- 345.00 KB
- 2021-06-15 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2012年广东省高考数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)设i为虚数单位,则复数=( )
A.﹣4﹣3i B.﹣4+3i C.4+3i D.4﹣3i
2.(5分)设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,5},则∁UM=( )
A.{2,4,6} B.{1,3,5} C.{1,2,4} D.U
3.(5分)若向量=(1,2),=(3,4),则=( )
A.(4,6) B.(﹣4,﹣6) C.(﹣2,﹣2) D.(2,2)
4.(5分)下列函数为偶函数的是( )
A.y=sinx B.y=x3 C.y=ex D.
5.(5分)已知变量x,y满足约束条件,则z=x+2y的最小值为( )
A.3 B.1 C.﹣5 D.﹣6
6.(5分)在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3,则AC=( )
A. B. C. D.
7.(5分)某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )
A.72π B.48π C.30π D.24π
8.(5分)在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点,则弦AB的长等于( )
A.3 B.2 C. D.1
9.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入n的值为6,则输出s的值为( )
A.105 B.16 C.15 D.1
10.(5分)对任意两个非零的平面向量和,定义o=.若两个非零的平面向量,满足与的夹角θ∈(,)
,且o和o都在集合{|{n∈Z}中,则o=( )
A. B. C.1 D.
二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.(一)必做题(11~13题)(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)
11.(5分)函数y=的定义域是 .
12.(5分)若等比数列{an}满足a2a4=,则a1a32a5= .
13.(5分)由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为 .(从小到大排列)
14.(5分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1和C2的参数方程分别为
(θ为参数,)和(t为参数),则曲线C1和C2的交点坐标为 .
15.如图所示,直线PB与圆O相切于点B,D是弦AC上的点,∠PBA=∠DBA.若AD=m,AC=n,则AB= .
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(12分)已知函数,x∈R,且
(1)求A的值;
(2)设,,,求cos(α+β)的值.
17.(13分)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)求图中a的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.
分数段
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
x:y
1:1
2:1
3:4
4:5
18.(13分)如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,E是PB的中点,F是CD上的点且,PH为△PAD中AD边上的高.
(1)证明:PH⊥平面ABCD;
(2)若PH=1,,FC=1,求三棱锥E﹣BCF的体积;
(3)证明:EF⊥平面PAB.
19.(14分)设数列{an}前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn﹣n2,n∈N*.
(1)求a1的值;
(2)求数列{an}的通项公式.
20.(14分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:(a>b>0)的左焦点为F1(﹣1,0),且点P(0,1)在C1上.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.
21.(14分)设0<a<1,集合A={x∈R|x>0},B={x∈R|2x2﹣3(1+a)x+6a>0},D=A∩B.
(1)求集合D(用区间表示)
(2)求函数f(x)=2x3﹣3(1+a)x2+6ax在D内的极值点.
2012年广东省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)(2012•广东)设i为虚数单位,则复数=( )
A.﹣4﹣3i B.﹣4+3i C.4+3i D.4﹣3i
【分析】利用两个复数相除,分子和分母同时乘以分母的共轭复数,以及虚数单位i的幂运算性质,运算求得结果.
【解答】解:∵,
故选D.
2.(5分)(2012•广东)设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,5},则∁UM=( )
A.{2,4,6} B.{1,3,5} C.{1,2,4} D.U
【分析】直接根据集合的补集的定义以及条件,求出∁UM.
【解答】解:∵集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,5},则∁UM={2,4,6},
故选A.
3.(5分)(2012•广东)若向量=(1,2),=(3,4),则=( )
A.(4,6) B.(﹣4,﹣6) C.(﹣2,﹣2) D.(2,2)
【分析】由,,利用能求出.
【解答】解:∵,,
∴.
故选A.
4.(5分)(2012•广东)下列函数为偶函数的是( )
A.y=sinx B.y=x3 C.y=ex D.
【分析】结合选项,逐项检验是否满足f(﹣x)=f(x),即可判断
【解答】解:A:y=sinx,则有f(﹣x)=sin(﹣x)=﹣sinx为奇函数
B:y=x3,则有f(﹣x)=(﹣x)3=﹣x3=﹣f(x)为奇函数,
C:y=ex,则有f(﹣x)=,为非奇非偶函数.
D:y=ln,则有F(﹣x)=ln=f(x)为偶函数
故选D
5.(5分)(2012•广东)已知变量x,y满足约束条件,则z=x+2y的最小值为( )
A.3 B.1 C.﹣5 D.﹣6
【分析】先画出线性约束条件的可行域,再将目标函数赋予几何意义,数形结合即可得目标函数的最值
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).
由z=x+2y得y=﹣,
平移直线y=﹣,
由图象可知当直线y=﹣经过点B时,直线y=﹣的截距最小,
此时z最小.
由,解得,即B(﹣1,﹣2),
代入目标函数z=x+2y得z=﹣1+2×(﹣2)=﹣5.
即目标函数z=x+2y的最小值为﹣5.
故选:C.
6.(5分)(2012•广东)在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3,则AC=( )
A. B. C. D.
【分析】结合已知,根据正弦定理,可求AC
【解答】解:根据正弦定理,,
则
故选B
7.(5分)(2012•广东)某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )
A.72π B.48π C.30π D.24π
【分析】由题意,结合图象可得该几何体是圆锥和半球体的组合体,根据图中的数据即可计算出组合体的体积选出正确选项
【解答】解:由图知,该几何体是圆锥和半球体的组合体,球的半径是3,圆锥底面圆的半径是3,圆锥母线长为5,由圆锥的几何特征可求得圆锥的高为4,
则它的体积V=V圆锥+V半球体==30π
故选C
8.(5分)(2012•广东)在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点,则弦AB的长等于( )
A.3 B.2 C. D.1
【分析】由直线与圆相交的性质可知,,要求AB,只要求解圆心到直线3x+4y﹣5=0的距离
【解答】解:由题意可得,圆心(0,0)到直线3x+4y﹣5=0的距离,
则由圆的性质可得,,
即.
故选B
9.(5分)(2012•广东)执行如图所示的程序框图,若输入n的值为6,则输出s的值为( )
A.105 B.16 C.15 D.1
【分析】本循环结构是当型循环结构,它所表示的算式为s=1×3×5×…×(2i﹣1),由此能够求出结果.
【解答】解:如图所示的循环结构是当型循环结构,
它所表示的算式为s=1×3×5×…×(2i﹣1)
∴输入n的值为6时,输出s的值s=1×3×5=15.
故选C.
10.(5分)(2012•广东)对任意两个非零的平面向量和,定义o=.若两个非零的平面向量,满足与的夹角θ∈(,)
,且o和o都在集合{|{n∈Z}中,则o=( )
A. B. C.1 D.
【分析】先求出 •=,n∈N,•=,m∈N,再由cos2θ=∈( 0, ),故 m=n=1,从而求得 •= 的值.
【解答】解:∵°•=====,n∈N.
同理可得 °•====,m∈N.
再由与的夹角,可得cosθ∈(0,),
∴cos2θ=∈( 0, ),故 m=n=1,
∴•==,
故选:D.
二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.(一)必做题(11~13题)(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)
11.(5分)(2012•广东)函数y=的定义域是 [﹣1,0)∪(0,+∞) .
【分析】根据影响定义域的因素知,分母不为零,且被开方式非负,即,解此不等式组即可求得函数的定义域.
【解答】解:要使函数有意义,须,
解得x≥﹣1且x≠0
∴函数的定义域是[﹣1,0)∪(0,+∞).
故答案为[﹣1,0)∪(0,+∞).
12.(5分)(2012•广东)若等比数列{an}满足a2a4=,则a1a32a5= .
【分析】由等比数列{an}的性质可得=
,再次利用等比数列的定义和性质可得.
【解答】解:∵等比数列{an}满足=,则,
故答案为 .
13.(5分)(2012•广东)由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为 1,1,3,3 .(从小到大排列)
【分析】由题意,可设x1≤x2≤x3≤x4,,根据题设条件得出x1+x2+x3+x4=8,,再结合中位数是2,即可得出这组数据的值.
【解答】解:不妨设x1≤x2≤x3≤x4,,
依题意得x1+x2+x3+x4=8,
,即,所以(x4﹣2)2<4,则x4<4,
结合x1+x2+x3+x4=8,及中位数是2,只能x1=x2=1,x3=x4=3,则这组数据为1,1,3,3.
故答案为:1,1,3,3.
14.(5分)(2012•广东)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1和C2的参数方程分别为(θ为参数,)和(t为参数),则曲线C1和C2的交点坐标为 (2,1) .
【分析】先把曲线C1和C2的参数方程化为普通方程,然后联立直线与曲线方程可求交点坐标
【解答】解:曲线C1的普通方程为x2+y2=5(),曲线C2的普通方程为y=x﹣1
联立方程x=2或x=﹣1(舍去),
则曲线C1和C2的交点坐标为(2,1).
故答案为:(2,1)
15.(2012•广东)如图所示,直线PB与圆O相切于点B,D是弦AC上的点,∠PBA=∠DBA.若AD=m,AC=n,则AB= .
【分析】利用题设条件,由弦切角定理得∠PBA=∠C=∠DBA,故△ABD∽△ACB,,由此能求出结果.
【解答】解:如图所示,直线PB与圆O相切于点B,D是弦AC上的点,
∵∠PBA=∠DBA.若AD=m,AC=n,
∴由弦切角定理得∠PBA=∠C=∠DBA,
∴△ABD∽△ACB,
∴,
∴AB2=AC•AD=mn,
即.
故答案为:.
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(12分)(2012•广东)已知函数,x∈R,且
(1)求A的值;
(2)设,,,求cos(α+β)的值.
【分析】(1)将代入函数解析式,利用特殊角三角函数值即可解得A的值;
(2)先将,代入函数解析式,利用诱导公式即可得sinα、cosβ的值,再利用同角三角函数基本关系式,即可求得cosα、sinβ的值,最后利用两角和的余弦公式计算所求值即可
【解答】解:(1),解得A=2
(2),即
,即
因为,
所以,,
所以.
17.(13分)(2012•广东)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)求图中a的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.
分数段
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
x:y
1:1
2:1
3:4
4:5
【分析】(1)由频率分布直方图的性质可10(2a+0.02+0.03+0.04)=1,解方程即可得到a的值;
(2)由平均数加权公式可得平均数为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05,计算出结果即得;
(3)按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数,从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[50,90)之外的人数.
【解答】解:(1)依题意得,10(2a+0.02+0.03+0.04)=1,解得a=0.005;
(2)这100名学生语文成绩的平均分为:55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73(分);
(3)数学成绩在[50,60)的人数为:100×0.05=5,
数学成绩在[60,70)的人数为:,
数学成绩在[70,80)的人数为:,
数学成绩在[80,90)的人数为:,
所以数学成绩在[50,90)之外的人数为:100﹣5﹣20﹣40﹣25=10.
18.(13分)(2012•广东)如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,AB⊥平面PAD,AB
∥CD,PD=AD,E是PB的中点,F是CD上的点且,PH为△PAD中AD边上的高.
(1)证明:PH⊥平面ABCD;
(2)若PH=1,,FC=1,求三棱锥E﹣BCF的体积;
(3)证明:EF⊥平面PAB.
【分析】(1)因为AB⊥平面PAD,所以PH⊥AB,因为PH为△PAD中AD边上的高,所以PH⊥AD,由此能够证明PH⊥平面ABCD.
(2)连接BH,取BH中点G,连接EG,因为E是PB的中点,所以EG∥PH,因为PH⊥平面ABCD,所以EG⊥平面ABCD,由此能够求出三棱锥E﹣BCF的体积.
(3)取PA中点M,连接MD,ME,因为E是PB的中点,所以,因为ME,所以MEDF,故四边形MEDF是平行四边形.由此能够证明EF⊥平面PAB.
【解答】解:(1)证明:∵AB⊥平面PAD,
∴PH⊥AB,
∵PH为△PAD中AD边上的高,
∴PH⊥AD,
∵AB∩AD=A,
∴PH⊥平面ABCD.
(2)如图,连接BH,取BH中点G,连接EG,
∵E是PB的中点,
∴EG∥PH,
∵PH⊥平面ABCD,
∴EG⊥平面ABCD,
则,
∴=
(3)证明:如图,取PA中点M,连接MD,ME,
∵E是PB的中点,
∴ME,
∵,
∴MEDF,
∴四边形MEDF是平行四边形,
∴EF∥MD,
∵PD=AD,∴MD⊥PA,
∵AB⊥平面PAD,∴MD⊥AB,
∵PA∩AB=A,∴MD⊥平面PAB,
∴EF⊥平面PAB.
19.(14分)(2012•广东)设数列{an}前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn﹣n2,n∈N*.
(1)求a1的值;
(2)求数列{an}的通项公式.
【分析】(1)当n=1时,T1=2S1﹣1.由T1=S1=a1,所以a1=2a1﹣1,能求出a1.
(2)当n≥2时,Sn=Tn﹣Tn﹣1=2Sn﹣n2﹣[2Sn﹣1﹣(n﹣1)2]=2Sn﹣2Sn﹣1﹣2n+1,所以Sn=2Sn﹣1+2n﹣1,Sn+1=2Sn+2n+1,故an+1=2an+2,所以=2(n≥2),由此能求出数列{an}的通项公式.
【解答】解:(1)当n=1时,T1=2S1﹣1
因为T1=S1=a1,所以a1=2a1﹣1,求得a1=1
(2)当n≥2时,
所以Sn=2Sn﹣1+2n﹣1①
所以Sn+1=2Sn+2n+1②
②﹣①得 an+1=2an+2
所以an+1+2=2(an+2),即(n≥2)
求得a1+2=3,a2+2=6,则
所以{an+2}是以3为首项,2为公比的等比数列
所以
所以,n∈N*.
20.(14分)(2012•广东)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:(a>b>0)的左焦点为F1(﹣1,0),且点P(0,1)在C1上.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.
【分析】(1)因为椭圆C1的左焦点为F1
(﹣1,0),所以c=1,点P(0,1)代入椭圆,得b=1,由此能求出椭圆C1的方程.
(2)设直线l的方程为y=kx+m,由,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0.因为直线l与椭圆C1相切,所以△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)=0.由此能求出直线l的方程.
【解答】解:(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(﹣1,0),所以c=1,
点P(0,1)代入椭圆,得,即b=1,
所以a2=b2+c2=2
所以椭圆C1的方程为.
(2)直线l的斜率显然存在,
设直线l的方程为y=kx+m,
由,消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0,
因为直线l与椭圆C1相切,
所以△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)=0
整理得2k2﹣m2+1=0①
由,消去y并整理得k2x2+(2km﹣4)x+m2=0
因为直线l与抛物线C2相切,所以△=(2km﹣4)2﹣4k2m2=0
整理得km=1②
综合①②,解得或
所以直线l的方程为或.
21.(14分)(2012•广东)设0<a<1,集合A={x∈R|x>0},B={x∈R|2x2﹣3(1+a)x+6a>0},D=A∩B.
(1)求集合D(用区间表示)
(2)求函数f(x)=2x3﹣3(1+a)x2+6ax在D内的极值点.
【分析】(1)根据题意先求不等式2x2﹣3(1+a)x+6a>0的解集,判别式△=9(1+a)2﹣48a=9a2﹣30a+9=3(3a﹣1)(a﹣3),通过讨论△>0,△=0,△<0分别进行求解.
(2)对函数f(x)求导可得f′(x)=6x2﹣6(1+a)x+6a=6(x﹣a)(x﹣1),由f′(x)=0,可得x=a或x=1,结合(1)中的a的范围的讨论可分别求D,然后由导数的符号判定函数f(x)的单调性,进而可求极值
【解答】解:(1)令g(x)=2x2﹣3(1+a)x+6a,△=9(1+a)2﹣48a=9a2﹣30a+9=3(3a﹣1)(a﹣3).
①当时,△≥0,
方程g(x)=0的两个根分别为,
所以g(x)>0的解集为
因为x1,x2>0,所以D=A∩B=
②当时,△<0,则g(x)>0恒成立,所以D=A∩B=(0,+∞)
综上所述,当时,D=
;
当时,D=(0,+∞).
(2)f′(x)=6x2﹣6(1+a)x+6a=6(x﹣a)(x﹣1),
令f′(x)=0,得x=a或x=1,
①当时,由(1)知D=(0,x1)∪(x2,+∞)
因为g(a)=2a2﹣3(1+a)a+6a=a(3﹣a)>0,g(1)=2﹣3(1+a)+6a=3a﹣1≤0
所以0<a<x1<1≤x2,
所以f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:
x
(0,a)
a
(a,x1)
(x2,+∞)
f′(x)
+
0
﹣
+
f(x)
↗
极大值
↘
↗
所以f(x)的极大值点为x=a,没有极小值点.
②当时,由(1)知D=(0,+∞)
所以f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:
x
(0,a)
a
(a,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
﹣
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x)的极大值点为x=a,极小值点为x=1
综上所述,当时,f(x)有一个极大值点x=a,没有极小值点;
当时,f(x)有一个极大值点x=a,一个极小值点x=1.
参与本试卷答题和审题的老师有:caoqz;zlzhan;吕静;xize;xintrl;394782;邢新丽(排名不分先后)
2017年2月3日
相关文档
- 2006年广东省高考数学试卷【附答案2021-06-157页
- 2012年湖北省高考数学试卷(理科)2021-06-1528页
- 2005年海南省高考数学试卷Ⅰ(理)【附2021-06-156页
- 2012年江苏省高考数学试卷2021-06-1528页
- 2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新2021-06-1525页
- 2013年全国统一高考数学试卷(理科)(大2021-06-1522页
- 2014年福建省高考数学试卷(文科)2021-06-1521页
- 2015年湖北省高考数学试卷(文科)2021-06-1525页
- 2009年北京市高考数学试卷(理科)【wo2021-06-1510页
- 2015年广东省高考数学试卷(理科)2021-06-1521页