2020_2021学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2 36页

2.1 　等式性质与不等式性质 第 2 课时　不等式的性质 必备知识 · 自主学习 导思 1. 等式有哪些性质？ 2. 不等式基本性质有哪些？ 1. 等式的性质 性质 1 如果 a=b ，那么 b=a 性质 2 如果 a=b ， b=c ，那么 ____ 性质 3 如果 a=b ，那么 a±c=_____ 性质 4 如果 a=b ，那么 ac=bc 性质 5 如果 a=b ， c≠0 ，那么 = a=c b±c 本质：性质 1 ， 2 反映了相等关系自身的特性，性质 3 ， 4 ， 5 是从运算角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变性 . 应用：处理等式运算过程中的依据 . 【 思考 】 想一想，以前我们用等式基本性质解决过哪些问题？ 提示： 解方程过程中的去分母、移项、系数化为 1 的步骤都是利用了等式的性质 . 2. 不等式的性质 别名 性质内容 注意 性质 1 对称性 a>b⇔bb ， b>c⇒____ 同向 性质 3 可加性 a>b⇒a+c>b+c 可逆 性质 3 的推论 移项 法则 a+b>c⇒______ 可逆 a>c a>c-b 别名 性质内容 注意 性质 4 可乘性 a>b ， c>0⇒ac>bc a>b ， c<0⇒______ c 的符号 性质 5 同向 可加性 a>b ， c>d⇒________ 同向 性质 6 同向同 正可乘性 a>b>0 ， c>d>0⇒ ______ 同向 同正 性质 7 可乘方性 a>b>0⇒_____ (n∈N ， n≥2) 同正 acb+d ac>bd a n >b n 本质：不等式的性质是由等式性质类比而得到的，是解决不等式问题的基本依据 . 应用：判断证明不等式是否成立，解不等式问题时的依据 . 【 思考 】 使用性质 6 ， 7 时，要注意什么条件？ 提示： 各个数均为正数 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”，错的打“ ×”) (1)a>b 且 c>d ，则 a-c>b-d. ( 　　 ) (2) 若 a+c>b+d ，则 a>b ， c>d. ( 　　 ) (3) 若 a>b>c ，则 a-c>b-c. ( 　　 ) 提示： (1)×. 例如 5>3 且 4>1 时，则 5-4>3-1 是错的，故 (1) 错 . (2)×. 取 a=4 ， c=5 ， b=6 ， d=2. 满足 a+c>b+d ，但不满足 a>b. (3)√. 2.( 教材二次开发：例题改编 ) 若 a>b>0 ， c B. < C. > D. < 【 解析 】 选 D. 因为 c-d>0 ， 所以 >0. 又 a>b>0 ，所以 ， 所以 < . 3. 下列命题中一定正确的是 ( 　　 ) A. 若 ab ， b≠0 ，则 >1 C. 若 a>b ，且 a+c>b+d ，则 c>d D. 若 a>b 且 ac>bd ，则 c>d 【 解析 】 选 A. 对于 A 项，因为 ，所以 - <0 ，即 <0 ，又 a0 ，所以 ab<0 ；对于 B 项，当 a>0 ， b<0 时，有 <0<1 ，故 B 项错；对于 C 项，当 a=10 ， b=3 时，虽有 10+1>3+2 ，但 1<2 ，故 C 项错；对于 D 项，当 a=-1 ， b=-2 时，有 (-1)×(-1)>(-2)×7 ，但 -1<7 ，故 D 项错 . 关键能力 · 合作学习 类型一　利用不等式的性质判断命题真假 ( 数学抽象、逻辑推理 ) 【 题组训练 】 1. 若 a>b>c ，则下列不等式成立的是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. > B. < C. > D. < 2. 设 a ， b ， c∈R ，且 a>b ，则 ( 　　 ) A.ac 2 >bc 2 B. C.a 4 >b 4 D.a 3 >b 3 3. 已知 a ， b 为非零实数，且 ab>c ，所以 a-c>b-c>0. 所以 < . 2. 选 D.A 中， c=0 时，由 a>b 不能得到 ac 2 >bc 2 ，故不正确； B 中，当 a>0 ， b<0( 如 a=1 ， b=-2) 时，由 a>b 不能得到 < ，故不正确； C 中，当 a=-1 ， b=-5 时， a>b ，而 a 4 0 时， a 2 b>0 ， ab 2 <0 ， a 2 b0 ，所以 ； 对于 D ，当 a=-1 ， b=1 时， = =-1. 【 解题策略 】 运用不等式的性质判断命题真假的技巧 (1) 要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质 . (2) 解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算 . 类型二　证明不等式 ( 逻辑推理 ) 　角度 1 　利用不等式的性质证明不等式  【 典例 】 已知 c>a>b>0 ，求证： 【 思路导引 】 利用不等式的性质，先证明 ，再由 得到 . 【 证明 】 方法一：因为 a>b>0 ，所以 < ， 因为 c>0 ，所以 < ， 所以 -1< -1 ，即 < ， 因为 c>a>b>0 ，所以 c-a>0 ， c-b>0. 所以 > . 方法二：因为 c>a>b>0 ， 所以 0 >0 ， 又因为 a>b>0 ，所以 > . 【 变式探究 】 将本例中的条件“ c>a>b>0” 变为“ a>b>0 ， c<0” ，试证明： > . 【 证明 】 因为 a>b>0 ，所以 ab>0 ， >0. 于是 a× >b× ，即 > . 由 c<0 ，得 > . 角度 2 　利用作差法证明不等式  【 典例 】 若 a<0 ， b<0 ， p= ， q=a+b. 求证： p≤q. 【 思路导引 】 利用作差法证明 . 【 证明 】 p-q= -a-b 因为 a<0 ， b<0 ，所以 a+b<0 ， ab>0. 若 a=b ，则 p-q=0 ，故 p=q ； 若 a≠b ，则 p-q<0 ，故 pb>0 ， c>d>0 ，证明： ac>bd. 【 证明 】 ⇒ac>bd. 2. 已知 a ， b ， c∈R ，求证： a 2 +b 2 +c 2 ≥ab+bc+ca. 【 证明 】 因为 2(a 2 +b 2 +c 2 )-2(ab+bc+ca) =a 2 +b 2 -2ab+b 2 +c 2 -2bc+a 2 +c 2 -2ac =(a-b) 2 +(b-c) 2 +(a-c) 2 ，又 a ， b ， c∈R ， 所以 (a-b) 2 ≥0 ， (b-c) 2 ≥0 ， (a-c) 2 ≥0 ， 所以 (a-b) 2 +(b-c) 2 +(a-c) 2 ≥0. 当且仅当 a=b=c 时，取“ =” ，所以 2(a 2 +b 2 +c 2 )≥2(ab+bc+ca) ， 即 a 2 +b 2 +c 2 ≥ab+bc+ca. 【 补偿训练 】 　　 已知 a+b>0 ，求证： ≥ + . 【 证明 】 - = =(a-b)· = . 因为 a+b>0 ， (a-b) 2 ≥0 ， 所以 ≥ 0. 所以 类型三　利用不等式的性质求代数式的取值范围 ( 逻辑推理、数学运算 ) 【 典例 】 已知 -60 ， b<0 ，那么 a ， b ， -a ， -b 的大小是 ( 　　 ) A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b C.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b 【 解析 】 选 C. 令 a=5 ， b=-2 满足 a+b>0 ， 所以 a>-b>b>-a. 2. 若 a>b>c 且 a+b+c=0 ，则下列不等式中正确的是 ( 　　 ) A.ab>ac B.ac>bc C.a|b|>c|b| D.a 2 >b 2 >c 2 【 解析 】 选 A. 由 a>b>c 及 a+b+c=0 知 a>0 ， c<0 ， ⇒ ab>ac. 3.( 教材二次开发：习题改编 ) 已知 a ， b ， m 是正实数，则不等式 ( 　　 ) A. 当 a>b 时成立 B. 当 a0 ， b>0 ， m>0 ，所以 a+m>0. 所以 a-b<0 ，所以 a0” 是“ a 2 -b 2 >0” 的 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【 解析 】 选 A. >0⇒ > ⇒a>b>0⇒a 2 >b 2 ，但由 a 2 -b 2 >0⇒/ >0. 不等式 的性质 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 利用不等式性质判断正误的方法： (1) 直接法 : 正确的说法利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明 ; 说法错误的只需举出一个反例即可。 (2) 特殊值法 : 取值的原则 : 一是满足题设条件 ; 二是取值要简单，便于验证计算 ; 三是所取的值要有代表性 . （1）不等式两边同乘或除以负数时，要变号 ; （2）同乘或除以代数式时，要注意代数式的正负分类讨论 逻辑推理： 通过等式性质，类比推理不等式性质， 培养 逻辑推理的核心素养 数学建模： 不等式的实际应用， 培养 数学建模的核心素养 对称性，传递性 同加保序性 乘正保序性 移项法则 正数同向可乘性 乘负反序性 正数乘方保序性