北京市通州区2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析 15页

‎2019-2020学年北京市通州区高二（下）期中数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎1. 函数f（x）＝lnx的定义域是（ ）‎ A. （0，+∞） B. [0，+∞）‎ C. （﹣∞，0）∪（0，+∞） D. R ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数的定义域选出正确选项.‎ ‎【详解】由于是对数函数，所以其定义域为.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查对数函数的定义域，属于基础题.‎ ‎2. 下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对选项逐一分析函数在区间上的单调性，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项，在上递增，不符合题意；‎ 对于B选项，在上递增，不符合题意；‎ 对于C选项，在上递减，符合题意；‎ 对于D选项，在上递增，不符合题意；‎ 故选：C - 15 -‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的单调性，属于基础题.‎ ‎3. 已知函数，那么方程f（x）＝0的解是（ ）‎ A. B. x＝1 C. x＝e D. x＝1或x＝e ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过解方程求得的解.‎ ‎【详解】依题意，所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查函数零点的求法，属于基础题.‎ ‎4. 已知函数f（x）＝ex（1+x），那么不等式f（x）＜0的解集是（ ）‎ A. （﹣∞，﹣e） B. （﹣∞，﹣1） C. （﹣∞，1） D. （﹣∞，e）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合指数函数的性质，求得不等式的解集.‎ ‎【详解】由于对任意，，所以不等式，所以不等式的解集为 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查含有指数函数的不等式的解法，属于基础题.‎ ‎5. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，那么等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B - 15 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据诱导公式化简得，再根据三角函数单位圆定义即可求得答案.‎ ‎【详解】解：根据题意，由三角函数的单位圆定义得： ‎ ‎∴‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的定义，诱导公式，是基础题.‎ ‎6. 已知等比数列{an}的公比为，且a2＝﹣2，那么a6等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列通项公式求得.‎ ‎【详解】由于是等比数列，所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.‎ ‎7. 已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，那么该双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据和的关系求得离心率.‎ ‎【详解】由于双曲线的渐近线为，所以，‎ - 15 -‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题.‎ ‎8. 已知函数f（x）＝2ax2+（a+2）x+1（a＜0），那么不等式f（x）＞0的解集是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对因式分解，比较所得两根的大小，由此求得的解集.‎ ‎【详解】依题意，令，‎ 由于，故解得，且，‎ 所以解集为.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎9. 已知关于x的不等式2x﹣a＞0在区间上有解，那么实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分离常数法，结合指数函数的性质，求得的取值范围.‎ - 15 -‎ ‎【详解】由于关于的不等式在区间上有解，‎ 所以存在，使得，也即，‎ 由于在上递增，当时，，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查存在性问题的求解，属于基础题.‎ ‎10. 已知函数，若函数g（x）＝f（x）+2x+lna（a＞0）有2个零点，则数a的最小值是（ ）‎ A. B. C. 1 D. e ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，将问题转化为函数与函数的图象有两个不同的交点来求解.‎ ‎【详解】令得，若有两个零点，则函数与函数的图象有两个不同的交点.‎ 画出函数与函数的图象如下图所示，当直线过点时，两个函数图象有两个交点，此时.由图可知，当直线向下平移时，可使两个函数图象有两个交点，所以，所以的最小值为.‎ 故选：A - 15 -‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数零点问题的求解，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11. 在△ABC中，已知AC＝2，BC＝3，B＝，那么sinA＝_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理列方程，解方程求得.‎ ‎【详解】依题意，由正弦定理得，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题.‎ ‎12. 已知等差数列{an}满足a1＝1，a3＝5，那么数列{an}的前8项和S8＝_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得，再求得.‎ ‎【详解】依题意，所以.‎ 故答案为：‎ - 15 -‎ ‎【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前项和公式，属于基础题.‎ ‎13. 已知抛物线的标准方程为，那么该抛物线的准线方程是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的方程直接求解即可.‎ ‎【详解】解：因为抛物线的标准方程为，‎ 所以抛物线的焦点在正半轴上，且，‎ 所以抛物线的准线方程为：.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的准线方程，是基础题.‎ ‎14. 已知二次函数f（x）＝ax2﹣2x+1在区间[1，3]上是单调函数，那么实数a的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数的性质列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】由于为二次函数，所以，其对称轴为，‎ 要使在区间上是单调函数，则需其对称轴在区间两侧，‎ 即或，‎ 解得，或，或，‎ 所以的取值范围是 - 15 -‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查二次函数的单调性，属于中档题.‎ ‎15. 已知函数，若对于任意x∈[t，t+1]，不等式恒成立，那么实数t的最大值是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断函数的奇偶性、单调性，根据函数的单调性进行求解即可.‎ ‎【详解】当时，，而，函数单调递增，‎ 当时，，而，函数单调递减，而，‎ 所以函数是实数集上的奇函数且是递增函数，‎ 因此有：，‎ 因为x∈[t，t+1]，所以x∈[，]，‎ 要想对于任意x∈[t，t+1]，不等式恒成立，‎ 则有，实数t的最大值是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了已知不等式恒成立求参数问题，考查了奇函数的单调性的应用，考查了数学运算能力.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证期过程或演算步骤．‎ ‎16. 已知等比数列的公比，且，．‎ ‎（Ⅰ）求数列通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和 ．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ - 15 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）直接根据等比数列的通项公式列式解方程计算即可；‎ ‎（Ⅱ）先求出，再根据分组求和的方法求解即可得答案.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）根据题意得：，，‎ 两式相除得：，由于，故， ，‎ 所以数列的通项公式为：.‎ ‎（Ⅱ）根据题意得：，‎ 根据分组求和的方法得：‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式的求法，分组求和法，考查运算能力，是基础题.‎ ‎17. 在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 ‎（Ⅰ）求b的值；‎ ‎（Ⅱ）求ABC的面积．‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）利用余弦定理列方程，解方程求得的值.‎ ‎（II）先求得的值，再根据三角形的面积公式求得三角形的面积.‎ ‎【详解】（I）依题意，‎ 即，‎ 即，‎ 解得（负根舍去）.‎ - 15 -‎ ‎（II）由于，所以，‎ 所以 ‎【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.‎ ‎18. 已知函数f（x）＝sinxcosx﹣sin2x．‎ ‎（Ⅰ）求的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（I）；（II）最大值为，最小值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）化简解析式，利用整体代入法求得的单调递增区间；‎ ‎（II）根据三角函数最值的求法，求得在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【详解】（I）.‎ 由，得 ‎，即，‎ 所以的单调递增区间为.‎ ‎（II）由于，所以，‎ 所以，，‎ ‎.‎ - 15 -‎ 所以在区间上的最大值为，最小值.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角函数单调区间的求法，考查三角函数在给定区间上的最值的求法，属于中档题.‎ ‎19. 如图，在三棱柱中，平面,，分别是的中点 ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（3）在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成二面角为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）不存在.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点，连接，交于点，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面.‎ ‎（2）以所在的直线为轴、轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得则和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解；‎ ‎（3）设，求得平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解.‎ - 15 -‎ ‎【详解】（1）取的中点，连接，交于点，可知为的中点，‎ 连接，易知四边形为平行四边形，所以，‎ 又平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）分别以所在的直线为轴、轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 可得，‎ 则，‎ 设平面法向量为，‎ 则，即，令，可得，即，‎ 所以，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎（3）假设在棱是存在一点，设，可得，‎ 由，可得，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即，令，可得，即，‎ 又由平面一个法向量为，‎ 所以，‎ 因为平面与平面所成二面角为，‎ 可得，解得，‎ 此时，不符合题意，‎ - 15 -‎ 所以在棱上不存在一点，使得平面与平面所成二面角为.‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.‎ ‎20. 已知函数f（x）满足f（x）+2f（﹣x）＝x+m，m∈R．‎ ‎（Ⅰ）若m＝0，求f（2）的值；‎ ‎（Ⅱ）求证：；‎ ‎（Ⅲ）若对于任意x∈[1，e]，都有成立，求m的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）当m＝0时，分别在函数解析式中赋值，令和，列出方程组，解出的值；‎ ‎（Ⅱ）在原式中，以﹣x代换x，联立两个方程，解出可证明命题成立；‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）代入解析式，参变分离，利用对数函数的单调性求出最值，代入不等式求出m的取值范围．‎ ‎【详解】（Ⅰ）m＝0时，f（x）+2f（﹣x）＝x，‎ 时，‎ - 15 -‎ 时，，即，代入上式，解得 ‎（Ⅱ）证明：由f（x）+2f（﹣x）＝x+m 可得f（﹣x）+2f（x）＝﹣x+m，解得f（﹣x）＝﹣2f（x）﹣x+m，代入上式，解得 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）‎ ‎，即 化简得：‎ 又在[1，e]上单调递减 综上：m的取值范围为 ‎【点睛】本题考查函数不等式的恒成立问题，考查函数解析式的求法，考查学生逻辑思维能力，属于中档题．‎ ‎21. 已如椭圆C：＝1（a＞b＞0）的有顶点为M（2，0），且离心率e＝，点A，B是椭圆C上异于点M的不同的两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线MA与直线MB的斜率分别为k1，k2，若k1•k2＝，证明：直线AB一定过定点．‎ ‎【答案】（I）；（II）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据顶点坐标求得，根据离心率求得，由此求得，进而求得椭圆方程.‎ ‎（II）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出根与系数关系，根据，求得的关系式，由此判断直线过定点.‎ ‎【详解】（I）由于是椭圆的顶点，所以，由于，所以，所以 - 15 -‎ ‎，所以椭圆方程为.‎ ‎（II）由于是椭圆上异于点的不同的两点，所以可设直线的方程为，设，由消去并化简得 ‎，所以 ‎，即.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，解得，所以直线的方程为，过定点.‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题.‎ - 15 -‎