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- 2021-06-15 发布
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专题07 平面向量
1.【2020年高考全国III卷理数】6.已知向量a,b满足,,,则
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】,,,.
,
因此,.
故选:D.
【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算,同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算,考查计算能力,属于中等题.
2.【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如图,
的模为2,根据正六边形的特征,
可以得到在方向上的投影的取值范围是,
结合向量数量积的定义式,
可知等于模与在方向上的投影的乘积,
所以的取值范围是,
故选:A.
【点睛】该题以正六边形为载体,考查有关平面向量数量积的取值范围,涉及到的知识点有向量数量积的定义式,属于简单题目.
3.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设为单位向量,且,则______________.
【答案】
【解析】因为为单位向量,所以
所以,
解得:,
所以,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力,属于中档题.
4.【2020年高考全国II卷理数】已知单位向量,的夹角为45°,与垂直,则k=__________.
【答案】
【解析】由题意可得:,
由向量垂直的充分必要条件可得:,
即:,解得:.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则,向量垂直的充分必要条件等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5.【2020年高考天津】如图,在四边形中,,,且,则实数的值为_________,若是线段上的动点,且,则的最小值为_________.
【答案】(1). ;(2).
【解析】,,,
,
解得,
以点为坐标原点,所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系,
,
∵,∴的坐标为,
∵又∵,则,设,则(其中),
,,
,
所以,当时,取得最小值.
故答案为:;.
【点睛】本题考查平面向量数量积的计算,考查平面向量数量积的定义与坐标运算,考查计算能力,属于中等题.
6.【2020年高考北京】已知正方形的边长为2,点P满足,则_________;_________.
【答案;
【解析】以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系,
则点、、、,
,
则点,,,
因此,,.
故答案为:;.
【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算,建立平面直角坐标系,求出点的坐标是解答的关键,考查计算能力,属于基础题.
7.【2020年高考浙江】已知平面单位向量,满足.设,,向量,的夹角为,则的最小值是_______.
【答案】
【解析】,,
,
.
故答案为:.
【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值,考查综合分析求解能力,属中档题.
8.【2020年高考江苏】在△ABC中,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若(m为常数),则CD的长度是 ▲ .
【答案】
【解析】∵三点共线,
∴可设,
∵,
∴,即,
若且,则三点共线,
∴,即,
∵,∴,
∵,,,
∴,
设,,则,.
∴根据余弦定理可得,,
∵,
∴,解得,
∴的长度为.
当时, ,重合,此时的长度为,
当时,,重合,此时,不合题意,舍去.
故答案为:0或.
【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力,解答本题的关键是设出.
1.【2020四川省阆中中学高三二模】已知向量,且,则m=
A.−8 B.−6
C.6 D.8
【答案】D
【解析】∵,
又,∴3×4+(﹣2)×(m﹣2)=0,解得m=8.
故选D.
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算,考查向量垂直的坐标运算,属于基础题.
2.【2020宁夏回族自治区高三二模】已知向量满足,且与的夹角为,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故选A.
【点睛】
本题主要考查数量积的运算,属于基础题.
3.【2020陕西省西安中学高三模拟】已知向量,,若,则实数的值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵,,
∴,又,∴,
∴.
故选D.
【点睛】
本题考查了平面向量的坐标表示的应用问题,解题时应熟练地利用向量的坐标表示求平行,垂直以及夹角和模长等问题,是基础题.
4.【2020河北省高三月考】已知向量,满足,,且,则向量与的夹角的余弦值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知:,解得:.
.
本题正确选项D.
【点睛】
本题考查向量夹角的求解问题,关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.
5.【2020湖南省高三月考】如图所示,在中,点在线段上,且,若,则
A. B. C.2 D.
【答案】B
【解析】,
所以,从而求得,故选B.
【点睛】该题考查的是有关向量的基本定理,在解题的过程中,需要利用向量直角的关系,结合三角形法则,求得结果.
6.【2020·威远中学校高三月考】已知向量,且∥,若均为正数,则的最小值是
A.24 B.8 C. D.
【答案】B
【解析】由∥得,
因此,当且仅当时取等号,所以选B.
【易错点睛】在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.
7.【2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学】在中,,,则为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
故选:D
8.【2020届湖南省益阳市高三上学期期末数学】已知向量,,,若,则b在c上的投影为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由,,得,
所以由,得,
所以b在c上的投影为
.
故选A.
9.【2020重庆南开中学高三月考】向量,,若,的夹角为钝角,则的范围是
A. B.
C.且 D.
【答案】C
【解析】若,的夹角为钝角,则且不反向共线,
,得.
向量,共线时,,得.此时.
所以且.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角,当为钝角时,数量积为0,容易忽视反向共线时,属于易错题.
10.【2020湖北省高三零模】已知向量,满足,在上投影为,则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在上投影为,即.
,,
又,,
,
.
本题选B.
【点睛】
本题考查向量模长的运算,对于含加减法运算的向量模长的求解,通常先求解模长的平方,再开平方求得结果;解题关键是需要通过夹角取值范围的分析,得到的最小值.
11.【2020四川省泸县第二中学高三三模】已知向量满足,且在方向上的投影是,则实数
A. B.2 C. D.
【答案】A
【解析】因为向量满足,
,
所以,
若向量的夹角为,
则,
所以,即,解得,故选A.
【点睛】
本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式,属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式,一是,二是,主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角, (此时往往用坐标形式求解);(2)求投影, 在 上的投影是;(3)向量垂直则;(4)求向量 的模(平方后需求).
12.【2020湖南省高三二模】正方形边长为2,点为边的中点,为边上一点,若,则
A.3 B.5 C. D.
【答案】D
【解析】由题意,可知,即,
即,所以,即,
又由E是BC的中点,则,,
所以,故选D.
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的应用,以及勾股定理的应用,其中解答中根据向量的数量积的运算,得到,再利用勾股定理求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.
13.【2020河南省高考模拟】已知平面内的两个单位向量,,它们的夹角是60°,与、向量的夹角都为30°,且,若,则值为
A. B. C.2 D.4
【答案】D
【解析】由题意,可得在的角平分线上,所以,
再由可得,即,
再由,
得,
解得,故,所以,故选D.
【点睛】
本题主要考查了平面向量的基本定理,以及向量的数量积运算,其中解答中熟记平面向量的基本定理,得到,再利用向量的数量积的运算公式,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
14.【2020届重庆市第一中学高三上学期期末考试数学】正三角形中,是线段上的点,,,则
A.3 B.6 C.9 D.12
【答案】B
【解析】如图建立以为原点的空间直角坐标系,易得,,.
故,,
故
故选:B.
15.【2020届河南省郑州市高三第二次质量预测文科数学试题】是边长为1的等边三角形,点分别是边的中点,连接并延长到点,使得,则的值为&科&网Z&X&X&K]
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】[来设,,∴,,
,∴.
16.【2020湖北省高考模拟】设等边三角形的边长为1,平面内一点满足,向量与夹角的余弦值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,,对两边用点乘,与夹角的余弦值为.
故选D.
【点睛】
这个题目考查了向量的模长的求法以及向量点积的运算,题目比较简单基础;平面向量数量积公式有两种形式,一是,二是,主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角, (此时往往用坐标形式求解);(2)求投影, 在 上的投影是;(3)向量垂直则;(4)求向量 的模(平方后需求).
17.【2020宁夏回族自治区银川一中高三模拟】在中,,,点是所在平面内一点,则当取得最小值时,
A.24 B. C. D.
【答案】A
【解析】由可得:,
则,即,
以点坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则,,设,则:
,
当,即时取得最小值,
此时.
本题选择A选项.
【点睛】
求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用.
18.【2020届湖南省高三上学期期末统测数学】已知向量,的夹角为,则__________.
【答案】
【解析】依题意,
所以.
故答案为.
19.【2020届安徽省皖东县中联盟上学期高三期末考试数学】已知向量,满足,,若,则与的夹角为______.
【答案】
【解析】由已知知,,则,
所以,故夹角为.
故答案为.
20.【2020甘肃省武威十八中高三期末】已知向量,,,若,则_____.
【答案】4
【解析】,
∵,∴,∴.
故答案为4.
【点睛】
向量的数量积有两个应用:(1)计算长度或模长,通过用 ;(2)计算角,.特别地,两个非零向量垂直的等价条件是.
21.【2020安徽省高三月考】设为所在平面内一点,,若,则__________.
【答案】-3
【解析】∵为所在平面内一点, ,
∴B,C,D三点共线.若∴,
化为: =+,与=−+,比较可得: ,解得.
即答案为-3.
【点睛】
本题考查的知识要点:向量的线性运算及相关的恒等变换问题.
22.【2020柳州高级中学高三月考】如图,正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若,则______.
【答案】
【解析】设,,则,.
由于,
可得,且,
解得,,所以.
故答案为.
【点睛】
本题考查平面向量基本定理的运用,考查向量的加法运算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题,
23.【2020·江西省宁都中学高三月考】如图所示,已知点是的重心,过点作直线分别交,两边于,两点,且,,则的最小值为______.
【答案】
【解析】根据条件:,,
又,.
又,,三点共线,.
,,
.
的最小值为,当且仅当时“”成立.
故答案为.
【点睛】
本题主要考查了基底向量与向量的共线定理性质运用,同时也考查了基本不等式的应用,属于中等题型.
24.【2020天津高三二模】在平行四边形中,已知,,,若,,则_______.
【答案】
【解析】由题意,如图所示,
设,则,
又由,,所以为的中点,为的三等分点,
则,,
所以
.
故答案为.
【点睛】
本题主要考查了向量的共线定理以及向量的数量积的运算,其中解答中熟记向量的线性运算法则,以及向量的共线定理和向量的数量积的运算公式,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.
25.【2020·河北省衡水中学高三月考】已知的一内角,,,为所在平面上一点,满足,设,则的值为__________.
【答案】
【解析】因为可知O为三角形ABC的外心
所以
而,且
即
化简得,解得.
所以.
【点睛】
本题考查了向量线性运算及向量数量积的应用,关键是找到各向量间的关系,属于难题.
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