【数学】2020届一轮复习北师大版极坐标系作业 9页

‎1.极坐标为‎2‎π,‎‎7π‎4‎的点的直角坐标为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.(π,π) B.(π,-π)‎ C.(-π,π) D.(-π,-π)‎ 解析:设点的直角坐标为(x,y),则有x=‎2‎π·cos‎7π‎4‎=π,y=‎2‎π·sin‎7π‎4‎=-π,故直角坐标为(π,-π).‎ 答案:B ‎2.下列极坐标对应的点中,在直角坐标平面的第三象限内的是(　　)‎ A.(3,4) B.(4,3) C.(3,5) D.(5,6)‎ 答案:A ‎3.已知极坐标平面内的点P‎2,-‎‎5π‎3‎,则点P关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为(　　)‎ A.‎2,‎π‎3‎,(1,‎3‎) B.‎2,-‎π‎3‎,(1,-‎3‎)‎ C.‎2,‎‎2π‎3‎,(-1,‎3‎) D.‎2,-‎‎2π‎3‎,(-1,-‎3‎)‎ 解析:易知点P‎2,-‎‎5π‎3‎关于极点的对称点的极坐标为‎2,-‎‎2π‎3‎,由x=ρcos θ=2×cos‎-‎‎2π‎3‎=-1,y=ρsin θ=2×sin‎-‎‎2π‎3‎=-‎3‎,知点P关于极点的对称点的直角坐标为(-1,-‎3‎).‎ 答案:D ‎4.已知点M的直角坐标是(2,-2‎3‎),则在下列极坐标中,不是点M的极坐标的是(　　)‎ A.‎4,-‎π‎3‎ B.‎‎-4,‎‎2π‎3‎ C.‎4,-‎‎5π‎3‎ D.‎‎4,‎‎5π‎3‎ 解析:ρ=‎2‎‎2‎‎+(-2‎‎3‎‎)‎‎2‎=4,tan θ=‎-2‎‎3‎‎2‎=-‎3‎.‎ 又点M在第四象限,故点M的极坐标为‎4,-π‎3‎+2kπ或‎-4,‎2π‎3‎+2kπ,k∈Z.‎ 答案:C ‎5.若点M的极坐标为‎6,‎‎11π‎6‎,则点M关于y轴对称点的直角坐标为　　　　　. ‎ 解析:∵点M的极坐标为‎6,‎‎11π‎6‎,‎ ‎∴x=6cos‎11π‎6‎=6cosπ‎6‎=6×‎3‎‎2‎=3‎3‎,‎ y=6sin‎11π‎6‎=6sin‎-‎π‎6‎=-3,‎ ‎∴点M的直角坐标为(3‎3‎,-3),‎ ‎∴点M关于y轴对称的点的直角坐标为(-3‎3‎,-3).‎ 答案:(-3‎3‎,-3)‎ ‎6.已知点P在第三象限角的平分线上,且到横轴的距离为2,则当ρ>0,θ∈[0,2π)时,点P的极坐标为　　　　　. ‎ 解析:∵点P(x,y)在第三象限角的平分线上,且到横轴的距离为2,∴x=-2,且y=-2.‎ ‎∴ρ=x‎2‎‎+‎y‎2‎=2‎2‎.‎ 又tan θ=yx=1,且θ∈[0,2π),‎ ‎∴θ=‎5‎‎4‎π.‎ ‎∴点P的极坐标为‎2‎2‎,‎5‎‎4‎π.‎ 答案:‎‎2‎2‎,‎5‎‎4‎π ‎7.将下列极坐标化成直角坐标.‎ ‎(1)‎2‎‎,‎π‎4‎;(2)‎6,-‎π‎3‎;(3)(5,π).‎ 解(1)因为x=‎2‎·cosπ‎4‎=1,y=‎2‎·sinπ‎4‎=1,‎ 所以点‎2‎‎,‎π‎4‎的直角坐标为(1,1).‎ ‎(2)因为x=6·cos‎-‎π‎3‎=3,y=6·sin‎-‎π‎3‎=-3‎3‎.‎ 所以点‎6,-‎π‎3‎的直角坐标为(3,-3‎3‎).‎ ‎(3)因为x=5·cos π=-5,y=5·sin π=0,‎ 所以点(5,π)的直角坐标为(-5,0).‎ ‎8.导学号73144009分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π).‎ ‎(1)(-1,1);(2)(4,-4‎3‎);‎ ‎(3)‎3‎‎2‎π,‎3‎‎2‎π;(4)(-‎6‎,-‎2‎).‎ 解(1)ρ=‎(-1‎)‎‎2‎+‎‎1‎‎2‎‎=‎‎2‎,tan θ=-1,θ∈[0,2π),‎ 因为点(-1,1)在第二象限,所以θ=‎3π‎4‎,‎ 所以直角坐标(-1,1)化为极坐标为‎2‎‎,‎‎3π‎4‎.‎ ‎(2)ρ=‎4‎‎2‎‎+(-4‎‎3‎‎)‎‎2‎=8,tan θ=‎-4‎‎3‎‎4‎=-‎3‎,θ∈[0,2π),‎ 因为点(4,-4‎3‎)在第四象限,所以θ=‎5π‎3‎.‎ 所以直角坐标(4,-4‎3‎)化为极坐标为‎8,‎‎5π‎3‎.‎ ‎(3)ρ=‎3π‎2‎‎2‎‎+‎‎3π‎2‎‎2‎‎=‎‎3‎2‎π‎2‎,tan θ=‎3π‎2‎‎3π‎2‎=1,θ∈[0,2π),‎ 因为点‎3π‎2‎‎,‎‎3π‎2‎在第一象限,所以θ=π‎4‎.‎ 所以直角坐标‎3π‎2‎‎,‎‎3π‎2‎化为极坐标为‎3‎2‎π‎2‎‎,‎π‎4‎.‎ ‎(4)ρ=‎(-‎6‎‎)‎‎2‎+(-‎‎2‎‎)‎‎2‎=2‎2‎,tan θ=‎-‎‎2‎‎-‎‎6‎‎=‎‎3‎‎3‎,θ∈[0,2π),‎ 因为点(-‎6‎,-‎2‎)在第三象限,所以θ=‎7π‎6‎.‎ 所以直角坐标(-‎6‎,-‎2‎)化为极坐标为‎2‎2‎,‎‎7π‎6‎.‎ ‎9.在极坐标系中,如果A‎2,‎π‎4‎,B‎2,‎‎5π‎4‎为等腰直角三角形ABC的两个顶点,求直角顶点C的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)与该三角形的面积.‎ 解法一　利用坐标转化.‎ 对于点A‎2,‎π‎4‎,直角坐标为(‎2‎‎,‎‎2‎),点B‎2,‎‎5π‎4‎的直角坐标为(-‎2‎,-‎2‎).‎ 设点C的直角坐标为(x,y).‎ 由题意得AC⊥BC,且|AC|=|BC|,‎ 故AC‎·‎BC=0,‎ 即(x-‎2‎,y-‎2‎)·(x+‎2‎,y+‎2‎)=0,‎ ‎(x-‎2‎)(x+‎2‎)+(y-‎2‎)(y+‎2‎)=0.‎ 得x2+y2=4.①‎ 又∵|AC|2=|BC|2,‎ 于是(x-‎2‎)2+(y-‎2‎)2=(x+‎2‎)2+(y+‎2‎)2,‎ 即y=-x,代入①得x2=2,‎ 解得x=±‎2‎,‎ ‎∴‎x=‎2‎,‎y=-‎‎2‎或x=-‎2‎,‎y=‎2‎,‎ ‎∴点C的直角坐标为‎2‎‎,-‎‎2‎或‎-‎2‎,‎‎2‎.‎ ‎∴ρ=‎2+2‎=2,tan θ=-1,θ=‎7π‎4‎或‎3π‎4‎,‎ ‎∴点C的极坐标为‎2,‎‎3π‎4‎或‎2,‎‎7π‎4‎.‎ S△ABC=‎1‎‎2‎|AC||BC|=‎1‎‎2‎|AC|2=‎1‎‎2‎×8=4.‎ 法二　设点C的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0,0≤θ<2π),‎ ‎∵|AB|=2|OA|=4,∠C=π‎2‎,|AC|=|BC|,‎ ‎∴|AC|=|BC|=2‎2‎,‎ 即ρ‎2‎‎+‎2‎‎2‎-2×2ρcosθ-‎π‎4‎=8,　　　　①‎ρ‎2‎‎+‎2‎‎2‎-2×2ρcosθ-‎‎5π‎4‎=8,②‎ ‎①+②化简得ρ2=4,由ρ>0得ρ=2,‎ 代入①得cosθ-‎π‎4‎=0,‎ ‎∴θ-π‎4‎‎=‎π‎2‎+kπ,k∈Z,即θ=‎3π‎4‎+kπ,k∈Z,‎ 又0≤θ<2π,∴k可取0或1,‎ ‎∴θ=‎3π‎4‎或θ=‎7π‎4‎.‎ ‎∴点C的极坐标为‎2,‎‎3π‎4‎或‎2,‎‎7π‎4‎,‎ S△ABC=‎1‎‎2‎|AC||BC|=‎1‎‎2‎|AC|2=‎1‎‎2‎×8=4.‎ B组 ‎1.在极坐标系中,确定点M‎-2,‎π‎6‎的位置,下面方法正确的是(　　)‎ A.作射线OP,使∠xOP=π‎6‎,再在射线OP上取点M,使|OM|=2‎ B.作射线OP,使∠xOP=π‎6‎,再在射线OP的反向延长线上取点M,使|OM|=2‎ C.作射线OP,使∠xOP=‎7π‎6‎,再在射线OP的反向延长线上取点M,使|OM|=2‎ D.作射线OP,使∠xOP=-π‎6‎,再在射线OP上取点M,使|OM|=2‎ 答案:B ‎2.在极坐标系中,已知点A‎2,‎π‎6‎,B‎6,-‎π‎6‎,则OA与OB的夹角为(　　)‎ A.π‎6‎ B.0 C.π‎3‎ D.‎‎5π‎6‎ 解析:如图所示,夹角为π‎3‎.‎ 答案:C ‎3.在平面直角坐标系xOy中,点P的直角坐标为(1,-‎3‎).若以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P的极坐标可以是(　　)‎ A.‎2,-‎π‎3‎ B.‎‎2,‎‎4π‎3‎ C.‎1,-‎π‎3‎ D.‎‎2,-‎‎4π‎3‎ 解析:极径ρ=‎1‎‎2‎‎+(-‎‎3‎‎)‎‎2‎=2,极角θ满足tan θ=‎-‎‎3‎‎1‎=-‎3‎,∵点(1,-‎3‎)在第四象限,∴θ=-π‎3‎+2kπ(k∈Z).‎ 答案:A ‎4.在极坐标系中,已知点P‎2,‎π‎3‎和点Q‎2‎3‎,‎‎5π‎6‎,则PQ的中点M的极坐标可以是(　　)‎ A.‎2,‎π‎3‎ B.‎‎2,‎‎2π‎3‎ C.‎1+‎3‎,‎‎7π‎12‎ D.‎‎1+‎3‎,‎‎5π‎12‎ 解析:∵P‎2,‎π‎3‎,∴x=2cosπ‎3‎=1,‎y=2sinπ‎3‎=‎3‎,‎∴P(1,‎3‎).‎ ‎∵Q‎2‎3‎,‎‎5π‎6‎,∴‎x=2‎3‎cos‎5π‎6‎=-3,‎y=2‎3‎sin‎5π‎6‎=‎3‎,‎ ‎∴Q(-3,‎3‎).‎ ‎∴PQ的中点M的直角坐标为(-1,‎3‎).‎ ‎∴ρ2=(-1)2+(‎3‎)2=4,‎ ‎∴ρ=2,tan θ=‎3‎‎-1‎=-‎3‎,‎ ‎∴θ=‎2π‎3‎+2kπ,k∈Z.‎ 答案:B ‎5.已知极坐标系中,极点为坐标原点,0≤θ<2π,点M‎3,‎π‎3‎,则在直线OM上与点M之间的距离为4的点的极坐标为　　　　　　　　　　　　. ‎ 解析:如图所示,|OM|=3,∠xOM=π‎3‎,在直线OM上取点P,Q,使|OP|=7,|OQ|=1,显然有|PM|=|OP|-|OM|=7-3=4,|QM|=|OM|+|OQ|=3+1=4.‎ 所以点P,Q都满足条件.‎ 所以得点P‎7,‎π‎3‎,Q‎1,‎‎4π‎3‎.‎ 答案:‎‎7,‎π‎3‎或‎1,‎‎4π‎3‎ ‎6.在极坐标系中,已知点B‎3,‎π‎4‎,D‎3,‎‎7π‎4‎,试判断点B,D的位置是否具有对称性,并分别求出点B,D关于极点的对称点的极坐标(限定ρ>0,θ∈[0,2π)).‎ 解由点B‎3,‎π‎4‎,D‎3,‎‎7π‎4‎,知|OB|=|OD|=3,极角π‎4‎与‎7π‎4‎的终边关于极轴对称.所以点B,D关于极轴对称.‎ 设点B‎3,‎π‎4‎,D‎3,‎‎7π‎4‎关于极点的对称点分别为E(ρ1,θ1),F(ρ2,θ2),且ρ1=ρ2=3.‎ 当θ∈[0,2π)时,θ1=‎5π‎4‎,θ2=‎3π‎4‎,‎ 故E‎3,‎‎5π‎4‎,F‎3,‎‎3π‎4‎为所求对称点的极坐标.‎ ‎7.导学号73144010如图,已知△ABC三个顶点的极坐标分别为点A‎2,‎π‎2‎,B‎2,‎‎5π‎6‎,C‎3‎‎,‎‎5π‎3‎,极点O(0,0).‎ ‎(1)判断△OAB是否为等边三角形;‎ ‎(2)求△ABC的面积.‎ 解所给各点的直角坐标分别为A(0,2),B(-‎3‎,1),C‎3‎‎2‎‎,-‎‎3‎‎2‎,O(0,0).‎ ‎(1)∵|AB|=‎(-‎3‎-0‎)‎‎2‎+(1-2‎‎)‎‎2‎=2,|OA|=|OB|=2,∴△OAB为等边三角形.‎ ‎(2)∵|AC|=‎3‎‎2‎‎-0‎‎2‎‎+‎‎-‎3‎‎2‎-2‎‎2‎‎=‎‎13‎,|BC|=‎3‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎‎+‎‎-‎3‎‎2‎-1‎‎2‎‎=‎‎13‎,|AB|=2,‎ ‎∴△ABC为等腰三角形.‎ 设点D为AB的中点,连接CD.‎ ‎∵点D为‎-‎3‎‎2‎,‎‎3‎‎2‎,‎ ‎∴|CD|=‎3‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎‎2‎‎+‎‎-‎3‎‎2‎-‎‎3‎‎2‎‎2‎=2‎3‎,‎ ‎∴S△ABC=‎1‎‎2‎|AB||CD|=‎1‎‎2‎×2×2‎3‎=2‎3‎.‎