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  • 2021-06-11 发布

2020年高考真题+高考模拟题 专项版解析汇编 理科数学——12 坐标系与参数方程(教师版)

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专题12 坐标系与参数方程 ‎1.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)当时,是什么曲线?‎ ‎(2)当时,求与的公共点的直角坐标.‎ ‎【解析】(1)当k=1时,消去参数t得,故曲线是圆心为坐标原点,半径为1的圆.‎ ‎(2)当k=4时,消去参数t得的直角坐标方程为.‎ 的直角坐标方程为.‎ 由解得.‎ 故与的公共点的直角坐标为.‎ ‎2.【2020年高考全国II卷理数】[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)‎ 已知曲线C1,C2的参数方程分别为 C1:(θ为参数),C2:(t为参数).‎ ‎(1)将C1,C2的参数方程化为普通方程;‎ ‎(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1,C2的交点为P,求圆心在极轴上,且经过极点和P的圆的极坐标方程.‎ ‎【解析】(1)的普通方程为.‎ 由的参数方程得,,所以.‎ 故的普通方程为.‎ ‎(2)由得所以的直角坐标为.‎ 设所求圆的圆心的直角坐标为,由题意得,‎ 解得.‎ 因此,所求圆的极坐标方程为.‎ ‎3.【2020年高考全国III卷理数】[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数且t≠1),C与坐标轴交于A、B两点.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方程.‎ ‎【解析】(1)因为t≠1,由得,所以C与y轴的交点为(0,12);‎ 由得t=2,所以C与x轴的交点为.‎ 故.‎ ‎(2)由(1)可知,直线AB的直角坐标方程为,将代入,‎ 得直线AB的极坐标方程.‎ ‎4.【2020年高考江苏】[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ 在极坐标系中,已知点在直线上,点在圆上(其中,).‎ ‎(1)求,的值;‎ ‎(2)求出直线与圆的公共点的极坐标.‎ ‎【解析】(1)由,得;,又(0,0)(即(0,))也在圆C上,‎ 因此或0.‎ ‎(2)由得,所以.‎ 因为,,所以,.‎ 所以公共点的极坐标为.‎ ‎1.【2020·山西省山西大附中高三月考】在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点在直线上,点在曲线上,求的最小值.‎ ‎【答案】(1),;(2).‎ ‎【解析】(1)直线的普通方程为 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为 ‎(2)曲线的参数方程为 设点的坐标为 ‎,‎ 故的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化,点到直线的距离公式、辅助角公式以及三角函数的性质,属于基础题.‎ ‎2.【2020·广东省高三其他(理)】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为=(>0),过点的直线的参数方程为(t为参数),直线与曲线C相交于A,B两点.‎ ‎(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线的普通方程;‎ ‎(Ⅱ)若,求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ),(Ⅱ).‎ ‎【解析】(Ⅰ)根据可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标,两式相减消去参数得直线的普通方程为.(Ⅱ)由直线参数方程几何意义有,因此将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中,‎ 得,由韦达定理有.解之得:或(舍去)‎ 试题解析:(Ⅰ)由得,‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为.‎ 直线的普通方程为.‎ ‎(Ⅱ)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中,‎ 得,‎ 设两点对应的参数分别为,‎ 则有.‎ ‎∵,∴, 即.‎ ‎∴.‎ 解之得:或(舍去),∴的值为.‎ ‎3.【2020·黑龙江省大庆实验中学高三月考】在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点,直线与曲线的交点为、,求的值.‎ ‎【答案】(1);;(2)4‎ ‎【解析】(1)的参数方程消去参数,易得的普通方程为,‎ 曲线:,‎ 即,‎ ‎∴,‎ 所以曲线的直角坐标方程为:.‎ ‎(2)的参数方程(为参数),‎ 设对应参数为,对应参数为,‎ 将的参数方程与联立得:,‎ 得:,,‎ 所以 即.‎ ‎【点睛】本题考查利用消参法将参数方程化为普通方程,利用互化公式将极坐标方程转化为直角坐标方程,将直线的参数方程代入曲线的普通方程,得到关于的一元二次方程,联立写出韦达定理,运用直线参数方程中参数的几何意义进行求解.‎ ‎4.【2020·辽宁省高三三模】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,以轴正半轴为极轴建极坐标系.‎ ‎(1)求的极坐标方程;‎ ‎(2)直线,的极坐标方程分别为,,直线与曲线的交点为、,直线与曲线的交点为、,求线段的长度.‎ ‎【答案】(1);(2)1.‎ ‎【解析】(1)由曲线的参数方程为得曲线的直角坐标方程为:,‎ 所以极坐标方程为即.‎ ‎(2)将代入中有,即,‎ 将代入中有,即,‎ ‎,‎ 余弦定理得 ‎,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程化普通方程、普通方程化极坐标方程、余弦定理,考查综合分析求解能力,属基础题.‎ ‎5.【2020·山西省太原五中高三其他(理)】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为(),将曲线向左平移2个单位长度得到曲线.‎ ‎(1)求曲线的普通方程和极坐标方程;‎ ‎(2)设直线与曲线交于两点,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)的极坐标方程为,普通方程为;(2)‎ ‎【解析】(1), ‎ ‎,即曲线的普通方程为,‎ 依题意得曲线的普通方程为,‎ 令,得曲线的极坐标方程为;‎ ‎(2)法一:将代入曲线的极坐标方程得,则 ‎,,,异号 ‎,‎ ‎,,;‎ 法二:设直线的参数方程为(为参数,为直线的倾斜角),代入曲线的普通方程得,‎ 则,,,异号 ‎,,.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与普通方程,极坐标方程与平面直角坐标方程之间的转化,求解几何量的取值范围,关键在于明确极坐标系中极径和极角的几何含义,直线的参数方程,参数的几何意义,属于中档题.‎ ‎6.【2020·山西省太原五中高三月考(理)】在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求和的直角坐标方程;‎ ‎(2)已知为曲线上的一个动点,求线段的中点到直线的最大距离.‎ ‎【答案】(1)..(2)最大距离为.‎ ‎【解析】(1)由,得,‎ 则曲线的直角坐标方程为,即.‎ 直线的直角坐标方程为.‎ ‎(2)可知曲线的参数方程为(为参数),‎ 设,,‎ 则到直线的距离为 ‎,‎ 所以线段的中点到直线的最大距离为.‎ ‎【点睛】本题考查了极坐标方程,参数方程,距离的最值问题,意在考查学生的计算能力.‎ ‎7.【2020·河北省河北正中实验中学高三其他(理)】‎ 在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出C的普通方程;‎ ‎(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设,M为l3与C的交点,求M的极径.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】(1)消去参数得的普通方程;消去参数m得l2的普通方程.‎ 设,由题设得,消去k得.‎ 所以C的普通方程为.‎ ‎(2)C的极坐标方程为.‎ 联立得.‎ 故,‎ 从而.‎ 代入得,‎ 所以交点M的极径为.‎ ‎【点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用,重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解,或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点,确定选择何种方程.‎ ‎8.【2020·广东省湛江二十一中高三月考】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以原点为极点,轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线的极坐标方程;‎ ‎(2)在极坐标系中,是曲线上的两点,若,求的最大值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)将曲线的参数方程化为普通方程为:‎ 即:‎ 根据,,可得:‎ 曲线的极坐标方程为:‎ ‎(2)设,‎ 则 当时,‎ ‎【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标和直角坐标的互化、极坐标的几何意义的应用问题,属于常规题型.‎ ‎9.【2020·麻城市实验高级中学高三其他】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),若以该直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为(其中为常数).‎ ‎(1)求曲线和的直角坐标方程;‎ ‎(2)若曲线和有且仅有一个公共点,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1);;(2).‎ ‎【解析】(1)由,可知曲线的直角坐标方程为,‎ 其中,所以曲线的直角坐标方程为 ‎,,‎ 由,可得,由,,‎ 曲线的直角坐标方程为;‎ ‎(2)由,可知,‎ 令,其图象如下:‎ 由曲线和有且仅有一个公共点,所以函数与的图象有且仅有一个公共点,所以由图象可知.‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化,以及用数形结合思想求参数范围.‎ ‎10.【2020·辽宁省大连二十四中高三其他(理)】已知在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数).以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为 ρcos().‎ ‎(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程;‎ ‎(2)若直线l交曲线C于A,B两点,交x轴于点P,求的值.‎ ‎【答案】(1)x2﹣4y2=1(),;(2)8.‎ ‎【解析】(1)曲线C的参数方程为(t为参数),‎ 转化为直角坐标方程为x2﹣4y2=1()‎ 直线l的极坐标方程为ρcos().转化为直角坐标方程为:.‎ ‎(2)由于直线与x轴的交点坐标为(),所以直线的参数方程为(t为参数),‎ 代入x2﹣4y2=1得到:,‎ 所以:,t1t2=-1,‎ 则:8.‎ ‎【点睛】本题考查了直角坐标方程极坐标方程的互化,考查了参数方程和普通方程的转化,同时考查了直线的标准参数的几何意义,考查了转化思想和计算能力,属于较难题.‎ ‎11.【2020·重庆高三月考(理)】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 ‎(为参数),直线的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,过极点的射线与曲线相交于不同于极点的点,且点的极坐标为,其中.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若射线与直线相交于点,求的值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)由题意知,曲线C的普通方程为,‎ 因为,所以曲线C的极坐标方程为 ,即.‎ 由,得,‎ 因为,所以.‎ ‎(2)由题,易知直线的普通方程为,所以直线的极坐标方程为.‎ 又射线的极坐标方程为(),‎ 联立,得,解得.‎ 所以点的极坐标为,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化,考查直角坐标方程与极坐标方程的互化,考查极坐标方程的应用,正确转化方程的形式是解题的关键,属于常考题.‎ ‎12.【2020·河南省高三三模】在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(φ为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为,曲线C1和C2在第一象限交于点A.‎ ‎(1)求点A的直角坐标;‎ ‎(2)直线与曲线C1,C2在第一象限分别交于点B,C,若△ABC的面积为,求α的值.‎ ‎【答案】(1)();(2).‎ ‎【解析】(1)曲线C1的参数方程为(为参数),‎ 转换为直角坐标方程为.根据 转换为极坐标方程为. ‎ 联立曲线C1和C2得到:,解得,‎ 即转换为直角坐标为().‎ ‎(2)连接OA,由(1)得:,‎ 可得:|OA|,,‎ 将直线与曲线C1和C2联立可得:,.‎ ‎,, ‎ ‎,所以.‎ 则:S△ABC=S△AOC﹣S△AOB,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 整理得,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换、三角形面积公式、三角函数关系式,考查了数学运算能力,逻辑推理能力,转化数学思维,属于中档题.‎ ‎13.【2020·四川省绵阳南山中学高三一模(理)】直线l的极坐标方程为,以极点为坐标原点,极轴为x轴建立直角坐标系,曲线C的参数方程为(为参数)‎ ‎(1)写出C的极坐标方程;‎ ‎(2)射线与C和l的交点分别为M,N,射线与C和l的交点分别为A、B,求四边形的面积.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)由消去参数得圆的普通方程为,所以C的极坐标方程为,即;‎ ‎(2)把代入直线的极坐标方程得,,,同理, ‎ 所以,‎ 又,‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化,考查普通方程与极坐标方程的互化,考查直线极坐标方程的应用.掌握极坐标的定义是解题关键.‎ ‎14.【2020·山西省高三月考(理)】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为,为曲线上异于极点的动点,点在射线上,且,,成等比数列.‎ ‎(1)求点的轨迹的直角坐标方程;‎ ‎(2)已知,是曲线上的一点且横坐标为,直线与交于,两点,试求的值.‎ ‎【答案】(1);(2) .‎ ‎【解析】(1)设 则由成等比数列,可得 即 又满足即 化为直角坐标方程为 ‎(2)依题意可得故即直线倾斜角为 直线的参数方程为 代入圆的直角坐标方程得 故 ‎【点睛】1、求曲线的极坐标方程的步骤:(1)建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上任意一点;(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式;(3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程.‎ ‎2、有关直线与曲线相交,求距离的和、差时,注意直线的参数方程中参数几何意义的运用.‎ ‎15.【2020·山西省高三其他(理)】在平面直角坐标系中,直线的参数方程是:(是参数).以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是.‎ ‎(1)若直线与曲线相交于两点,且,试求实数值;‎ ‎(2)设为曲线上任意一点,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)或;(2).‎ ‎【解析】(1)曲线的极坐标方程是化为直角坐标方程为:,直线的直角坐标方程为:.‎ 所以圆心到直线的距离(弦心距),‎ 圆心到直线的距离为:,‎ 所以 所以或,‎ ‎(2)曲线C的方程可化为,其参数方程为(为参数)‎ 因为为曲线C上任意一点,‎ 所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化,圆的参数方程的应用以及直线和圆的位置关系.‎