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  • 2021-06-15 发布

人教新课标A版数学高三高考卷 08 普通高等学校招生全国统一考试数学(福建卷·理科)(附答案,完全word版)

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2008 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理工农医类)(福建卷) 第Ⅰ卷(选择题共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 (1)若复数(a2-3a+2)+(a-1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为 A.1 B.2 C.1 或 2 D.-1 (2)设集合 A={x| 1 x x  <0},B={x|0<x<3},那么“mA”是“mB”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (3)设{an}是公比为正数的等比数列,若 n1=7,a5=16,则数列{an}前 7 项的和为 A.63 B.64 C.127 D.128 (4)函数 f(x)=x3+sinx+1(xR),若 f(a)=2,则 f(-a)的值为 A.3 B.0 C.-1 D.-2 (5)某一批花生种子,如果每 1 粒发牙的概率为 4 5 ,那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是 A. 16 625 B. 96 625 C. 192 625 D. 256 625 (6)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 A. 6 3 B. 2 6 5 C. 15 5 D. 10 5 (7)某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务,如果要求至少有 1 名女生,那 么不同的选派方案种数为 A.14 B.24 C.28 D.48 (8)若实数 x、y 满足 1 0 0 x y x      ,则 y x 的取值范围是 A.(0,1) B. 0,1 C.(1,+  ) D. 1, (9)函数 f(x)=cosx(x)(xR)的图象按向量(m,0) 平移后,得到函数 y=-f′(x)的图象,则 m 的值 可以为 A. 2  B. C.- D.- 2  (10)在△ABC 中,角 ABC 的对边分别为 a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB= 3ac ,则角 B 的值为 A. 6  B. 3  C. 6  或 5 6  D. 3  或 2 3  (11)又曲线 2 2 2 2 1x y a b   (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双 曲线离心率的取值范围为 A.(1,3) B. 1,3 C.(3,+  ) D. 3, (12)已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能是 第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置. (13)若(x-2)5=a3x5+a5x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则 a1+a2+a3+a4+a5=__________.(用数字作答) x=1+cos (14)若直线 3x+4y+m=0 与圆 y=-2+sin ( 为参数)没有公共点,则实数 m 的取值范围是 . (15)若三棱锥的三个侧圆两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积是 . (16)设 P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意 a、b∈R,都有 a+b、a-b, ab、 a b ∈P (除数 b≠0),则称 P 是一个数域.例如有理数集 Q 是数域;数集  2 ,F a b a b Q   也是数 域。 有下列命题: ①整数集是数域; ②若有理数集Q M ,则数集 M 必为数域; ③数域必为无限集; ④存在无穷多个数域. 其中正确的命题的序号是 .(把你认为正确的命题的序号填填上) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 已知向量 m=(sinA,cosA),n= ( 3, 1) ,m·n=1,且 A 为锐角. (Ⅰ)求角 A 的大小;(Ⅱ)求函数 ( ) cos2 4cos sin ( )f x x A x x R   的值域. (18)(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,则面 PAD⊥底面 ABCD,侧棱 PA=PD= 2 ,底面 ABCD 为 直角梯形,其中 BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点. (Ⅰ)求证:PO⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求异面直线 PD 与 CD 所成角的大小; (Ⅲ)线段 AD 上是否存在点 Q,使得它到平面 PCD 的距离为 3 2 ?若存在,求出 AQ QD 的值; 若不存在,请说明理由. (19)(本小题满分 12 分)已知函数 3 21( ) 23f x x x   . (Ⅰ)设{an}是正数组成的数列,前 n 项和为 Sn,其中 a1=3.若点 2 1 1( , 2 )n n na a a  (n ∈N*)在函数 y=f′(x)的图象上,求证:点(n,Sn)也在 y=f′(x)的图象上; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间(a-1,a)内的极值. (20)(本小题满分 12 分) 某项考试按科目 A、科目 B 依次进行,只有当科目 A 成绩合格时,才可继续参加科 目 B 的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证 书.现某人参加这项考试,科目 A 每次考试成绩合格的概率均为 2 3 ,科目 B 每次考试 成绩合格的概率均为 1 2 .假设各次考试成绩合格与否均互不影响. (Ⅰ)求他不需要补考就可获得证书的概率; (Ⅱ)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为  ,求  的 数学期望 E  . (21)(本小题满分 12 分) 如图、椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的一个焦点是 F(1,0),O 为坐标原点. (Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程; ( Ⅱ ) 设 过 点 F 的 直 线 l 交 椭 圆 于 A 、 B 两 点 . 若 直 线 l 绕 点 F 任 意 转 动 , 值 有 2 2 2OA OB AB  ,求 a 的取值范围. (22)(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=ln(1+x)-x1 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)记 f(x)在区间 0, (n∈N*)上的最小值为 bx 令 an=ln(1+n)-bx. (Ⅲ)如果对一切 n,不等式 2 2 n n n ca a a   恒成立,求实数 c 的取值范围; (Ⅳ)求证: 1 3 1 3 2 11 2 2 4 2 4 2 2 1 1.n n n a a a a aa aa a a a a a       数学试题(理工农医类)参考答案 一、选择题:本大题考查基本概念和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分. (1)B (2)A (3)C (4)B (5)B (6)D (7)A (8)C (9)A (10)D (11)B (12)D 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分. (13)31 (14) ( ,0) (10, )   (15)9  (16)③④ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次 函数的最值等基本知识,考查运算能力.满分 12 分. 解:(Ⅰ)由题意得 3sin cos 1,m n A A   12sin( ) 1,sin( ) .6 6 2A A     由 A 为锐角得 , .6 6 3A A     (Ⅱ)由(Ⅰ)知 1cos ,2A  所以 2 21 3( ) cos2 2sin 1 2sin 2sin 2(sin ) .2 2f x x x x s x         因为 x∈R,所以  sin 1,1x  ,因此,当 1sin 2x  时,f(x)有最大值 3 2 . 当 sinx=-1 时,f(x)有最小值-3,所以所求函数 f(x)的值域是 33, 2     . (18)本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识, 考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分 12 分. 解法一: (Ⅰ)证明:在△PAD 中 PA=PD,O 为 AD 中点,所以 PO⊥AD, 又侧面 PAD⊥底面 ABCD,平面 PAD  平面 ABCD=AD, PO  平面 PAD, 所以 PO⊥平面 ABCD. (Ⅱ)连结 BO,在直角梯形 ABCD 中、BC∥AD,AD=2AB=2BC, 有 OD∥BC 且 OD=BC,所以四边形 OBCD 是平行四边形, 所以 OB∥DC. 由(Ⅰ)知,PO⊥OB,∠PBO 为锐角, 所以∠PBO 是异面直线 PB 与 CD 所成的角. 因为 AD=2AB=2BC=2,在 Rt△AOB 中,AB=1,AO=1, 所以 OB= 2 , 在 Rt△POA 中,因为 AP= 2 ,AO=1,所以 OP=1, 在 Rt△PBO 中,tan∠PBO= 1 2 2, arctan .2 22 PG PBOBC     所以异面直线 PB 与 CD 所成的角是 2arctan 2 . (Ⅲ)假设存在点 Q,使得它到平面 PCD 的距离为 3 2 . 设 QD=x,则 1 2DQCS x  ,由(Ⅱ)得 CD=OB= 2 , 在 Rt△POC 中, 2 2 2,PC OC OP   所以 PC=CD=DP, 23 3( 2) ,4 2PCDS   由 Vp-DQC=VQ-PCD,得 2,所以存在点 Q 满足题意,此时 1 3 AQ QD  . 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)以 O 为坐标原点,OC OD OP   、 、 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴 的 正 方 向 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O-xyz, 依 题 意 , 易 得 A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0), P(0,0,1), 所以 11 0 1 1 1CD PB   =( ,,), =(, , ). 所以异面直线 PB 与 CD 所成的角是 arccos 6 3 , (Ⅲ)假设存在点 Q,使得它到平面 PCD 的距离为 3 2 , 由(Ⅱ)知 ( 1,0,1), ( 1,1,0).CP CD     设平面 PCD 的法向量为 n=(x0,y0,z0). 则 0, 0, n CP n CD        所以 0 0 0 0 0, 0, x z x y       即 0 0 0x y z  , 取 x0=1,得平面 PCD 的一个法向量为 n=(1,1,1). 设 (0, ,0)( 1 1), ( 1, ,0),Q y y CQ y     由 3 2 CQ n n    ,得 1 3 ,23 y   解 y=- 1 2 或 y= 5 2 (舍 去), 此时 1 3,2 2AQ QD  ,所以存在点 Q 满足题意,此时 1 3 AQ QD  . (19)本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识,考查分类与整合、转化与化归等数学思想 方法,考查分析问题和解决问题的能力.满分 12 分. (Ⅰ)证明:因为 3 21( ) 2,3f x x x   所以 f ′(x)=x2+2x, 由点 2 1 1( , 2 )( N )n n na a a n     在函数 y=f′(x)的图象上, 又 0( N ),na n   所以 1 1( )( 2) 0,n n n na a a a     所以 2( 1)3 2= 22n n nS n n n    ,又因为 f ′(n)=n2+2n,所以 ( )nS f n , 故点 ( , )nn S 也在函数 y=f′(x)的图象上. (Ⅱ)解: 2( ) 2 ( 2)f x x x x x     , 由 ( ) 0,f x  得 0 2x x  或 . 当 x 变化时, ( )f x ﹑ ( )f x 的变化情况如下表: 注意到 ( 1) 1 2a a    ,从而 ①当 21 2 , 2 1 , ( ) ( 2) 3a a a f x f          即 时 的极大值为 ,此时 ( )f x 无极小值; x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ②当 1 0 , 0 1 , ( )a a a f x    即 时 的极小值为 (0) 2f   ,此时 ( )f x 无极大值; ③当 2 1 0 1 , ( )a a a f x     或 或 时 既无极大值又无极小值. (20)本小题主要考查概率的基本知识与分类思想,考查运用数学知识分析问题/解愉问题的能力. 满分 12 分. 解:设“科目 A 第一次考试合格”为事件 A,“科目 A 补考合格”为事件 A2;“科目 B 第一次 考试合格”为事件 B,“科目 B 补考合格”为事件 B. (Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为 A1·B1,注意到 A1 与 B1 相互独立, 则 1 1 1 1 2 1 1( ) ( ) ( ) 3 2 3P A B P A P B     . 答:该考生不需要补考就获得证书的概率为 1 3 . (Ⅱ)由已知得, =2,3,4,注意到各事件之间的独立性与互斥性,可得 1 1 1 2( 2) ( ) ( )P P A B P A A     2 1 1 1 1 1 4 .3 2 3 3 3 9 9        1 1 2 1 1 2 1 2 2( 3) ( ) ( ) ( )P P A B B P A B B P A A B          2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 4 ,3 2 2 3 2 2 3 3 2 6 6 9 3              1 2 2 2 1 2 1 2( 4) ( ) ( )P P A A B B P A A B B         1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ,3 3 2 2 3 3 2 2 18 18 9            故 4 4 1 82 3 4 .9 9 9 3E        答:该考生参加考试次数的数学期望为 8 3 . (21)本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识,考查分类与整合思想, 考查运算能力和综合解题能力.满分 12 分. 解法一:(Ⅰ)设 M,N 为短轴的两个三等分点, 因为△MNF 为正三角形, 所以 3 2OF MN , 即 1= 3 2 , 3.2 3 b b 解得 = 2 2 1 4,a b   因此,椭圆方程为 2 2 1.4 3 x y  (Ⅱ)设 1 1 2 2( , ), ( , ).A x y B x y (ⅰ)当直线 AB 与 x 轴重合时, 2 2 22 2 2 2 2 2 2 , 4 ( 1), . OA OB a AB a a OA OB AB      因此,恒有 (ⅱ)当直线 AB 不与 x 轴重合时, 设直线 AB 的方程为: 2 2 2 21, 1,x yx my a b    代入 整理得 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 0,a b m y b my b a b     所以 2 2 2 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2 2 ,b m b a by y y ya b m a b m     因为恒有 2 2 2OA OB AB  ,所以  AOB 恒为钝角. 即 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ) 0OA OB x y x y x x y y       恒成立. 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 1)( 1) ( 1) ( ) 1x x y y my my y y m y y m y y          2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1)( ) 2 1 0. m b a b b m a b m a b m m a b b a b a a b m           又 a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0 对 mR 恒成立, 即 a2b2m2> a2 -a2b2+b2 对 mR 恒成立. 当 mR 时,a2b2m2 最小值为 0,所以 a2- a2b2+b2<0. a20,b>0,所以 a0, 解得 a> 1 5 2  或 a< 1 5 2  (舍去),即 a> 1 5 2  , 综合(i)(ii),a 的取值范围为( 1 5 2  ,+  ). 解法二: (Ⅰ)同解法一, (Ⅱ)解:(i)当直线 l 垂直于 x 轴时, x=1 代入 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 1)1, A y b aya b a    =1. 因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2(1+yA2)<4 yA2, yA2>1,即 2 1a a  >1, 解得 a> 1 5 2  或 a< 1 5 2  (舍去),即 a> 1 5 2  . (ii)当直线 l 不垂直于 x 轴时,设 A(x1,y1), B(x2,y2). 设直线 AB 的方程为 y=k(x-1)代入 2 2 2 2 1,x y a b   得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0, 故 x1+x2= 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 , .a k a k a bx xb a k b a k   因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2, 所以 x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2, 得 x1x2+ y1y2<0 恒成立. x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2 =(1+k2) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )a k a b a k a a b b k a bk kb a k b a k b a k         . 由题意得(a2- a2 b2+b2)k2- a2 b2<0 对 kR 恒成立. ①当 a2- a2 b2+b2>0 时,不合题意; ②当 a2- a2 b2+b2=0 时,a= 1 5 2  ; ③当 a2- a2 b2+b2<0 时,a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0,a4- 3a2 +1>0, 解得 a2> 3 5 2  或 a2> 3 5 2  (舍去),a> 1 5 2  ,因此 a  1 5 2  . 综合(i)(ii),a 的取值范围为( 1 5 2  ,+  ). (22)本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识,考查运用导数研究函数 性质的方法,考查分析问题和解决问题的能力,满分 14 分. 解法一: (I)因为 f(x)=ln(1+x)-x,所以函数定义域为(-1,+  ),且 f〃(x)= 1 1 x -1= 1 x x   . 由 f〃(x)>0 得-10,f(x)的单调递增区间为(0,+  ). (II)因为 f(x)在[0,n]上是减函数,所以 bn=f(n)=ln(1+n)-n, 则 an=ln(1+n)-bn=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n. (i) 2 2 2( ) 2( 2 ) 2 2n n na a a n n n n n n           > 2 2 1. 2 2 n n n      又 lim 22( 2 ) lim 1 21 1 2 x n n n n          , 因此 c<1,即实数 c 的取值范围是(-  ,1). (II)由(i)知 1 2 1 2 1. 2 1 n n n      因为[1 3 5 (2 1) 2 4 6 (2 ) n n            ]2 = 3 2 2 2 1 3 3 5 5 7 (2 1)(2 1) 1 1 ,2 4 6 (2 ) 2 1 2 1 n n n n n             < 所以1 3 5 (2 1) 1 2 4 6 (2 ) 2 1 n n n         < < 2 1 2 1n n   (nN*), 则 1 1 3 1 3 5 (2 1) 2 2 4 2 4 6 (2 ) n n          < 1 3 1 3 2 11 2 2 2 4 2 3 1 5 3 2 1 2 1 2 1 1. n n n a n n a a a a aa a a a a a a                   即 < 2 1 1(na n  N*) 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)因为 f(x)在 0,n 上是减函数,所以 ( ) ln(1 ) ,nb f n n n    则 ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) .n na n b n n n n         (i)因为 2 2 n n n c a a a    对 n∈N*恒成立.所以 2 2 c n n n     对 n∈N*恒成立. 则 22 2c n n n   对 n∈N*恒成立. 设 2( ) 2 2 ,g n n n n    n∈N*,则 c<g(n)对 n∈N*恒成立. 考虑  2( ) 2 2 , 1, .g x x x x x      因为 1 2 2 2 1 1 1( ) 1 ( 2 ) ·(2 2) 1 12 12 x xg x x x x xx x           ′ =0, 所以  ( ) 1,g x 在 内是减函数;则当 n∈N*时,g(n)随 n 的增大而减小, 又因为 2 2 422 4lim ( ) lim( 2 2 ) lim lim 2 22 2 1 1 x x x x n ng n n n n n n n n n                 =1. 所以对一切 *N , ( ) 1.n g n  因此 c≤1,即实数 c 的取值范围是(-∞,1]. (ⅱ) 由(ⅰ)知 1 2 1 2 1. 2 1 n n n      下面用数学归纳法证明不等式1 3 5 (2 1) 1 ( N ).2 4 6 (2 ) 2 1 n nn n           ①当 n=1 时,左边= 1 2 ,右边= 1 3 ,左边<右边.不等式成立. ②假设当 n=k 时,不等式成立.即 1 3 5 (2 1) 1 .2 4 6 (2 ) 2 1 k k n          当 n=k+1 时, 32 1 22 3212 22 12 22 12 12 1 )22(2642 )12(12531          kk kk k k k k kkk kk <)( )-( = , 1)1(2 1 32 1 32 1 4824 3824      kkkkk kk < 即 n=k+1 时,不等式成立 综合①、②得,不等式 *)N( 12 1 )2(642 )12(531      n nn n < 成立. 所以 1212)2(642 )12(531     nnn n < )2(642 )12(531 42 31 2 1 n n       ++ .112123513  nn+=-+-< 即 *)N(12 1 242 1231 42 31 2 1     naaaa aaa aa aa a a n n n <+ .