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  • 2021-06-15 发布

2018年湖南省岳阳市高考二模数学文

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2018 年湖南省岳阳市高考二模数学文 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.已知集合 A={1,10, 1 10 },B={y|y=lgx,x∈A},则 A∩B=( ) A.{ 1 10 } B.{10} C.{1} D.∅ 解析:将集合 A 中的元素代入集合 B 中的函数 y=lgx 中,求出可对应 y 的值,确定出集合 B, 找出两集合的公共元素,即可求出两集合的交集. 将 x=1 代入得:y=lg1=0;将 x=10 代入得:y=lg10=1;将 x= 代入得:y=lg =-1, ∴集合 B={0,-1,1},又 A={1,10, }, 则 A∩B={1}. 答案:C 2.已知 i 是虚数单位,复数 10 12 i i 的虚部为( ) A.-2 B.2 C.-2i D.2i 解析:求复数 10 12 i i 的虚部,首先把该复数分子分母同时乘以分母的共轭复数,化为实部加 虚部乘以 i 的形式,则虚部可求.       10 1 210 20 10 42 1 2 1 2 1 2 5          iiiii i i i , 所以复数 的虚部为 2. 答案:B 3.设 x、y 满足约束条件 10 10 3          xy xy x ,则 z=2x-3y 的最小值是( ) A.-7 B.-6 C.-5 D.-3 解析:作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求出最优解即可求最小值. 由 z=2x-3y 得 2 33 y zx , 作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分 ABC): 平移直线 2 33 y zx ,由图象可知当直线 2 33 y zx ,过点 A 时,直线 2 33 y zx 截距 最大,此时 z 最小, 由 3 10      x xy 得 3 4    x y ,即 A(3,4), 代入目标函数 z=2x-3y, 得 z=2×3-3×4=6-12=-6. ∴目标函数 z=2x-3y 的最小值是-6. 答案:B 4.若程序框图如图所示,则该程序运行后输出 k 的值是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析:根据所给数值判定是否满足判断框中的条件,然后执行循环语句,一旦不满足条件就 退出循环,执行语句输出 k,从而到结论. 当输入的值为 n=5 时, n 不满足第一判断框中的条件,n=16,k=1,n 不满足第二判断框中的条件, n 满足第一判断框中的条件,n=8,k=2,n 不满足第二判断框中的条件, n 满足第一判断框中的条件,n=4,k=3,n 不满足第二判断框中的条件, n 满足第一判断框中的条件,n=2,k=4,n 不满足第二判断框中的条件, n 满足第一判断框中的条件,n=1,k=5,n 满足第二判断框中的条件, 退出循环, 即输出的结果为 k=5. 答案:A 5.已知函数 f(x)= 2 20 110      , , > x x x x x 则函数 y=f(x)+3x 的零点个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:画出函数 y=f(x)与 y=-3x 的图象,判断函数的零点个数即可. 函数 f(x)= 2 20 110      , , > x x x x x , 函数 y=f(x)+3x 的零点个数, 就是函数 y=f(x)与 y=-3x 两个函数的图象的交点个数: 如图: 由函数的图象可知,零点个数为 2 个. 答案:C 6.七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全 等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成 的.如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率是( ) A. 3 16 B. 3 8 C. 1 4 D. 1 8 解析:设边长 AB=2,求出△BCI 和平行四边形 EFGH 的面积,计算对应的面积比即可. 设 AB=2,则 BC=CD=DE=EF=1, ∴ 1 2 2 1 2 2 2 4    V BCIS , 2 11 42 2   V平 行 四 边 形 BCIEFGHSS , ∴所求的概率为 3 2 16 11 42 2       V 平 行 四 边 形 正 方 形 BCI EFGH ABCD SS P S . 答案:A 7.“直线 m 与平面α 内无数条直线平行”是“直线 m∥平面α ”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析:利用线面平行的判定定理性质定理、充分必要条件即可判断出结论. 由“直线 m∥平面α ”,可得“直线 m 与平面α 内无数条直线平行”,反之不成立. ∴“直线 m 与平面α 内无数条直线平行”是“直线 m∥平面α ”的必要不充分条件. 答案:C 8.若将函数 y=sin2x 的图象向左平移 6  个单位长度,则平移后图象的对称轴方程为( ) A. 2 12 kx (k∈Z) B. 22 kx (k∈Z) C. 2  kx (k∈Z) D. 2 12 kx (k∈Z) 解析:利用函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,得出结论. 将函数 y=sin2x 的图象向左平移 个单位长度,则平移后图象对应的函数解析式为 y=sin(2x+ 3  ), 令 2 32   xk,求得 2 12 kx ,k∈Z,故所得图象的对称轴方程为 2 12 kx , k∈Z. 答案:D 9.已知一个简单几何的三视图如图所示,若该几何体的体积为 24π +48,则该几何体的表面 积为( ) A.24π +48 B.24π +90+6 41 C.48π +48 D.24π +66+6 41 解析:由题意,直观图为 1 4 圆锥与三棱锥的组合体, 该几何体的体积为 21 1 1 19 4 3 3 4 24 4 3 8 4 3 2           r r r r r ,∴r=2, ∴该几何体的表面积为 1 1 1 1 12 2 2 4 2 12 8 6 82 36 6 6 6 10 24 66 6 4 4 1                 . 答案:D 10.函数 2 ln  xx y x 的图象大致是( ) A. B. C. D. 解析:根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断. 当 x>0 时,y=xlnx,y′=1+lnx, 即 0<x< 1 e 时,函数 y 单调递减,当 x> 1 e ,函数 y 单调递增, 因为函数 y 为偶函数. 答案:D 11.在 1 和 17 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数成等差数列,若这 n 个数中第一个为 a,第 n 个为 b,当 1 25 ab 取最小值时,n=( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析:利用等差数列的性质可得 a+b=18,再利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出. 由已知得 a+b=1+17=18, 则  1 25 1 25 1 25 125 1 26 10 2 18 18 18                     a b a b a b a b b a , 当且仅当 b=5a 时取等号,此时 a=3,b=15,可得 n=7. 答案:D 12.已知函数   ln 2 x axfx x ,若有且仅有一个整数 k,使得 f(k)>1,则实数 a 的取值 范围是( ) A.(1,3] B.[ 1 4 ln 2 1 2  , 1 6 ln 3 1 2  ) C.[ 1 2 ln 2 1 , 1 3 ln 3 1 ) D.( 1 e -1,e-1] 解析:由 ln 2 1 >x ax x ,得 ln21 < xa x , 令 g(x)= ln x x ,则 g′(x)= 2 1 ln x x , 令 g′(x)>0,解得:0<x<e, 令 g′(x)<0,解得:x>e, 故 g(x)在(0,e)递增,在(e,+∞)递减, 而 g(2)= ln 2 2 ≈0.345,g(3)= ln 3 3 ≈0.366, 故 g(3)>g(2), 故 g(2)≤2a+1<g(3), 故 1 1 1 1 4 2 6 2 ln 2 ln 3  <a . 答案:B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将正确答案填在答题卡的横线上) 13.若数列{an}满足 a1=1,a2= 1 2 ,an+1 2=an·an+2(n∈N*),则数列{an}的前 n 项和 Sn= . 解析:利用等比数列的定义、求和公式即可得出. ∵数列{an}满足 a1=1,a2= ,an+1 2=an·an+2(n∈N*), ∴数列{an}是等比数列,公比 2 1 1 2 aq a . 可得前 n 项和 1 21 1 12 1 21 2         n n nS . 答案: 2 21 1   n 14.已知 f(x)=f(4-x),当 x≤2 时,f(x)=ex,f′(3)+f(3)= . 解析:由 f(x)=f(4-x)可得, 函数 f(x)的图象关于直线 x=2 对称, 当 x≤2 时,f(x)=ex,f′(x)=ex, ∴f(3)=f(1)=e, f′(3)=-f′(1)=-e, 故 f′(3)+f(3)=0. 答案:0 15.已知抛物线 y=ax2(a>0)的准线为 l,l 与双曲线 2 2 1 4 x y 的两条渐近线分别交于 A,B 两点,若|AB|=4,则 a= . 解析:抛物线 y=ax2(a>0)的准线 l:y= 1 4  a , 双曲线 的两条渐近线分别为 y= 1 2 x,y= 1 2  x, 可得 xA= 1 2  a ,xB= 1 2a ,可得|AB|= 11 22     aa =4,则 a= 1 4 . 答案: 1 4 16.直线 ax+by+c=0 与圆 O:x2+y2=16 相交于两点 M、N,若 c2=a2+b2,P 为圆 O 上任意一点, 则 uuur g uuur P PNM 的取值范围是 . 解析:取 MN 的中点 A,连接 OA,则 OA⊥MN.由点到直线的距离公式算出 OA=1,从而在 Rt△ AON 中,得到 cos∠AON= 1 4 ,得 cos∠MON= 7 8  ,最后根据向量数量积的公式即可算出 uuur uuur gOM ON 的值,运用向量的加减运算和向量数量积的定义,可得 uuur uuur gPM PN =2-8cos∠AOP, 考虑 uuur OP , uur OA同向和反向,可得最值,即可得到所求范围. 取 MN 的中点 A,连接 OA,则 OA⊥MN, ∵c2=a2+b2, ∴O 点到直线 MN 的距离 22 1  c OA ab , x2+y2=16 的半径 r=4, ∴Rt△AON 中,设∠AON=θ ,得cos 1 4  OA ON , 2cos cos 2 2 cos 171 88 1     M ON , 由此可得, cos 4 8 4 147        uuur uuur uuur uuur ggOM ON OM NON MO , 则      2        uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuuuu r uur g g g g ur uuur PM OM OP ON OP OM ON OP OP OM ONPN 14 16 2 2 2 2 o8cos c s          uuur uuuruur uur ggO P O P AOOA POA AO P , 当 uuur OP , uur OA同向时,取得最小值且为 2-8=-6, 当 , 反向时,取得最大值且为 2+8=10. 则 uuur g uuur P PNM 的取值范围是[-6,10]. 答案:[-6,10] 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,第 17~21 题为必考题,每小题 12 分,第 22、23 题为选考题,有 10 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知函数   2sin3 sin cosf x x x x . (1)求函数 f(x)的最小正周期. 解析:(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式,利用三角函数的周期公式即可得解. 答案:(1) ∵   2sin sin cos cos 2 sin 23 3 1 33 2 2 2 sin 2 3 2            f x x x x x x x , ∴函数 f(x)的最小正周期 T= 2 2  =π . (2)已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 3 22  Af ,a=4,b+c=5,求△ ABC 的面积. 解析:(2)由 求得 A 的值,利用余弦定理求得 bc 的值,可得△ABC 的面积 S= 1 2 bc·sinA 的值. 答案:(2)∵ 3n 23 3 2 si 2              AfA , ∴sin 0 3  A , ∴A- 3  =0, ∴A= 3  , 又∵a=4,b+c=5, ∴a2=b2+c2-2bc·cosA=(b+c)2-3bc=25-3bc=16, ∴bc=3, ∴△ABC 的面积 sin 31 1 3 3 3 2 2 2 4     gS bc A . 18.某校高二奥赛班 N 名学生的物理测评成绩(满分 120 分)分布直方图如图,已知分数在 100-110 的学生数有 21 人. (1)求总人数 N 和分数在 110-115 分的人数 n. 解析:(1)求出该班总人数、分数在 110-115 内的学生的频率,即可得出分数在 110-115 内 的人数. 答案:(1)分数在 100-110 内的学生的频率为 P1=(0.04+0.03)×5=0.35, 所以该班总人数为 N= 21 0.35 =60, 分数在 110-115 内的学生的频率为 P2=1-(0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01)×5=0.1,分数 在 110-115 内的人数 n=60×0.1=6. (2)现准备从分数在 110-115 的 n 名学生(女生占 1 3 )中任选 2 人,求其中恰好含有一名女生 的概率. 解析:(2)利用列举法确定基本事件的个数,即可求出其中恰好含有一名女生的概率. 答案:(2)由题意分数在 110-115 内有 6 名学生,其中女生有 2 名, 设男生为 A1,A2,A3,A4,女生为 B1,B2, 从 6 名学生中选出 3 人的基本事件为: (A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2), (A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4), (A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2)共 15 个. 其中恰 好含有一名女生的基本事件为 (A1,B1),(A1,B2),(A2,B2),(A2,B1),(A3,B1), (A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),共 8 个, 所以所求的概率为 P= 8 15 . (3)为了分析某个学生的学习状态,对其下一阶段的学生提供指导性建议,对他前 7 次考试 的数学成绩 x(满分 150 分),物理成绩 y 进行分析,下面是该生 7 次考试的成绩. 已知该生的物理成绩y 与数学成绩x是线性相关的,求出y关于x的线性回归方程 y bx a$ $ $ . 若该生的数学成绩达到 130 分,请你估计他的物理成绩大约是多少? (参考公式:       1 2 1        $ n ii i n i i x x y y b xx , a y b x$$) 解析:(3)分别求出回归学生的值,代入从而求出线性回归方程,将 x=130 代入,从而求出 y 的值. 答案:(3) x =100, y =100; 由于 x 与 y 之间具有线性相关关系,根据回归系数公式得到 497 0.5 994 $b ,$a =100-0.5×100=50, ∴线性回归方程为$y =0.5x+50, ∴当 x=130 时,$y =115. 19.如图,多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 为菱形,且∠DAB=60°,EF∥AC,AD=2,EA=ED=EF= 3 . (1)求证:AD⊥BE. 解析:(1)取 AD 中点 O,连结 EO,BO.证明 EO⊥AD.BO⊥AD.说明 AD⊥平面 BEO,即可证明 AD ⊥BE. 答案:(1)如图,取 AD 中点 O,连结 EO,BO. ∵EA=ED,∴EO⊥AD. ∵四边形 ABCD 为菱形, ∴AB=AD, 又∠DAB=60°,∴△ABD 为等边三角形,∴BA=BD, ∴BO⊥AD. ∵BO∩EO=O,BO  平面 BEO,EO 平面 BEO,∴AD⊥平面 BEO, ∵BE  平面 BEO,∴AD⊥BE. (2)若 BE= 5 ,求三棱锥 F-BCD 的体积. 解析:(2)解法一:证明 EO⊥OB,然后证明 EO⊥平面 ABCD.通过 VF-BCD=VE-BCD 求解即可. 解法二:解法二:证明 EO⊥OB,利用 AD⊥平面 EOB,以及 VF-BCD=VE-BCD=VE-ABD 求解即可. 答案:(2)解法一:在△EAD 中,EA=ED= ,AD=2, ∴ 222  EO AE AO , ∵△ABD 为等边三角形,∴AB=BD=AD=2,∴BO= 3 . 又 BE= 5 ,∴EO2+OB2=BE2,∴EO⊥OB, ∵AD∩OB=O,AD  平面 ABCD,BO 平面 ABCD, ∴EO⊥平面 ABCD. 又 1133 2 2 2     V ggABDS AD OB , ∴S△BCD=S△ABD= 3 . 又∵EF∥AC, ∴ 63 3 33 211      V gF BCD E BCD BCDV V S EO . 解法二:在△EAD 中,EA=ED= 3 ,AD=2, ∴ 222  EO AE AO , ∵△ABD 为等边三角形, ∴AB=BD=AD=2,∴BO= 3 . 又 BE= 5 ,∴EO2+OB2=BE2,∴EO⊥OB, 所以 11 2 62 2 3 2     V ggEOBS EO OB . 又 S△BCD=S△ABD,EF∥AC,AD⊥平面 EOB, ∴ 11 3 2 23 66 3      V gF BCD E BCD E ABD EOBV V V S AD . 20.如图,A,B 是椭圆 C: 2 2 1 4 x y 长轴的两个端点,P,Q 是椭圆 C 上都不与 A,B 重合 的两点,记直线 BQ,AQ,AP 的斜率分别是 kBQ,kAQ,kAP. (1)求证:kBQ·kAQ= 1 4  . 解析:(1)设 Q(x1,y1),由题意方程求出 A,B 的坐标,代入斜率公式即可证明 kBQ·kAQ= . 答案:(1)证明:设 Q(x1,y1), 由椭圆 C: 2 2 1 4 x y ,得 B(-2,0),A(2,0), ∴ 2 1 2 1 1 1 22 1 1 1 1 1 4 2 2 4 1 4 4           ggBQ AQ x y y ykk x x x x . (2)若 kAP=4kBQ,求证:直线 PQ 恒过定点,并求出定点坐标. 解析:(2)由(1)结合 kAP=4kBQ,可得 kAP·kAQ=-1,设 P(x2,y2),直线 PQ:x=ty+m,联立直线 方程与椭圆方程,利用根与系数的关系及 kAP·kAQ=-1 列式求得 m 值,则可证明直线 PQ 恒过 定点,并求出定点坐标. 答案:(2)由(1)知: 1 4 BQ BQkk 11 44 gAP AQkk kAP·kAQ=-1. 设 P(x2,y2),直线 PQ:x=ty+m, 代入 x2+4y2=4,得(t2+4)y2+2mty+m2-4=0, ∴ 122 2 4   mtyy t , 2 12 2 4 4   myy t , 由 kAP·kAQ=-1 得:(x1-2)(x2-2)+y1y2=0, ∴(t2+1)y1y2+(m-2)t(y1+y2)+(m-2)2=0, ∴(t2+1)(m2-4)+(m-2)t(-2mt)+(m-2)2(t2+4)=0, ∴5m2-16m+12=0,解得 m=2 或 m= 6 5 . ∵m≠2,∴m= 6 5 , ∴直线 PQ:x=ty+ 6 5 ,恒过定点( 6 5 ,0). 21.已知函数 f(x)=ax2+lnx+2. (1)若 a∈R,讨论函数 f(x)的单调性. 解析:(1)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的单调区间即可. 答案:(1)   21 2 12     axf x ax xx ,(x>0), a≥0 时,恒有 f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)递增, a<0 时,令 f′(x)>0,即 2ax2+1>0,解得:0<x< 1 2  a , 令 f′(x)<0,即 2ax2+1<0,解得:x> 1 2  a , 综上,a≥0 时,f(x)在(0,+∞)递增, a<0 时,f(x)在(0, 1 2  a )递增,在( 1 2  a ,+∞)递减. (2)曲线 g(x)=f(x)-ax2 与直线 l 交于 A(x1,y1),B(x2,y2),两点,其中 x1<x2,若直线 l 斜率为 k,求证:x1< 1 k <x2. 解析:(2)问题等价于 2 1 21 2 1 1 1 ln  < < x x xxx x ,令 t= 2 1 x x ,则 t>1,问题转化为只需证 1< 1 ln t t < t,根据函数的单调性证明即可. 答案:(2)证明:    2121 2 1 2 1 ln ln   g x g x xxk x x x x , 要证 x1< 1 k <x2,即证 21 12 21ln ln   < <xxxx xx , 等价于 2 1 21 2 1 1 1 ln  < < x x xxx x , 令 t= ,则 t>1,只需证 1< <t, 由 t>1 知 lnt>0,故等价于 lnt<t-1<tlnt, 设φ (t)=t-1-lnt,则φ ′(t)=1-1 t >0, 所以φ (t)在(1,+∞)上单增, 所以φ (t)>φ (1)=0, 即 t-1>lnt 又设 h(t)=tlnt-(t-1), 则 h′(t)=lnt>0, 所以 h(t)在(1,+∞)上单增, 所以 h(t)>h(1)=0, 即 tlnt>t-1, 故 x1< 1 k <x2. 请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清题号. [选修 4-4:坐标系与参数方程] 22.已知曲线 C 的极坐标方程是ρ =2cosθ ,若以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,且取相同的单位长度建立平面直角坐标系,则直线 l 的参数方程是 3 2 1 2      x t m yt (t 为参数). (1)求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程. 解析:(1)由 x=ρ cosθ ,y=ρ sinθ ,x2+y2=ρ 2,可得曲线 C 的普通方程;运用代入法,可 得直线 l 的普通方程. 答案:(1)由 x=ρ cosθ ,y=ρ sinθ ,x2+y2=ρ 2, 曲线 C 的极坐标方程是ρ =2cosθ ,即为ρ 2=2ρ cosθ , 即有 x2+y2=2x,即圆(x-1)2+y2=1; 由直线 l 的参数方程是 (t 为参数), 可得 x- 3 y-m=0. (2)设点 P(m,0),若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,且|PA|·|PB|=1,求非负实数 m 的值. 解析:(2)将直线 l 的参数方程代入曲线的普通方程,运用判别式大于 0,韦达定理,结合 参数的几何意义,解方程,即可得到所求 m 的值. 答案:(2)将 代入圆(x-1)2+y2=1, 可得 t2+ (m-1)t+m2-2m=0, 由△=3(m-1)2-4(m2-2m)>0,可得-1<m<3, 由 m 为非负数,可得 0≤m<3. 设 t1,t2 是方程的两根,可得 t1t2=m2-2m, |PA|·|PB|=1,可得|m2-2m|=1, 解得 m=1 或1 2 , 由 0≤m<3.可得 m=1 或 1+ 2 . [选修 4-5:不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|2x+2|-|2x-2|,x∈R. (1)求不等式 f(x)≤3 的解集. 解析:(1)通过讨论 x 的范围,得到关于 x 的不等式组,求出不等式的解集即可. 答案:(1)原不等式等价于 1 43   <x 或 11 43      x x 或 1 43    >x , 解得:x<-1 或-1≤x≤ 3 4 , ∴不等式 f(x)≤3 的解集为(-∞, 3 4 ]. (2)若方程   2  fx ax有三个实数根,求实数 a 的取值范围. 解析:(2)分离 a,得到 a=x+|x-1|-|x+1|,令 h(x)=x+|x-1|-|x+1|,结合函数的图象求出 a 的范围即可. 答案:(2)由方程 可变形为 a=x+|x-1|-|x+1|, 令   21 1 1 1 1 21              , < , , > xx h x x x x x x xx , 作出图象如下: 于是由题意可得-1<a<1.