高中人教a版数学必修4：习题课（一） word版含解析 4页

习题课(一) 一、选择题 1．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在( ) A．x 轴的正半轴上 B．y 轴的正半轴上 C．x 轴的负半轴上 D．y 轴的负半轴上 答案：A 解析：∵角α、β终边相同，∴α＝k·360°＋β，k∈Z. 作差α－β＝k·360°＋β－β＝k·360°，k∈Z， ∴α－β的终边在 x 轴的正半轴上． 2．在半径为 10 的圆中，4π 3 的圆心角所对弧长是( ) A.40 3 π B.20 3 π C.200 3 π D.400 3 π 答案：A 解析：所求的弧长 l＝4 3π×10＝40 3 π. 3．已知 tan130°＝k，则 sin50°的值为( ) A．－ k 1＋k2 B. k 1＋k2 C. 1＋k2 k D．－ 1＋k2 k 答案：A 解析：k＝tan130°＝－tan50°，∴tan50°＝－k>0，∴cos50°＝－1 ksin50°.又 sin250°＋cos250° ＝1，∴sin250°＝ k2 k2＋1 .∵k<0，sin50°>0，∴sin50°＝－ k 1＋k2. 4．已知 cos 3π 2 ＋σ ＝－3 5 ，且σ是第四象限角，则 cos(－3π＋σ)＝( ) A.4 5 B．－4 5 C．±4 5 D.3 5 答案：B 解析：∵cos 3π 2 ＋σ ＝sinσ＝－3 5 ，且σ是第四象限角， ∴cosσ＝4 5 ，∴cos(－3π＋σ)＝－cosσ＝－4 5. 5．如果角θ满足 sinθ＋cosθ＝ 2，那么 tanθ＋ 1 tanθ 的值是( ) A．－1 B．－2 C．1 D．2 答案：D 解析：由 sinθ＋cosθ＝ 2，得 sinθcosθ＝1 2. 故 tanθ＋ 1 tanθ ＝sinθ cosθ ＋cosθ sinθ ＝sin2θ＋cos2θ sinθcosθ ＝ 1 sinθcosθ ＝2. 6．已知 n 为整数，化简sinnπ＋α cosnπ＋α 所得结果是( ) A．tan(nα) B．－tan(nα) C．tanα D．－tanα 答案：C 解析：若 n＝2k(k∈Z)，则sinnπ＋α cosnπ＋α ＝sin2kπ＋α cos2kπ＋α ＝sinα cosα ＝tanα；若 n＝2k＋1(k∈Z)， 则sinnπ＋α cosnπ＋α ＝sin2kπ＋π＋α cos2kπ＋π＋α ＝sinπ＋α cosπ＋α ＝－sinα －cosα ＝tanα. 二、填空题 7．如果 cosα＝1 5 ，且α是第四象限角，那么 cos α＋π 2 ＝________. 答案：2 6 5 解析：∵α是第四象限角，且 cosα＝1 5 ，∴sinα＝－ 1－cos2α＝－2 6 5 ，∴cos α＋π 2 ＝－ sinα＝2 6 5 . 8．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＋sin290°的值为________． 答案：91 2 解析：∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1， sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1， sin2x°＋sin2(90°－x°)＝sin2x°＋cos2x°＝1(1≤x≤44，x∈N)， ∴原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin290°＋sin245° ＝45＋ 2 2 2＝91 2 . 9．设α是第二象限角，且 cosα 2 ＝－ 1－cos2 π－α 2 ，则α 2 是第________象限角． 答案：三 解析：∵cosα 2 ＝－ 1－cos2 π－α 2 ＝－ 1－sin2α 2 ＝－|cosα 2|.∴cosα 2 ≤0.又∵α是第二象限角，∴α 2 是第一或第三象限角．故 α 2 是第三象限角． 三、解答题 10．已知 sin －π 2 －α ·cos －5π 2 －α ＝ 60 169 ，且π 4<α<π 2 ，求 sinα与 cosα的值． 解析：∵sin －π 2 －α ＝－cosα， cos －5π 2 －α ＝cos 2π＋π 2 ＋α ＝－sinα， ∴sinα·cosα＝ 60 169 ，即 2sinα·cosα＝120 169.① 又 sin2α＋cos2α＝1，② ∴由①＋②，得(sinα＋cosα)2＝289 169 ， 由②－①，得(sinα－cosα)2＝ 49 169 ， 又α∈ π 4 ，π 2 ，∴sinα>cosα>0， 即 sinα＋cosα>0，sinα－cosα>0， ∴sinα＋cosα＝17 13 ，③ sinα－cosα＝ 7 13 ，④ 由③＋④，得 sinα＝12 13 ，由③－④，得 cosα＝ 5 13. 11．化简：(1)cos36°－ 1－cos236° 1－2sin36°cos36° ； (2) tan3π－α sinπ－αsin 3 2π－α ＋ sin2π－αcos α－7 2π sin 3 2π＋α cos2π＋α . 解： (1)原式＝ cos36°－ sin236° sin236°＋cos236°－2sin36°cos36° ＝ cos36°－sin36° cos36°－sin36°2 ＝ cos36°－sin36° |cos36°－sin36°| ＝cos36°－sin36° cos36°－sin36° ＝1； (2)∵tan(3π－α)＝－tanα，sin(π－α)＝sinα， sin(2π－α)＝－sinα，cos(2π＋α)＝cosα， sin 3 2π－α ＝－cosα，cos α－7 2π ＝cos 7 2π－α ＝cos 4π－π 2 －α ＝cos π 2 ＋α ＝－sinα， sin 3 2π＋α ＝－cosα， ∴原式＝ －tanα sinα－cosα ＋－sinα－sinα －cosα·cosα ＝ 1 cos2α －sin2α cos2α ＝1－sin2α cos2α ＝cos2α cos2α ＝1. 能力提升 12．若 tan(5π＋α)＝m，则sinα－3π＋cosπ－α sin－α－cosπ＋α 的值为( ) A.m＋1 m－1 B.m－1 m＋1 C．－1 D．1 答案：A 解析：∵sinα－3π＋cosπ－α sin－α－cosπ＋α ＝sin－4π＋π＋α－cosα －sinα＋cosα ＝sinπ＋α－cosα －sinα＋cosα ＝－sinα－cosα －sinα＋cosα ＝sinα＋cosα sinα－cosα ＝tanα＋1 tanα－1 . 又 tan(5π＋α)＝m，∴tan(π＋α)＝m，tanα＝m. ∴原式＝m＋1 m－1 . 13．已知 sin(3π－α)＝ 2cos 3π 2 ＋β ，cos(π－α)＝ 6 3 cos(π＋β)，且 0<α<π，0<β<π，求 sinα和 cosβ的值． 解：原式可化为 sinα＝ 2sinβ① cosα＝ 6 3 cosβ② 由①2＋②2 可得 1＝2 3 ＋4 3sin2β ∴sin2β＝1 4 ，cos2β＝3 4 又∵sinα＝ 2sinβ＞0 ∴sinβ＝1 2 ，cosβ＝± 3 2 sinα＝ 2 2 .