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- 2021-06-11 发布
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专题12 坐标系与参数方程
1.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)当时,是什么曲线?
(2)当时,求与的公共点的直角坐标.
【解析】(1)当k=1时,消去参数t得,故曲线是圆心为坐标原点,半径为1的圆.
(2)当k=4时,消去参数t得的直角坐标方程为.
的直角坐标方程为.
由解得.
故与的公共点的直角坐标为.
2.【2020年高考全国II卷理数】[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)
已知曲线C1,C2的参数方程分别为
C1:(θ为参数),C2:(t为参数).
(1)将C1,C2的参数方程化为普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1,C2的交点为P,求圆心在极轴上,且经过极点和P的圆的极坐标方程.
【解析】(1)的普通方程为.
由的参数方程得,,所以.
故的普通方程为.
(2)由得所以的直角坐标为.
设所求圆的圆心的直角坐标为,由题意得,
解得.
因此,所求圆的极坐标方程为.
3.【2020年高考全国III卷理数】[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数且t≠1),C与坐标轴交于A、B两点.
(1)求;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方程.
【解析】(1)因为t≠1,由得,所以C与y轴的交点为(0,12);
由得t=2,所以C与x轴的交点为.
故.
(2)由(1)可知,直线AB的直角坐标方程为,将代入,
得直线AB的极坐标方程.
4.【2020年高考江苏】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在极坐标系中,已知点在直线上,点在圆上(其中,).
(1)求,的值;
(2)求出直线与圆的公共点的极坐标.
【解析】(1)由,得;,又(0,0)(即(0,))也在圆C上,
因此或0.
(2)由得,所以.
因为,,所以,.
所以公共点的极坐标为.
1.【2020·山西省山西大附中高三月考】在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)设点在直线上,点在曲线上,求的最小值.
【答案】(1),;(2).
【解析】(1)直线的普通方程为
曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为
(2)曲线的参数方程为
设点的坐标为
,
故的最小值为.
【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化,点到直线的距离公式、辅助角公式以及三角函数的性质,属于基础题.
2.【2020·广东省高三其他(理)】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为=(>0),过点的直线的参数方程为(t为参数),直线与曲线C相交于A,B两点.
(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线的普通方程;
(Ⅱ)若,求的值.
【答案】(Ⅰ),(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)根据可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标,两式相减消去参数得直线的普通方程为.(Ⅱ)由直线参数方程几何意义有,因此将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中,
得,由韦达定理有.解之得:或(舍去)
试题解析:(Ⅰ)由得,
∴曲线的直角坐标方程为.
直线的普通方程为.
(Ⅱ)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中,
得,
设两点对应的参数分别为,
则有.
∵,∴, 即.
∴.
解之得:或(舍去),∴的值为.
3.【2020·黑龙江省大庆实验中学高三月考】在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)设点,直线与曲线的交点为、,求的值.
【答案】(1);;(2)4
【解析】(1)的参数方程消去参数,易得的普通方程为,
曲线:,
即,
∴,
所以曲线的直角坐标方程为:.
(2)的参数方程(为参数),
设对应参数为,对应参数为,
将的参数方程与联立得:,
得:,,
所以
即.
【点睛】本题考查利用消参法将参数方程化为普通方程,利用互化公式将极坐标方程转化为直角坐标方程,将直线的参数方程代入曲线的普通方程,得到关于的一元二次方程,联立写出韦达定理,运用直线参数方程中参数的几何意义进行求解.
4.【2020·辽宁省高三三模】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,以轴正半轴为极轴建极坐标系.
(1)求的极坐标方程;
(2)直线,的极坐标方程分别为,,直线与曲线的交点为、,直线与曲线的交点为、,求线段的长度.
【答案】(1);(2)1.
【解析】(1)由曲线的参数方程为得曲线的直角坐标方程为:,
所以极坐标方程为即.
(2)将代入中有,即,
将代入中有,即,
,
余弦定理得
,
.
【点睛】本题考查参数方程化普通方程、普通方程化极坐标方程、余弦定理,考查综合分析求解能力,属基础题.
5.【2020·山西省太原五中高三其他(理)】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为(),将曲线向左平移2个单位长度得到曲线.
(1)求曲线的普通方程和极坐标方程;
(2)设直线与曲线交于两点,求的取值范围.
【答案】(1)的极坐标方程为,普通方程为;(2)
【解析】(1),
,即曲线的普通方程为,
依题意得曲线的普通方程为,
令,得曲线的极坐标方程为;
(2)法一:将代入曲线的极坐标方程得,则
,,,异号
,
,,;
法二:设直线的参数方程为(为参数,为直线的倾斜角),代入曲线的普通方程得,
则,,,异号
,,.
【点睛】本题考查参数方程与普通方程,极坐标方程与平面直角坐标方程之间的转化,求解几何量的取值范围,关键在于明确极坐标系中极径和极角的几何含义,直线的参数方程,参数的几何意义,属于中档题.
6.【2020·山西省太原五中高三月考(理)】在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求和的直角坐标方程;
(2)已知为曲线上的一个动点,求线段的中点到直线的最大距离.
【答案】(1)..(2)最大距离为.
【解析】(1)由,得,
则曲线的直角坐标方程为,即.
直线的直角坐标方程为.
(2)可知曲线的参数方程为(为参数),
设,,
则到直线的距离为
,
所以线段的中点到直线的最大距离为.
【点睛】本题考查了极坐标方程,参数方程,距离的最值问题,意在考查学生的计算能力.
7.【2020·河北省河北正中实验中学高三其他(理)】
在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设,M为l3与C的交点,求M的极径.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)消去参数得的普通方程;消去参数m得l2的普通方程.
设,由题设得,消去k得.
所以C的普通方程为.
(2)C的极坐标方程为.
联立得.
故,
从而.
代入得,
所以交点M的极径为.
【点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用,重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解,或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点,确定选择何种方程.
8.【2020·广东省湛江二十一中高三月考】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以原点为极点,轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)在极坐标系中,是曲线上的两点,若,求的最大值.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)将曲线的参数方程化为普通方程为:
即:
根据,,可得:
曲线的极坐标方程为:
(2)设,
则
当时,
【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标和直角坐标的互化、极坐标的几何意义的应用问题,属于常规题型.
9.【2020·麻城市实验高级中学高三其他】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),若以该直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为(其中为常数).
(1)求曲线和的直角坐标方程;
(2)若曲线和有且仅有一个公共点,求的取值范围.
【答案】(1);;(2).
【解析】(1)由,可知曲线的直角坐标方程为,
其中,所以曲线的直角坐标方程为
,,
由,可得,由,,
曲线的直角坐标方程为;
(2)由,可知,
令,其图象如下:
由曲线和有且仅有一个公共点,所以函数与的图象有且仅有一个公共点,所以由图象可知.
【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化,以及用数形结合思想求参数范围.
10.【2020·辽宁省大连二十四中高三其他(理)】已知在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数).以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为
ρcos().
(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程;
(2)若直线l交曲线C于A,B两点,交x轴于点P,求的值.
【答案】(1)x2﹣4y2=1(),;(2)8.
【解析】(1)曲线C的参数方程为(t为参数),
转化为直角坐标方程为x2﹣4y2=1()
直线l的极坐标方程为ρcos().转化为直角坐标方程为:.
(2)由于直线与x轴的交点坐标为(),所以直线的参数方程为(t为参数),
代入x2﹣4y2=1得到:,
所以:,t1t2=-1,
则:8.
【点睛】本题考查了直角坐标方程极坐标方程的互化,考查了参数方程和普通方程的转化,同时考查了直线的标准参数的几何意义,考查了转化思想和计算能力,属于较难题.
11.【2020·重庆高三月考(理)】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为
(为参数),直线的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,过极点的射线与曲线相交于不同于极点的点,且点的极坐标为,其中.
(1)求的值;
(2)若射线与直线相交于点,求的值.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)由题意知,曲线C的普通方程为,
因为,所以曲线C的极坐标方程为 ,即.
由,得,
因为,所以.
(2)由题,易知直线的普通方程为,所以直线的极坐标方程为.
又射线的极坐标方程为(),
联立,得,解得.
所以点的极坐标为,
所以.
【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化,考查直角坐标方程与极坐标方程的互化,考查极坐标方程的应用,正确转化方程的形式是解题的关键,属于常考题.
12.【2020·河南省高三三模】在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(φ为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为,曲线C1和C2在第一象限交于点A.
(1)求点A的直角坐标;
(2)直线与曲线C1,C2在第一象限分别交于点B,C,若△ABC的面积为,求α的值.
【答案】(1)();(2).
【解析】(1)曲线C1的参数方程为(为参数),
转换为直角坐标方程为.根据
转换为极坐标方程为.
联立曲线C1和C2得到:,解得,
即转换为直角坐标为().
(2)连接OA,由(1)得:,
可得:|OA|,,
将直线与曲线C1和C2联立可得:,.
,,
,所以.
则:S△ABC=S△AOC﹣S△AOB,
,
,
,
整理得,
所以.
【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换、三角形面积公式、三角函数关系式,考查了数学运算能力,逻辑推理能力,转化数学思维,属于中档题.
13.【2020·四川省绵阳南山中学高三一模(理)】直线l的极坐标方程为,以极点为坐标原点,极轴为x轴建立直角坐标系,曲线C的参数方程为(为参数)
(1)写出C的极坐标方程;
(2)射线与C和l的交点分别为M,N,射线与C和l的交点分别为A、B,求四边形的面积.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)由消去参数得圆的普通方程为,所以C的极坐标方程为,即;
(2)把代入直线的极坐标方程得,,,同理,
所以,
又,
∴.
【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化,考查普通方程与极坐标方程的互化,考查直线极坐标方程的应用.掌握极坐标的定义是解题关键.
14.【2020·山西省高三月考(理)】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为,为曲线上异于极点的动点,点在射线上,且,,成等比数列.
(1)求点的轨迹的直角坐标方程;
(2)已知,是曲线上的一点且横坐标为,直线与交于,两点,试求的值.
【答案】(1);(2) .
【解析】(1)设
则由成等比数列,可得
即
又满足即
化为直角坐标方程为
(2)依题意可得故即直线倾斜角为
直线的参数方程为
代入圆的直角坐标方程得
故
【点睛】1、求曲线的极坐标方程的步骤:(1)建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上任意一点;(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式;(3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程.
2、有关直线与曲线相交,求距离的和、差时,注意直线的参数方程中参数几何意义的运用.
15.【2020·山西省高三其他(理)】在平面直角坐标系中,直线的参数方程是:(是参数).以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是.
(1)若直线与曲线相交于两点,且,试求实数值;
(2)设为曲线上任意一点,求的取值范围.
【答案】(1)或;(2).
【解析】(1)曲线的极坐标方程是化为直角坐标方程为:,直线的直角坐标方程为:.
所以圆心到直线的距离(弦心距),
圆心到直线的距离为:,
所以
所以或,
(2)曲线C的方程可化为,其参数方程为(为参数)
因为为曲线C上任意一点,
所以的取值范围是.
【点睛】本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化,圆的参数方程的应用以及直线和圆的位置关系.
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