2006年江苏省高考数学试卷【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 7页

‎2006年江苏省高考数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1. 已知a∈R，函数f(x)=sinx-|a|‎，x∈R为奇函数，则a=(‎ ‎‎)‎ A.‎0‎ B.‎1‎ C.‎-1‎ D.‎‎±1‎ ‎2. 圆‎(x-1‎)‎‎2‎+(y+‎‎3‎‎)‎‎2‎＝‎1‎的切线方程中有一个是（ ）‎ A.x-y＝‎0‎ B.x+y＝‎0‎ C.x＝‎0‎ D.y＝‎‎0‎ ‎3. 某人‎5‎次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，‎10‎，‎11‎，‎9‎．已知这组数据的平均数为‎10‎，方差为‎2‎，则‎|x-y|‎的值为‎(‎        ‎‎)‎ A.‎1‎ B.‎2‎ C.‎3‎ D.‎‎4‎ ‎4. 为了得到函数y=2sin(‎1‎‎3‎x+π‎6‎)‎，x∈R的图象，只需把函数y=2sinx，x∈R的图象上所有的点(        )‎ A.向左平移π‎6‎个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的‎1‎‎3‎倍（纵坐标不变）‎ B.向右平移π‎6‎个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的‎1‎‎3‎倍（纵坐标不变）‎ C.向左平移π‎6‎个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的‎3‎倍（纵坐标不变）‎ D.向右平移π‎6‎个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的‎3‎倍（纵坐标不变）‎ ‎5. ‎(x-‎‎1‎‎3x‎)‎‎10‎的展开式中含x的正整数指数幂的项数是（ ）‎ A.‎0‎ B.‎2‎ C.‎4‎ D.‎‎6‎ ‎6. 已知两点M(-2, 0)‎，N(2, 0)‎，点P为坐标平面内的动点，满足‎|MN‎→‎|⋅|MP‎→‎|+MN‎→‎⋅NP‎→‎=0‎，则动点P(x, y)‎的轨迹方程为(        )‎ A.y‎2‎‎=8x B.y‎2‎‎=-8x C.y‎2‎‎=4x D.‎y‎2‎‎=-4x ‎7. 若A，B，C为三个集合，A∪B=B∩C，则一定有‎(‎         ‎‎)‎ A.A⊆C B.C⊆A C.A≠C D.‎A=⌀‎ ‎8. 设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（ ）‎ A.‎|a-b|≤|a-c|+|b-c|‎ B.‎a‎2‎‎+‎1‎a‎2‎≥a+‎‎1‎a C.‎|a-b|+‎1‎a-b≥2‎ D.‎a+3‎‎-a+1‎≤a+2‎-‎a ‎9. 两相同的正四棱锥组成左图所示的几何体，可放棱长为‎1‎的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）‎ A.‎1‎个 B.‎2‎个 C.‎3‎个 D.无穷多个 ‎10. 图中有一个信号源和五个接收器．接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号．若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（ ）‎ A.‎4‎‎45‎ B.‎1‎‎36‎ C.‎4‎‎15‎ D.‎‎8‎‎15‎ 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）‎ ‎11. 在‎△ABC中，已知BC=12‎，A=‎‎60‎‎∘‎，B=‎‎45‎‎∘‎，则AC=‎________．‎ ‎12. 设变量x、y满足约束条件‎2x-y≤2‎x-y≥-1‎x+y≥1‎‎ ‎，则z＝‎2x+3y的最大值为________．‎ ‎13. 今有‎2‎个红球、‎3‎个黄球、‎4‎个白球，同色球不加以区分，将这‎9‎个球排成一列有________种不同的方法（用数字作答）．‎ ‎14. cot‎20‎‎∘‎cos‎10‎‎∘‎+‎3‎sin‎10‎‎∘‎tan‎70‎‎∘‎-2cos‎40‎‎∘‎=‎________．‎ ‎ 7 / 7‎ ‎15. 对正整数n，设曲线y=xn(1-x)‎在x=2‎处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列‎{ann+1‎}‎的前n项和的公式是________．‎ ‎16. 不等式log‎2‎‎(x+‎1‎x+6)≤3‎的解集为________．‎ 三、解答题（共5小题，满分70）‎ ‎17. 已知三点P(5, 2)‎、F‎1‎‎(-6, 0)‎、F‎2‎‎(6, 0)‎．‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎求以F‎1‎、F‎2‎为焦点且过点P的椭圆标准方程；‎ ‎(‎Ⅱ‎)‎设点P、F‎1‎、F‎2‎关于直线y＝x的对称点分别为P'‎、F‎1‎‎'‎、F‎2‎‎'‎，求以F‎1‎‎'‎、F‎2‎‎'‎为焦点且过点P'‎的双曲线的标准方程．‎ ‎18. 请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为‎1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为‎3m的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心O‎1‎的距离为多少时，帐篷的体积最大？‎ ‎19. 在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2‎（如图‎1‎）．将‎△AEF沿EF折起到‎△A‎1‎EF的位置，使二面角A‎1‎‎-EF-B成直二面角，连接A‎1‎B、A‎1‎P（如图‎2‎）‎ ‎(I)‎求证：A‎1‎E⊥‎平面BEP；‎ ‎(II)‎求直线A‎1‎E与平面A‎1‎BP所成角的大小；‎ ‎(III)‎求二面角B-A‎1‎P-F的大小（用反三角函数表示）．‎ ‎ 7 / 7‎ ‎20. 设a为实数，设函数f(x)=a‎1-‎x‎2‎+‎1+x+‎‎1-x的最大值为g(a)‎．‎ ‎（I）设t=‎1+x+‎‎1-x，求t的取值范围，并把f(x)‎表示为t的函数m(t)‎；‎ ‎（II）求g(a)‎；‎ ‎（III）试求满足g(a)=g(‎1‎a)‎的所有实数a．‎ ‎21. 设数列‎{an}‎、‎{bn}‎、‎{cn}‎满足：bn‎=an-‎an+2‎，cn‎=an+2an+1‎+3an+2‎(n=1, 2, 3‎,…‎)‎，‎ 证明：‎{an}‎为等差数列的充分必要条件是‎{cn}‎为等差数列且bn‎≤bn+1‎(n=1, 2, 3‎,…‎‎)‎ ‎ 7 / 7‎ 参考答案与试题解析 ‎2006年江苏省高考数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1.A ‎2.C ‎3.D ‎4.C ‎5.B ‎6.B ‎7.A ‎8.C ‎9.D ‎10.D 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）‎ ‎11.‎‎4‎‎6‎ ‎12.‎‎18‎ ‎13.‎‎1260‎ ‎14.‎‎2‎ ‎15.‎‎2‎n+1‎‎-2‎ ‎16.‎‎{x|-3-2‎2‎b>0)‎‎，‎ 其半焦距c＝‎‎6‎ ‎2a=|PF‎1‎|+|PF‎2‎|=‎11‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=6‎‎5‎ ‎∴ a=3‎‎5‎，b‎2‎＝a‎2‎‎-‎c‎2‎＝‎9‎．‎ 所以所求椭圆的标准方程为x‎2‎‎45‎‎+y‎2‎‎9‎=1‎ ‎（2）点P(5, 2)‎、F‎1‎‎(-6, 0)‎、‎F‎2‎‎(6, 0)‎ 关于直线y＝x的对称点分别为点P'(2, 5)‎、F‎1‎‎'(0, -6)‎、F‎2‎‎'(0, 6)‎．‎ 设所求双曲线的标准方程为y‎2‎a‎1‎‎2‎‎-x‎2‎b‎1‎‎2‎=1(a‎1‎>0,b‎1‎>0)‎ 由题意知，半焦距 c‎1‎‎＝‎6‎，‎‎2a‎1‎=||P‎'‎F‎1‎‎​‎‎'‎|-|P‎'‎F‎2‎‎​‎‎'‎||=|‎11‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎-‎1‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎|=4‎‎5‎ a‎1‎‎=2‎‎5‎‎，‎ b‎1‎‎2‎‎＝c‎1‎‎2‎‎-‎a‎1‎‎2‎＝‎36-20‎＝‎16‎．‎ 所以所求双曲线的标准方程为y‎2‎‎20‎‎-x‎2‎‎16‎=1‎．‎ ‎18.解：设OO‎1‎为xm，‎(10‎，V(x)‎为增函数；‎ 当‎20‎时，函数y=m(t)‎，t∈[‎2‎，2]‎的图象是开口向上的抛物线的一段，‎ 由t=-‎1‎a<0‎知m(t)‎在‎[‎2‎，2]‎．上单调递增，‎ ‎∴ ‎g(a)=m(2)=a+2‎ ‎（2）当a=0‎时，m(t)=t，t∈[‎2‎，2]‎，‎ ‎∴ g(a)=2‎．‎ ‎（3）当a<0‎时，函数y=m(t)‎，t∈[‎2‎，2]‎的图象是开口向下的抛物线的一段，‎ 若t=-‎1‎a∈[0,‎2‎]‎，即a≤-‎‎2‎‎2‎则g(a)=m(‎2‎)=‎‎2‎ 若t=-‎1‎a∈(‎2‎,2]‎，即‎-‎2‎‎2‎-‎‎1‎‎2‎‎-a-‎1‎‎2a-‎2‎‎2‎-‎‎1‎‎2‎，‎ 此时g(a)=‎‎2‎，‎g(‎1‎a)=‎1‎a+2‎ 由‎2+‎1‎a=‎2‎解得a=-1-‎‎2‎‎2‎，与a<-2‎矛盾．‎ 情形‎2‎：当‎-2≤a<-‎‎2‎，‎-‎2‎‎2‎<‎1‎a≤-‎‎1‎‎2‎时，‎ 此时g(a)=‎‎2‎，‎g(‎1‎a)=-‎1‎a-a‎2‎‎2‎=-‎1‎a-‎a‎2‎ 解得，a=-‎‎2‎与a<-‎‎2‎矛盾．‎ 情形‎3‎：当‎-‎2‎≤a≤-‎‎2‎‎2‎，‎-‎2‎≤‎1‎a≤-‎‎2‎‎2‎时，‎ 此时g(a)=‎2‎=g(‎1‎a)‎ 所以‎-‎2‎≤a≤-‎‎2‎‎2‎，‎ 情形‎4‎：当‎-‎2‎‎2‎-‎‎2‎‎2‎矛盾．‎ 情形‎5‎：当‎-‎1‎‎2‎-‎‎1‎‎2‎矛盾．‎ 情形‎6‎：当a>0‎时，‎1‎a‎>0‎，‎ 此时g(a)=a+2‎，‎g(‎1‎a)=‎1‎a+2‎ 由a+2=‎1‎a+2解得a=±1‎，由a>0‎得a=1‎．‎ ‎ 7 / 7‎ 综上知，满足g(a)=g(‎1‎a)‎的所有实数a为：‎-‎2‎≤a≤-‎‎2‎‎2‎，或a=1‎ ‎21.证明：（必要性）‎ 设是‎{an}‎公差为d‎1‎的等差数列，则 bn+1‎‎-bn=(an+1‎-an+3‎)-(an-an+2‎)=(an+1‎-an)-(an+3‎-an+2‎)=d‎1‎-d‎1‎=0‎ 所以bn‎≤bn+1‎(n=1, 2, 3‎,‎)‎成立．‎ 又cn+1‎‎-cn=(an+1‎-an)+2(an+2‎-an+1‎)+3(an+3‎-an+2‎)=d‎1‎+2d‎1‎+3d‎1‎=6‎d‎1‎（常数）‎(n=1, 2, 3‎,‎‎)‎ 所以数列‎{cn}‎为等差数列．‎ ‎（充分性）‎ 设数列‎{cn}‎是公差为d‎2‎的等差数列，且bn‎≤bn+1‎(n=1, 2, 3‎,‎‎)‎ ‎∵ cn‎=an+2an+1‎+3‎an+2‎①‎ ‎∴ cn+2‎‎=an+2‎+2an+3‎+3‎an+4‎②‎ ‎①-②得cn‎-cn+2‎=(an-an+2‎)+2(an+1‎-an+3‎)+3(an+2‎-an+4‎)=bn+2bn+1‎+3‎bn+2‎ ‎∵ ‎cn‎-cn+2=（‎cn-cn+1‎)+(cn+1‎-cn+2‎)=-2‎d‎2‎ ‎∴ bn‎+2bn+1‎+3bn+2‎=-2‎d‎2‎③‎ 从而有bn+1‎‎+2bn+2‎+3bn+3‎=-2‎d‎2‎④‎ ‎④-③得‎(bn+1‎-bn)+2(bn+2‎-bn+1‎)+3(bn+3‎-bn+2‎)=0‎⑤‎ ‎∵ bn+1‎‎-bn≥0‎，bn+2‎‎-bn+1‎≥0‎，bn+3‎‎-bn+2‎≥0‎，‎ ‎∴ 由⑤得bn+1‎‎-bn=0(n=1, 2, 3‎,‎)‎，‎ 由此不妨设bn‎=d‎3‎(n=1, 2, 3‎,‎‎)‎ 则an‎-an+2‎=‎d‎3‎（常数）．‎ 由此cn‎=an+2an+1‎+3an+2=‎cn=4an+2an+1‎-3‎d‎3‎ 从而cn+1‎‎=4an+1‎+2an+2‎-5‎d‎3‎，‎ 两式相减得cn+1‎‎-cn=‎‎2‎‎（‎an+1‎-an)-2‎d‎3‎ 因此an+1‎‎-an=‎1‎‎2‎(cc+1‎-cc)+d‎3‎=‎1‎‎2‎d‎2‎+‎d‎3‎（常数）‎(n=1, 2, 3‎,‎‎)‎ 所以数列‎{an}‎公差等差数列．‎ 综上所述：：‎{an}‎为等差数列的充分必要条件是‎{cn}‎为等差数列且bn‎≤bn+1‎(n=1, 2, 3‎,…‎‎)‎ ‎ 7 / 7‎