人教新课标A版数学高三高考卷 08 普通高等学校招生全国统一考试数学（福建卷·理科）（附答案，完全word版） 13页

2008 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理工农医类）（福建卷） 第Ⅰ卷（选择题共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 (1)若复数(a2-3a+2)+(a-1)i 是纯虚数，则实数 a 的值为 A.1 B.2 C.1 或 2 D.-1 (2)设集合 A={x| 1 x x  ＜0},B={x|0＜x＜3},那么“mA”是“mB”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (3)设｛an｝是公比为正数的等比数列，若 n1=7,a5=16,则数列｛an｝前 7 项的和为 A.63 B.64 C.127 D.128 (4)函数 f(x)=x3+sinx+1(xR)，若 f(a)=2,则 f(-a)的值为 A.3 B.0 C.-1 D.-2 (5)某一批花生种子，如果每 1 粒发牙的概率为 4 5 ,那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是 A. 16 625 B. 96 625 C. 192 625 D. 256 625 (6)如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 A. 6 3 B. 2 6 5 C. 15 5 D. 10 5 (7)某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1 名女生，那 么不同的选派方案种数为 A.14 B.24 C.28 D.48 (8)若实数 x、y 满足 1 0 0 x y x      ，则 y x 的取值范围是 A.(0,1) B. 0,1 C.(1,+  ) D. 1, (9)函数 f(x)=cosx(x)(xR)的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数 y=-f′(x)的图象，则 m 的值 可以为 A. 2  B. C.－ D.－ 2  (10)在△ABC 中，角 ABC 的对边分别为 a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB= 3ac ,则角 B 的值为 A. 6  B. 3  C. 6  或 5 6  D. 3  或 2 3  (11)又曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b＞0）的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双 曲线离心率的取值范围为 A.(1,3) B. 1,3 C.(3,+  ) D. 3, (12)已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能是 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在答题卡的相应位置. （13）若(x-2)5=a3x5+a5x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则 a1+a2+a3+a4+a5=__________.(用数字作答) x=1+cos (14)若直线 3x+4y+m=0 与圆 y=-2+sin （ 为参数）没有公共点，则实数 m 的取值范围是 . （15）若三棱锥的三个侧圆两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是 . （16）设 P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 a、b∈R，都有 a+b、a-b， ab、 a b ∈P （除数 b≠0），则称 P 是一个数域.例如有理数集 Q 是数域；数集  2 ,F a b a b Q   也是数 域。 有下列命题： ①整数集是数域； ②若有理数集Q M ，则数集 M 必为数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域. 其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号填填上） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分 12 分） 已知向量 m=(sinA,cosA),n= ( 3, 1) ，m·n＝1，且 A 为锐角. （Ⅰ）求角 A 的大小；（Ⅱ）求函数 ( ) cos2 4cos sin ( )f x x A x x R   的值域. （18）（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，则面 PAD⊥底面 ABCD，侧棱 PA=PD＝ 2 ，底面 ABCD 为 直角梯形，其中 BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点. （Ⅰ）求证：PO⊥平面 ABCD； （Ⅱ）求异面直线 PD 与 CD 所成角的大小； （Ⅲ）线段 AD 上是否存在点 Q，使得它到平面 PCD 的距离为 3 2 ？若存在，求出 AQ QD 的值； 若不存在，请说明理由. （19）（本小题满分 12 分）已知函数 3 21( ) 23f x x x   . （Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前 n 项和为 Sn，其中 a1=3.若点 2 1 1( , 2 )n n na a a  (n ∈N*)在函数 y=f′(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在 y=f′(x)的图象上； （Ⅱ）求函数 f(x)在区间（a-1,a）内的极值. （20）（本小题满分 12 分） 某项考试按科目 A、科目 B 依次进行，只有当科目 A 成绩合格时，才可继续参加科 目 B 的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证 书.现某人参加这项考试，科目 A 每次考试成绩合格的概率均为 2 3 ，科目 B 每次考试 成绩合格的概率均为 1 2 .假设各次考试成绩合格与否均互不影响. （Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率； （Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为  ，求  的 数学期望 E  . （21）（本小题满分 12 分） 如图、椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的一个焦点是 F（1，0），O 为坐标原点. （Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； （ Ⅱ ） 设 过 点 F 的 直 线 l 交 椭 圆 于 A 、 B 两 点 . 若 直 线 l 绕 点 F 任 意 转 动 ， 值 有 2 2 2OA OB AB  ,求 a 的取值范围. （22）（本小题满分 14 分） 已知函数 f(x)=ln(1+x)-x1 （Ⅰ）求 f(x)的单调区间； （Ⅱ）记 f(x)在区间 0, （n∈N*）上的最小值为 bx 令 an=ln(1+n)-bx. （Ⅲ）如果对一切 n，不等式 2 2 n n n ca a a   恒成立，求实数 c 的取值范围； （Ⅳ）求证： 1 3 1 3 2 11 2 2 4 2 4 2 2 1 1.n n n a a a a aa aa a a a a a       数学试题（理工农医类）参考答案 一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算.每小题 5 分，满分 60 分. （1）B （2）A （3）C （4）B （5）B （6）D （7）A （8）C （9）A （10）D （11）B （12）D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分，满分 16 分. （13）31 （14） ( ,0) (10, )   （15）9  （16）③④ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次 函数的最值等基本知识，考查运算能力.满分 12 分. 解：（Ⅰ）由题意得 3sin cos 1,m n A A   12sin( ) 1,sin( ) .6 6 2A A     由 A 为锐角得 , .6 6 3A A     （Ⅱ）由（Ⅰ）知 1cos ,2A  所以 2 21 3( ) cos2 2sin 1 2sin 2sin 2(sin ) .2 2f x x x x s x         因为 x∈R，所以  sin 1,1x  ，因此，当 1sin 2x  时，f(x)有最大值 3 2 . 当 sinx=-1 时，f(x)有最小值-3，所以所求函数 f(x)的值域是 33, 2     . （18）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识， 考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分 12 分. 解法一： （Ⅰ）证明：在△PAD 中 PA=PD,O 为 AD 中点，所以 PO⊥AD, 又侧面 PAD⊥底面 ABCD,平面 PAD  平面 ABCD=AD, PO  平面 PAD， 所以 PO⊥平面 ABCD. （Ⅱ）连结 BO，在直角梯形 ABCD 中、BC∥AD，AD=2AB=2BC, 有 OD∥BC 且 OD=BC,所以四边形 OBCD 是平行四边形， 所以 OB∥DC. 由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO 为锐角， 所以∠PBO 是异面直线 PB 与 CD 所成的角. 因为 AD=2AB=2BC=2,在 Rt△AOB 中，AB=1,AO=1, 所以 OB＝ 2 ， 在 Rt△POA 中，因为 AP＝ 2 ，AO＝1，所以 OP＝1， 在 Rt△PBO 中，tan∠PBO＝ 1 2 2, arctan .2 22 PG PBOBC     所以异面直线 PB 与 CD 所成的角是 2arctan 2 . （Ⅲ）假设存在点 Q，使得它到平面 PCD 的距离为 3 2 . 设 QD＝x，则 1 2DQCS x  ，由（Ⅱ）得 CD=OB= 2 ， 在 Rt△POC 中， 2 2 2,PC OC OP   所以 PC=CD=DP, 23 3( 2) ,4 2PCDS   由 Vp-DQC=VQ-PCD,得 2，所以存在点 Q 满足题意，此时 1 3 AQ QD  . 解法二： (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)以 O 为坐标原点，OC OD OP   、 、 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴 的 正 方 向 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O-xyz, 依 题 意 ， 易 得 A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0), P(0,0,1), 所以 11 0 1 1 1CD PB   ＝（ ，，）， ＝（， ， ）. 所以异面直线 PB 与 CD 所成的角是 arccos 6 3 ， (Ⅲ)假设存在点 Q，使得它到平面 PCD 的距离为 3 2 ， 由(Ⅱ)知 ( 1,0,1), ( 1,1,0).CP CD     设平面 PCD 的法向量为 n=(x0,y0,z0). 则 0, 0, n CP n CD        所以 0 0 0 0 0, 0, x z x y       即 0 0 0x y z  ， 取 x0=1,得平面 PCD 的一个法向量为 n=(1,1,1). 设 (0, ,0)( 1 1), ( 1, ,0),Q y y CQ y     由 3 2 CQ n n    ，得 1 3 ,23 y   解 y=- 1 2 或 y= 5 2 (舍 去)， 此时 1 3,2 2AQ QD  ，所以存在点 Q 满足题意，此时 1 3 AQ QD  . (19)本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想 方法，考查分析问题和解决问题的能力.满分 12 分. (Ⅰ)证明：因为 3 21( ) 2,3f x x x   所以 f ′(x)=x2+2x, 由点 2 1 1( , 2 )( N )n n na a a n     在函数 y=f′(x)的图象上, 又 0( N ),na n   所以 1 1( )( 2) 0,n n n na a a a     所以 2( 1)3 2= 22n n nS n n n    ,又因为 f ′(n)=n2+2n,所以 ( )nS f n , 故点 ( , )nn S 也在函数 y=f′(x)的图象上. (Ⅱ)解: 2( ) 2 ( 2)f x x x x x     , 由 ( ) 0,f x  得 0 2x x  或 . 当 x 变化时, ( )f x ﹑ ( )f x 的变化情况如下表: 注意到 ( 1) 1 2a a    ,从而 ①当 21 2 , 2 1 , ( ) ( 2) 3a a a f x f          即 时 的极大值为 ,此时 ( )f x 无极小值； x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ②当 1 0 , 0 1 , ( )a a a f x    即 时 的极小值为 (0) 2f   ,此时 ( )f x 无极大值； ③当 2 1 0 1 , ( )a a a f x     或 或 时 既无极大值又无极小值. (20)本小题主要考查概率的基本知识与分类思想,考查运用数学知识分析问题/解愉问题的能力. 满分 12 分. 解:设“科目 A 第一次考试合格”为事件 A，“科目 A 补考合格”为事件 A2；“科目 B 第一次 考试合格”为事件 B，“科目 B 补考合格”为事件 B. (Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为 A1·B1,注意到 A1 与 B1 相互独立， 则 1 1 1 1 2 1 1( ) ( ) ( ) 3 2 3P A B P A P B     . 答：该考生不需要补考就获得证书的概率为 1 3 . (Ⅱ)由已知得， ＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得 1 1 1 2( 2) ( ) ( )P P A B P A A     2 1 1 1 1 1 4 .3 2 3 3 3 9 9        1 1 2 1 1 2 1 2 2( 3) ( ) ( ) ( )P P A B B P A B B P A A B          2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 4 ,3 2 2 3 2 2 3 3 2 6 6 9 3              1 2 2 2 1 2 1 2( 4) ( ) ( )P P A A B B P A A B B         1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ,3 3 2 2 3 3 2 2 18 18 9            故 4 4 1 82 3 4 .9 9 9 3E        答：该考生参加考试次数的数学期望为 8 3 . (21)本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想， 考查运算能力和综合解题能力.满分 12 分. 解法一：(Ⅰ)设 M，N 为短轴的两个三等分点， 因为△MNF 为正三角形， 所以 3 2OF MN , 即 1＝ 3 2 , 3.2 3 b b 解得 ＝ 2 2 1 4,a b   因此，椭圆方程为 2 2 1.4 3 x y  (Ⅱ)设 1 1 2 2( , ), ( , ).A x y B x y (ⅰ)当直线 AB 与 x 轴重合时， 2 2 22 2 2 2 2 2 2 , 4 ( 1), . OA OB a AB a a OA OB AB      因此，恒有 (ⅱ)当直线 AB 不与 x 轴重合时， 设直线 AB 的方程为： 2 2 2 21, 1,x yx my a b    代入 整理得 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 0,a b m y b my b a b     所以 2 2 2 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2 2 ,b m b a by y y ya b m a b m     因为恒有 2 2 2OA OB AB  ，所以  AOB 恒为钝角. 即 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ) 0OA OB x y x y x x y y       恒成立. 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 1)( 1) ( 1) ( ) 1x x y y my my y y m y y m y y          2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1)( ) 2 1 0. m b a b b m a b m a b m m a b b a b a a b m           又 a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0 对 mR 恒成立， 即 a2b2m2> a2 -a2b2+b2 对 mR 恒成立. 当 mR 时，a2b2m2 最小值为 0，所以 a2- a2b2+b2<0. a20,b>0,所以 a0, 解得 a> 1 5 2  或 a< 1 5 2  (舍去)，即 a> 1 5 2  , 综合（i）(ii)，a 的取值范围为（ 1 5 2  ，+  ）. 解法二： （Ⅰ）同解法一， （Ⅱ）解：（i）当直线 l 垂直于 x 轴时， x=1 代入 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 1)1, A y b aya b a    =1. 因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2(1+yA2)<4 yA2, yA2>1，即 2 1a a  >1, 解得 a> 1 5 2  或 a< 1 5 2  (舍去)，即 a> 1 5 2  . （ii）当直线 l 不垂直于 x 轴时，设 A（x1,y1）, B（x2,y2）. 设直线 AB 的方程为 y=k(x-1)代入 2 2 2 2 1,x y a b   得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0, 故 x1+x2= 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 , .a k a k a bx xb a k b a k   因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2, 所以 x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2, 得 x1x2+ y1y2<0 恒成立. x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2 =(1+k2) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )a k a b a k a a b b k a bk kb a k b a k b a k         . 由题意得（a2- a2 b2+b2）k2- a2 b2<0 对 kR 恒成立. ①当 a2- a2 b2+b2>0 时，不合题意； ②当 a2- a2 b2+b2=0 时，a= 1 5 2  ; ③当 a2- a2 b2+b2<0 时，a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0，a4- 3a2 +1>0, 解得 a2> 3 5 2  或 a2> 3 5 2  （舍去），a> 1 5 2  ，因此 a  1 5 2  . 综合（i）（ii），a 的取值范围为（ 1 5 2  ，+  ）. （22）本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数 性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力，满分 14 分. 解法一： （I）因为 f(x)=ln(1+x)-x，所以函数定义域为（-1,+  ）,且 f〃(x)= 1 1 x -1= 1 x x   . 由 f〃(x)>0 得-10，f(x)的单调递增区间为（0，+  ）. (II)因为 f(x)在[0,n]上是减函数，所以 bn=f(n)=ln(1+n)-n, 则 an=ln(1+n)-bn=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n. (i) 2 2 2( ) 2( 2 ) 2 2n n na a a n n n n n n           > 2 2 1. 2 2 n n n      又 lim 22( 2 ) lim 1 21 1 2 x n n n n          , 因此 c<1，即实数 c 的取值范围是（-  ，1）. （II）由（i）知 1 2 1 2 1. 2 1 n n n      因为[1 3 5 (2 1) 2 4 6 (2 ) n n            ]2 = 3 2 2 2 1 3 3 5 5 7 (2 1)(2 1) 1 1 ,2 4 6 (2 ) 2 1 2 1 n n n n n             ＜ 所以1 3 5 (2 1) 1 2 4 6 (2 ) 2 1 n n n         ＜ ＜ 2 1 2 1n n   (nN*), 则 1 1 3 1 3 5 (2 1) 2 2 4 2 4 6 (2 ) n n          ＜ 1 3 1 3 2 11 2 2 2 4 2 3 1 5 3 2 1 2 1 2 1 1. n n n a n n a a a a aa a a a a a a                   即 ＜ 2 1 1(na n  N*） 解法二： （Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）因为 f(x)在 0,n 上是减函数，所以 ( ) ln(1 ) ,nb f n n n    则 ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) .n na n b n n n n         （i）因为 2 2 n n n c a a a    对 n∈N*恒成立.所以 2 2 c n n n     对 n∈N*恒成立. 则 22 2c n n n   对 n∈N*恒成立. 设 2( ) 2 2 ,g n n n n    n∈N*，则 c＜g(n)对 n∈N*恒成立. 考虑  2( ) 2 2 , 1, .g x x x x x      因为 1 2 2 2 1 1 1( ) 1 ( 2 ) ·(2 2) 1 12 12 x xg x x x x xx x           ′ ＝0， 所以  ( ) 1,g x 在 内是减函数；则当 n∈N*时，g(n)随 n 的增大而减小， 又因为 2 2 422 4lim ( ) lim( 2 2 ) lim lim 2 22 2 1 1 x x x x n ng n n n n n n n n n                 ＝1. 所以对一切 *N , ( ) 1.n g n  因此 c≤1,即实数 c 的取值范围是(-∞，1]. (ⅱ) 由(ⅰ)知 1 2 1 2 1. 2 1 n n n      下面用数学归纳法证明不等式1 3 5 (2 1) 1 ( N ).2 4 6 (2 ) 2 1 n nn n           ①当 n=1 时，左边＝ 1 2 ，右边＝ 1 3 ，左边<右边.不等式成立. ②假设当 n=k 时,不等式成立.即 1 3 5 (2 1) 1 .2 4 6 (2 ) 2 1 k k n          当 n=k+1 时， 32 1 22 3212 22 12 22 12 12 1 )22(2642 )12(12531          kk kk k k k k kkk kk ＜）（ ）－（ = , 1)1(2 1 32 1 32 1 4824 3824      kkkkk kk ＜ 即 n＝k＋1 时，不等式成立 综合①、②得，不等式 *)N( 12 1 )2(642 )12(531      n nn n ＜ 成立. 所以 1212)2(642 )12(531     nnn n ＜ )2(642 )12(531 42 31 2 1 n n       ＋＋ .112123513  nn＋＝－＋－＜ 即 *)N(12 1 242 1231 42 31 2 1     naaaa aaa aa aa a a n n n ＜＋ .