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- 2021-06-15 发布
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2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(五)
17.(本小题满分10分)
设.
(1)求的单调区间;
(2)在锐角中,角,,,的对边分别为,,,若,,求面积的最大值.
【答案】(1)单调递增区间是,单调递减区间是;
(2).
【解析】(1)由题意
,
由,可得,
由,可得,
所以的单调递增区间是,单调递减区间是
;
(2),,
由题意是锐角,所以;由余弦定理:,
可得,,且当时成立,
,面积最大值为.
18.(本小题满分12分)
如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,,,点E,F分别在AD,CD上,,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到的位置..
(1)证明:平面ABCD;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】(1)证明:由已知得,.
又由得,故.
因此,从而.
由,得.
由得.
所以,.
于是,故.
又,而,
所以平面.
(2)解:如图,以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系.
则,,,,,
,,.
设是平面的法向量,则,即,
所以可取.
设是平面的法向量,则,即,
所以可取.
于是..
因此二面角的正弦值是.
19.(本小题满分12分)
某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰,机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(1)求X的分布列;
(2)若要求,确定n的最小值;
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在与之中选其一,应选用哪个?
【答案】(1)详见解析;(2)19;(3).
【解析】(1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而
;
;
;
;
;
;
;
所以X的分布列为:
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
(2)由(1)知,,故n的最小值为19.
(3)记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).
当时,
(元).
当时,
(元).
可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值,故应选.
20.(本小题满分12分)
已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线与椭圆有且只有一个公共点.
(1)求椭圆的方程及点的坐标;
(2)设是坐标原点,直线平行于,与椭圆交于不同的两点、,且与直线交于点.证明:存在常数,使得,并求的值.
【答案】(1)椭圆的方程为.点的坐标为;(2).
【解析】(1)由已知,,则椭圆的方程为.
由方程组,得①.
方程①的判别式为,由,得,
此时方程①的解为,所以椭圆的方程为.点的坐标为.
(2)证明:由已知可设直线的方程为,
由方程组,可得,所以P点坐标为,.
设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
由方程组,可得.②
方程②的判别式为,
由,解得.
由②得,.
所以,
同理.
所以
.
故存在常数,使得.
21.(本小题满分14分)
已知函数,,.
(1)证明:当,;
(2)证明:时,存在,使得对,恒有;
(3)确定的所有可能取值,使得存在,对,恒有.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3).
【解析】(1)令,,
则有,
当,,所以在上单调递减,
故当时,,即当时,.
(2)令,,
则有,
当,,所以在上单调递增,,
故对任意正实数均满足题意.
当.令,得,
取,所以,恒有,所以在上单调递增,,即.
综上,当时,总存在,使得对,恒有.
(3)当时,由(1)知,对于,,故,
,
令,,
则有,
故当时,,
在上单调递增,故,
即,所以满足题意的不存在.
当时,由(2)知存在,使得当,恒有.
此时,
令,则有,
故当时,,
在上单调递增,故,
即,记与中较小的为,
则当,恒有,故满足题意的不存在.
当,由(1)知,当时,,
令,,则有,
当时,,所以在上单调递减,故,
故当时,恒有,此时,任意正实数满足题意.
综上,.
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