查且收看篮球世界杯赛事的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取人参加2019年国际篮联篮球世界杯赛志愿者宣传活动.‎ ‎（i）求男、女学生各选取多少人；‎ ‎（ii）若从这人中随机选取人到校广播站开展2019年国际篮联篮球世界杯赛宣传介绍，求恰好选到名男生的概率.‎ - 22 -‎ 附：，其中.‎ ‎【答案】（1）有（2）（i）男生人，女生人（ii） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用，计算结果，通过比较即可判断能否有99%的把握认为收看开幕式与性别有关． （2）（ⅰ）根据分层抽样方法，求得解选取的人中，男生有人，女生有人． （ⅱ）设抽取的名男生分别为，，，名女生为甲；列出从中抽取两人的所以情况以及抽到男的情况，然后求解概率．‎ ‎【详解】解：（1）因为 ，‎ 所以有的把握认为收看篮球世界杯赛与性别有关.‎ ‎（2）（i）根据分层抽样方法得，男生人，女生人，‎ 所以选取的人中，男生有人，女生有人.‎ ‎（ii）设抽取的名男生分别为，，，名女生为甲；‎ 从中抽取两人，分别记为，，，），，，共种情形，‎ 其中男的有，，，共种情形 所以，所求概率.‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查独立检验思想的应用，古典概型的概率的求法，分层抽样的应用，考查计算能力．‎ ‎19.如图,四棱锥中,底面是菱形,平面,,是上一动点.‎ ‎（1）求证:平面平面;‎ ‎（2）若,三棱锥的体积为,求四棱锥的侧面积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将求证平面平面,转化为平面,结合线面垂直判断定理,即可求得答案;‎ ‎(2)根据已知条件,三棱锥的体积为,求得每个面面积,即可求得四棱锥的侧面积.‎ ‎【详解】(1)平面,平面,‎ ‎.‎ 底面是菱形 ‎.‎ 又,平面,平面,‎ 平面.‎ 又平面,‎ 平面平面.‎ - 22 -‎ ‎(2)设菱形的边长为,‎ ‎, ‎ ‎.‎ 在中, ‎ ‎ .‎ 又 平面,,,‎ ‎,故.‎ 又,‎ ‎,‎ 解得:,‎ ‎,‎ 又平面, ‎ ‎ 四棱锥的侧面积为:‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了判定空间面面垂直和求四棱锥的侧面积问题.本题的解题关键是将判定空间面面垂直转化为求证空间线面垂直,考查了学生空间想象能力和计算能力.属于中等题.‎ ‎20.已知椭圆的左顶点为，焦距为2．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点的直线与椭圆的另一个交点为点，与圆的另一个交点为点，是否存在直线使得？若存在，求出直线 - 22 -‎ 的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）．（2）直线不存在．见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）据题意有，，则通过计算可得椭圆的标准方程；‎ ‎（2）可先假设直线存在，可设直线的斜率为，则直线．根据及圆的性质可知垂直平分．再根据点到直线的距离公式可得的关于的表达式，再解可得的关于的表达式．然后联立直线与椭圆方程，消去整理可得一元二次方程，根据韦达定理有，．根据弦长公式可得的关于的另一个表达式．根据存在性则两个表达式相等，如果值存在则直线存在；如果没有值则直线不存在．‎ ‎【详解】（1）由题意，可知，．则，．‎ 椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）由题意，假设存在直线使得，可设直线的斜率为．‎ 则直线．‎ ‎，即点为线段中点，‎ 根据圆的性质，可知，且平分．‎ 根据题意画图如下：‎ - 22 -‎ 则．‎ 在中，．‎ 联立直线与椭圆方程，可得：‎ ‎，‎ 消去，整理得．‎ 则△．‎ ‎，．‎ ‎．‎ ‎，整理，得．很明显矛盾，‎ 故直线不存在．‎ ‎【点睛】本题考查直线、圆和椭圆三者综合的问题、弦长公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．‎ ‎21.已知函数．‎ ‎(1)求函数的极值；‎ ‎(2)若是方程的两个不同的实数根,求证:．‎ ‎【答案】（1）有极小值，无极大值.（2）见解析 ‎【解析】‎ - 22 -‎ 试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数在定义区间上零点，列表分析导函数符号变化规律，确定函数极值，（2）先根据零点得，再代入化简不等式为，构造函数，其中.最后根据导数确定函数单调性，根据单调性证不等式.‎ 试题解析：（1）依题意， ‎ 故当时， ，当时， ‎ 故当时，函数有极小值，无极大值.‎ ‎（2）因为， 是方程的两个不同的实数根.‎ ‎∴两式相减得，解得 要证： ，即证： ，即证： ，‎ 即证，‎ 不妨设，令.只需证.‎ 设，∴；‎ 令，∴，∴在上单调递减，‎ ‎∴ ，∴，∴在为减函数，∴.‎ 即在恒成立，∴原不等式成立，即.‎ - 22 -‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角）.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两个坐标系下取相同的长度单位.‎ ‎（1）当时，求直线的极坐标方程；‎ ‎（2）若曲线和直线交于，两点，且，求直线倾斜角.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入直线的参数方程后，消去参数，可得直线的一般方程，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求出其极坐标方程；‎ ‎（2）先将曲线的参数方程化为普通方程，再将直线的参数方程代入，利用参数的几何意义以及弦长公式即可表示出，即可解出直线的倾斜角．‎ ‎【详解】（1）由得，则其极坐标方程，‎ 即.‎ ‎（2）由得.‎ 将代入圆方程中，‎ 得，‎ 化简得，.‎ - 22 -‎ 设，两点对应的参数分别为、，则，，‎ ‎∴.‎ ‎∴，故，解得或.‎ 则直线的倾斜角为或.‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程之间的互化，参数方程与极坐标方程之间的互化，直线参数方程中的几何意义以及弦长公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．‎ ‎23.已知f(x)＝|2x＋4|＋|x－3|.‎ ‎(1)解关于x的不等式f(x)<8；‎ ‎(2)对于正实数a，b，函数g(x)＝f(x)－3a－4b只有一个零点，求的最小值. ‎ ‎【答案】（1）(－3，1)；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将函数解析式化成分段函数，用分类讨论的方法解不等式.‎ ‎（2）作出函数的大致图象，的零点，转化为函数与的交点，由图可知，然后利用基本不等式求的最小值.‎ ‎【详解】解：（1）由题意可得,‎ 故当时，不等式可化为，解得，故此时不等式的解集为；‎ 当时，不等式可化为，解得，故此时不等式的解集为；‎ 当时，不等式可化为，解得，此时不等式无解,‎ 综上，不等式的解集为.‎ ‎(2)作出函数的大致图象及直线，如图.‎ - 22 -‎ 由图可知，当只有一个零点时，，‎ 即，‎ 故 ‎,‎ 当且仅当时等号成立．‎ 的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法与基本不等式的应用，属于基础题.‎ - 22 -‎ - 22 -‎