高考数学专题复习练习：6_3　等比数列及其前n项和 12页

‎1．等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．‎ ‎2．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.‎ ‎3．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．‎ ‎4．等比数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．‎ ‎(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.‎ ‎(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．‎ ‎5．等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，‎ 当q＝1时，Sn＝na1；‎ 当q≠1时，Sn＝＝.‎ ‎6．等比数列前n项和的性质 公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.‎ ‎【知识拓展】‎ 等比数列{an}的单调性 ‎(1)满足或时，{an}是递增数列．‎ ‎(2)满足或时，{an}是递减数列．‎ ‎(3)当时，{an}为常数列．‎ ‎(4)当q<0时，{an}为摆动数列．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　×　)‎ ‎(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(　×　)‎ ‎(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　×　)‎ ‎(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　×　)‎ ‎1．(教材改编)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于(　　)‎ A．－ B．－2‎ C．2 D. 答案　D 解析　由题意知q3＝＝，∴q＝.‎ ‎2．(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7等于(　　)‎ A．21 B．42 C．63 D．84‎ 答案　B 解析　设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.‎ ‎3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6等于(　　)‎ A．31 B．32 C．63 D．64‎ 答案　C 解析　根据题意知，等比数列{an}的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.故选C.‎ ‎4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．‎ 答案　27,81‎ 解析　设该数列的公比为q，由题意知，‎ ‎243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.‎ ‎∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.‎ ‎5．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝________.‎ 答案　－11‎ 解析　设等比数列{an}的公比为q，‎ ‎∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0.‎ ‎∴q3＋8＝0，∴q＝－2，‎ ‎∴＝· ‎＝＝＝－11.‎ 题型一　等比数列基本量的运算 例1　(1)(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于(　　)‎ A．2 B．1 C. D. ‎(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝________.‎ 答案　(1)C　(2)2n－1‎ 解析　(1)由{an}为等比数列，得a3a5＝a，‎ 又a3a5＝4(a4－1)，所以a＝4(a4－1)，‎ 解得a4＝2.设等比数列{an}的公比为q，‎ 则由a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2，‎ 所以a2＝a1q＝.故选C.‎ ‎(2)∵∴ 由①除以②可得＝2，‎ 解得q＝，代入①得a1＝2，‎ ‎∴an＝2×()n－1＝，‎ ‎∴Sn＝＝4(1－)，‎ ‎∴＝＝2n－1.‎ 思维升华　等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．‎ ‎　(1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)(2015·湖南)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.‎ 答案　(1)B　(2)3n－1‎ 解析　(1)显然公比q≠1，由题意得 解得或(舍去)，‎ ‎∴S5＝＝＝.‎ ‎(2)由3S1,2S2，S3成等差数列知，4S2＝3S1＋S3，‎ 可得a3＝3a2，所以公比q＝3，‎ 故等比数列通项an＝a1qn－1＝3n－1.‎ 题型二　等比数列的判定与证明 例2　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.‎ ‎(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎(1)证明　由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，‎ 得a1＋a2＝S2＝4a1＋2.‎ ‎∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.‎ 又 由①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，‎ ‎∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)．‎ ‎∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，‎ 故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．‎ ‎(2)解　由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，‎ ‎∴－＝，‎ 故{}是首项为，公差为的等差数列．‎ ‎∴＝＋(n－1)·＝，‎ 故an＝(3n－1)·2n－2.‎ 引申探究 若将本例中“Sn＋1＝4an＋2”改为“Sn＋1＝2Sn＋(n＋1)”，其他不变，求数列{an}的通项公式．‎ 解　由已知得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n.‎ ‎∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＋1，‎ ‎∴an＋1＝2an＋1，‎ ‎∴an＋1＋1＝2(an＋1)，n≥2，(*)‎ 又a1＝1，S2＝a1＋a2＝2a1＋2，即a2＋1＝2(a1＋1)，‎ ‎∴当n＝1时(*)式也成立，‎ 故{an＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，‎ ‎∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.‎ 思维升华　(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．‎ ‎　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.‎ ‎(1)证明：{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明：＋＋…＋<.‎ 证明　(1)由an＋1＝3an＋1，得an＋1＋＝3(an＋)．‎ 又a1＋＝，‎ 所以{an＋}是首项为，公比为3的等比数列．‎ 所以an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝.‎ ‎(2)由(1)知＝.‎ 因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以≤.‎ 于是＋＋…＋≤1＋＋…＋ ‎＝(1－)<，‎ 所以＋＋…＋<.‎ 题型三　等比数列性质的应用 例3　(1)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________.‎ ‎(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝________.‎ 答案　(1)50　(2) 解析　(1)因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，‎ 所以a10a11＝e5.‎ 所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20‎ ‎＝ln(a1a2…a20)‎ ‎＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]‎ ‎＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)‎ ‎＝10ln e5＝50ln e＝50.‎ ‎(2)方法一　∵S6∶S3＝1∶2，∴{an}的公比q≠1.‎ 由÷＝，得q3＝－，‎ ‎∴＝＝.‎ 方法二　∵{an}是等比数列，且＝，∴公比q≠－1，‎ ‎∴S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，‎ 将S6＝S3代入得＝.‎ 思维升华　等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．‎ ‎　(1)已知在等比数列{an}中，a1a4＝10，则数列{lg an}的前4项和等于(　　)‎ A．4 B．3‎ C．2 D．1‎ ‎(2)设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于(　　)‎ A. B．－ C. D. 答案　(1)C　(2)A 解析　(1)前4项和S4＝lg a1＋lg a2＋lg a3＋lg a4＝lg(a1a2a3a4)，又∵等比数列{an}中，a2a3＝a1a4＝10，‎ ‎∴S4＝lg 100＝2.‎ ‎(2)因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且公比不等于－1，在等比数列中，S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以有8(S9－S6)＝(－1)2，S9－S6＝，即a7＋a8＋a9＝.‎ ‎13．分类讨论思想在等比数列中的应用 典例　(12分)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明：Sn＋≤(n∈N*)．‎ 思想方法指导　(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；‎ ‎(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明．‎ 规范解答 ‎(1)解　设等比数列{an}的公比为q，‎ 因为－2S2，S3,4S4成等差数列，‎ 所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，‎ 可得2a4＝－a3，于是q＝＝－.[2分]‎ 又a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为 an＝×n－1＝(－1)n－1·.[3分]‎ ‎(2)证明　由(1)知，Sn＝1－n，‎ Sn＋＝1－n＋ ‎＝[6分]‎ 当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小，‎ 所以Sn＋≤S1＋＝.[8分]‎ 当n为偶数时，Sn＋随n的增大而减小，‎ 所以Sn＋≤S2＋＝.[10分]‎ 故对于n∈N*，有Sn＋≤.[12分]‎ ‎1．在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝－1，a5＝＋1，则a＋2a2a6＋a3a7等于(　　)‎ A．4 B．6‎ C．8 D．8－4 答案　C 解析　在等比数列中，a3a7＝a，a2a6＝a3a5，所以a＋2a2a6＋a3a7＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝(－1＋＋1)2＝(2)2＝8.‎ ‎2．(2016·珠海模拟)在等比数列{an}中，若a1<0，a2＝18，a4＝8，则公比q等于(　　)‎ A. B. C．－ D.或－ 答案　C 解析　由解得或 又a1<0，因此q＝－.‎ ‎3．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n等于(　　)‎ A．12 B．13‎ C．14 D．15‎ 答案　C 解析　设数列{an}的公比为q，‎ 由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12，‎ 可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，‎ 因此q3n－6＝81＝34＝q36，‎ 所以n＝14，故选C.‎ ‎*4.(2015·福建)若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于(　　)‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ 答案　D 解析　由题意知：a＋b＝p，ab＝q，∵p＞0，q＞0，∴a＞0，b＞0.在a，b，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a，b，－2；b，a，－2；－2，a，b；－2，b，a；成等比数列的情况有a，－2，b；b，－2，a.‎ ‎∴或解得或 ‎∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9，故选D.‎ ‎5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了(　　)‎ A．192里 B．96里 C．48里 D．24里 答案　B 解析　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q＝，‎ 依题意有＝378，‎ 解得a1＝192，则a2＝192×＝96，‎ 即第二天走了96里，故选B.‎ ‎6．(2016·铜仁质检)在由正数组成的等比数列{an}中，若a3a4a5＝3π，则sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值为(　　)‎ A. B. C．1 D．－ 答案　B 解析　因为a3a4a5＝3π＝a，所以a4＝.‎ log3a1＋log3a2＋…＋log3a7＝log3(a1a2…a7)‎ ‎＝log3a＝7log3＝，‎ 所以sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)＝.‎ ‎7．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2，3S2＝a3－2，则公比q＝________.‎ 答案　4‎ 解析　因为 由①－②，得3a3＝a4－a3，即4a3＝a4，‎ 则q＝＝4.‎ ‎8．设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为前n项和且S10＝10，S30＝70，那么S40＝________.‎ 答案　150‎ 解析　依题意，知数列{an}的公比q≠－1，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30；又S20>0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80，S40＝150.‎ ‎9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝1(n∈N*)，则通项an＝________.‎ 答案　 解析　∵an＋Sn＝1，①‎ ‎∴a1＝，an－1＋Sn－1＝1(n≥2)，②‎ 由①－②，得an－an－1＋an＝0，即＝(n≥2)，‎ ‎∴数列{an}是首项为，公比为的等比数列，‎ 则an＝×()n－1＝.‎ ‎10．已知数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且bn＝，若b10·b11＝2，则a21＝________.‎ 答案　1 024‎ 解析　∵b1＝＝a2，b2＝，‎ ‎∴a3＝b2a2＝b1b2，∵b3＝，‎ ‎∴a4＝b1b2b3，…，an＝b1b2b3·…·bn－1，‎ ‎∴a21＝b1b2b3·…·b20＝(b10b11)10＝210＝1 024.‎ ‎11．已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和．‎ ‎(1)求an及Sn；‎ ‎(2)设{bn}是首项为2的等比数列，公比q满足q2－(a4＋1)q＋S4＝0，求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.‎ 解　(1)因为{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.‎ 故Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)‎ ‎＝＝＝n2.‎ ‎(2)由(1)得a4＝7，S4＝16.‎ 因为q2－(a4＋1)q＋S4＝0，即q2－8q＋16＝0，‎ 所以(q－4)2＝0，从而q＝4.‎ 又因为b1＝2，{bn}是公比q＝4的等比数列，‎ 所以bn＝b1qn－1＝2·4n－1＝22n－1.‎ 从而{bn}的前n项和Tn＝＝(4n－1)．‎ ‎12．(2016·全国丙卷)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.‎ ‎(1)求a2，a3；‎ ‎(2)求{an}的通项公式．‎ 解　(1)由题意，得a2＝，a3＝.‎ ‎(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，得 ‎2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．‎ 因为{an}的各项都为正数，所以＝.‎ 故{an}是首项为1，公比为的等比数列，‎ 因此an＝.‎ ‎13．已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝n，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.‎ ‎(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；‎ ‎(2)求T2n.‎ 解　(1)∵an·an＋1＝n，‎ ‎∴an＋1·an＋2＝n＋1，‎ ‎∴＝，即an＋2＝an.‎ ‎∵bn＝a2n＋a2n－1，‎ ‎∴＝＝＝，‎ ‎∵a1＝1，a1·a2＝，‎ ‎∴a2＝⇒b1＝a1＋a2＝.‎ ‎∴{bn}是首项为，公比为的等比数列．‎ ‎∴bn＝×n－1＝.‎ ‎(2)由(1)可知，an＋2＝an，‎ ‎∴a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，以为公比的等比数列，‎ ‎∴T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)‎ ‎＝＋ ‎＝3－.‎