高考数学专题复习练习第八章 平面解析几何 章末质量检测 13页

第八章 平面解析几何 ‎(时间120分钟，满分150分)‎ 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是 (　　)‎ A.　　　　　　　　　　B. C．|a| D．－ 解析：由已知焦点到准线的距离为p＝.‎ 答案：B ‎2．过点A(4，a)与B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则|AB|＝ (　　)‎ A．6 B. C．2 D．不确定 解析：由题知＝1，∴b－a＝1.‎ ‎∴|AB|＝＝.‎ 答案：B ‎3．已知双曲线－＝1的离心率为e，抛物线x＝2py2的焦点为(e,0)，则p的值为(　　)‎ A．2 B．1‎ C. D. 解析：依题意得e＝2，抛物线方程为y2＝x，故＝2，得p＝.‎ 答案：D ‎4．若直线ax＋2by－2＝0(a＞0，b＞0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋‎ 的最小值为 (　　)‎ A．1 B．5‎ C．4 D．3＋2 解析：由(x－2)2＋(y－1)2＝13，得圆心(2,1)，‎ ‎∵直线平分圆的周长，即直线过圆心．‎ ‎∴a＋b＝1.‎ ‎∴＋＝(＋)(a＋b)＝3＋＋≥3＋2，‎ 当且仅当＝，即a＝－1，b＝2－时取等号，‎ ‎∴＋的最小值为3＋2.‎ 答案：D ‎5．若双曲线－y2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为 (　　)‎ A. B. C. D．2‎ 解析：由a2＋1＝4，∴a＝，‎ ‎∴e＝＝.‎ 答案：C ‎6．双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x(e为双曲线离心率)，则有 ‎(　　)‎ A．b＝‎2a B．b＝a C．a＝2b D．a＝b 解析：由已知＝e，‎ ‎∴＝×，∴c＝b，又a2＋b2＝c2，‎ ‎∴a2＋b2＝5b2，∴a＝2b.‎ 答案：C ‎7．(2009·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝(　　)‎ A. B．2‎ C．3 D．6‎ 解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x即x±y＝0，圆心(3,0)到直线的距离d＝‎ ＝.‎ 答案：A ‎8．(2009·天津高考)设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于 A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比 ‎＝ (　　)‎ A. B. C. D. 解析：如图过A、B作准线l：x＝－的垂线，垂足分别为A1，B1，‎ 由于F到直线AB的距离为定值．‎ ‎∴＝.‎ 又∵△B1BC∽△A‎1AC.‎ ‎∴＝，‎ 由拋物线定义＝＝.‎ 由|BF|＝|BB1|＝2知xB＝，yB＝－，‎ ‎∴AB：y－0＝(x－)．‎ 把x＝代入上式，求得yA＝2，xA＝2，‎ ‎∴|AF|＝|AA1|＝.‎ 故＝＝＝.‎ 答案：A 二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分．请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎9．已知点(x0，y0)在直线ax＋by＝0(a，b为常数)上，则的最小值为 ‎________．‎ 解析：可看作点(x0，y0)与点(a，b)的距离．而点(x0，y0)在直线ax＋by＝0上，所以的最小值为点(a，b)到直线ax＋by＝0的距离＝.‎ 答案： ‎10．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．‎ 解析：如图|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，‎ 所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.‎ 根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x＞3)．‎ 答案：－＝1(x＞3)‎ ‎11．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是________．‎ 解析：准线方程为y＝，‎ 由定义知－yM＝1⇒yM＝－.‎ 答案：－ ‎12．(2009·四川高考改编)已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，其一 条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则PF1―→·PF2―→＝________.‎ 解析：由渐近线方程y＝x得b＝，‎ 点P(，y0)代入－＝1中得y0＝±1.‎ 不妨设P(，1)，∵F1(2,0)，F2(－2,0)，‎ ‎∴PF1―→·PF2―→＝(2－，－1)·(－2－，－1)‎ ‎＝3－4＋1＝0.‎ 答案：0‎ ‎13．(2009·福建高考)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、‎ B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.‎ 解析：由焦点弦|AB|＝得|AB|＝，‎ ‎∴2p＝|AB|×，∴p＝2.‎ 答案：2‎ ‎14．直线l的方程为y＝x＋3，在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2－4y2＝3‎ 的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为______________．‎ 解析：所求椭圆的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，‎2a＝|PF1|＋|PF2|.欲使‎2a最小，只需 在直线l上找一点P，使|PF1|＋|PF2|最小，利用对称性可解．‎ 答案：＋＝1‎ ‎15．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物 线准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若＝48，则 抛物线的方程为______________．‎ 解析：设抛物线的准线与x轴的交点为D，依题意，F为线段AB的中点，‎ 故|AF|＝|AC|＝2|FD|＝2p，‎ ‎|AB|＝2|AF|＝2|AC|＝4p，‎ ‎∴∠ABC＝30°，||＝2p，‎ ‎＝4p·2p·cos30°＝48，‎ 解得p＝2，‎ ‎∴抛物线的方程为y2＝4x.‎ 答案：y2＝4x 三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤)‎ ‎16．(本小题满分12分)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋‎2a＝0.‎ ‎(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；‎ ‎(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝2时，求直线l的方程．‎ 解：将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的 圆心为(0,4)，半径为2.‎ ‎(1)若直线l与圆C相切，则有＝2.‎ 解得a＝－.‎ ‎(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，‎ 得 解得a＝－7，或a＝－1.‎ 故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.‎ ‎17．(本小题满分12分)过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1‎ 交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方 程．‎ 解：法一：设点M的坐标为(x，y)，‎ ‎∵M为线段AB的中点，‎ ‎∴A的坐标为(2x,0)，B的坐标为(0,2y)．‎ ‎∵l1⊥l2，且l1、l2过点P(2,4)，‎ ‎∴PA⊥PB，kPA·kPB＝－1.‎ 而kPA＝，kPB＝，(x≠1)，‎ ‎∴·＝－1(x≠1)．‎ 整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)．‎ ‎∵当x＝1时，A、B的坐标分别为(2,0)，(0,4)，‎ ‎∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程 x＋2y－5＝0.‎ 综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.‎ 法二：设M的坐标为(x，y)，则A、B两点的坐标分别是(2x,0)，‎ ‎(0,2y)，连结PM，‎ ‎∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|.‎ 而|PM|＝，‎ ‎|AB|＝ ‎∴2＝.‎ 化简，得x＋2y－5＝0即为所求的轨迹方程．‎ 法三：设M的坐标为(x，y)，‎ 由l1⊥l2，BO⊥OA，知O、A、P、B四点共圆，‎ ‎∴|MO|＝|MP|，即点M是线段OP的垂直平分线上的点．‎ ‎∵kOP＝＝2，线段OP的中点为(1,2)，‎ ‎∴y－2＝－(x－1)，‎ 即x＋2y－5＝0即为所求．‎ ‎18．(本小题满分12分)(2010·株州模拟)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线L：y＝－2‎ 相切．‎ ‎(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；‎ ‎(2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，‎ 设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.‎ 解：(1)依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，L：y＝－2为准线的抛物线．‎ 因为抛物线焦点到准线距离等于4，‎ 所以圆心的轨迹是x2＝8y.‎ ‎(2)证明：因为直线AB与x轴不垂直，‎ 设AB：y＝kx＋2.‎ A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由 可得x2－8kx－16＝0，x1＋x2＝8k，x1x2＝－16.‎ 抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x.‎ 所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1＝x1，k2＝x2，k1k2＝x1·x2＝ x1·x2＝－1.‎ 所以AQ⊥BQ.‎ ‎19．[理](本小题满分13分)给定抛物线C：y2＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C 相交于A，B两点，记O为坐标原点．‎ ‎(1)求OA―→·OB―→的值；‎ ‎(2)设AF―→＝λFB―→，当△OAB的面积S∈[2， ]时，求λ的取值范围．‎ 解：(1)根据抛物线的方程可得焦点F(1,0)，‎ 设直线l的方程为x＝my＋1，‎ 将其与C的方程联立，消去x可得y2－4my－4＝0.‎ 设A，B点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(y1>0>y2)，‎ 则y1y2＝－4.‎ 因为y＝4x1，y＝4x2，‎ 所以x1x2＝yy＝1，‎ 故＝x1x2＋y1y2＝－3.‎ ‎(2)因为＝λ，‎ 所以(1－x1，－y1)＝λ(x2－1，y2)，‎ 即 又y＝4x1， ③‎ y＝4x2， ④‎ 由②③④消去y1，y2后，得到x1＝λ2x2，将其代入①，注意到λ>0，解得x2＝.从而 可得y2＝－，y1＝2，‎ 故△OAB的面积S＝|OF|·|y1－y2|＝＋，‎ 因＋≥2恒成立，所以只要解＋≤即可，‎ 解之得≤λ≤.‎ ‎[文](本小题满分13分)已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝，椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的离 心率为，若圆与椭圆相交于A、B，且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程．‎ 解：∵e＝＝＝，∴a2＝2b2.‎ 因此，所求椭圆的方程为x2＋2y2＝2b2，‎ 又∵AB为直径，(2,1)为圆心，即(2,1)是线段AB的中点，‎ 设A(2－m,1－n)，B(2＋m,1＋n)，则 ⇒ ‎⇒得2b2＝16.‎ 故所求椭圆的方程为x2＋2y2＝16.‎ ‎20．(本小题满分12分)已知A、B、D三点不在一条直线上，且A(－2,0)，B(2,0)，||＝2，＝(＋)．‎ ‎(1)求E点的轨迹方程；‎ ‎(2)过A作直线交以A、B为焦点的椭圆于M，N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线MN与E点的轨迹相切，求椭圆的方程．‎ 解：(1)设E(x，y)，由＝(＋)，可知E为线段BD的中点，‎ 又因为坐标原点O为线段AB的中点，‎ 所以OE是△ABD的中位线，‎ 所以||＝||＝1，‎ 所以E点在以O为圆心，1为半径的圆上，‎ 又因为A，B，D三点不在一条直线上，‎ 所以E点不能在x轴上，‎ 所以E点的轨迹方程是x2＋y2＝1(y≠0)．‎ ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，中点为(x0，y0)，椭圆的方程为＋＝1，直线MN的方程为y＝k(x＋2)(当直线斜率不存在时不成立)，‎ 由于直线MN与圆x2＋y2＝1(y≠0)相切，‎ 所以＝1，解得k＝±，‎ 所以直线MN的方程为y＝±(x＋2)，‎ 将直线y＝±(x＋2)代入方程＋＝1，‎ 整理可得：4(a2－3)x2＋‎4a2x＋‎16a2－‎3a4＝0，‎ 所以x0＝＝－.‎ 又线段MN的中点到y轴的距离为，‎ 即x0＝－＝－，解得a＝2.‎ 故所求的椭圆方程为＋＝1.‎ ‎21．[理](本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O为坐标原点，点A、B分别在x轴，y轴上运动，且|AB|＝8，动点P满足＝，设点P的轨迹为曲线C，定点为M(4,0)，直线PM交曲线C于另外一点Q.‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)求△OPQ面积的最大值．‎ 解：(1)设A(a,0)，B(0，b)，P(x，y)，‎ 则＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)，‎ ‎∵＝，∴∴a＝x，b＝y.‎ 又|AB|＝＝8，∴＋＝1.‎ ‎∴曲线C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由(1)可知，M(4,0)为椭圆＋＝1的右焦点，‎ 设直线PM方程为x＝my＋4，‎ 由消去x得 ‎(‎9m2‎＋25)y2＋72my－81＝0，‎ ‎∴|yP－yQ|＝ ‎＝.‎ ‎∴S△OPQ＝|OM||yP－yQ|＝2× ‎＝＝＝ ‎≤＝，‎ 当＝，‎ 即m＝±时，△OPQ的面积取得最大值为，此时直线方程为3x±y－12＝0.‎ ‎[文](本小题满分14分)设椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．‎ 解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么A、B的坐标是方程组的解．‎ 由ax＋by＝1，ax＋by＝1，两式相减，得 a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0，‎ 因为＝－1，‎ 所以＝，‎ 即＝，＝＝，所以b＝a.①‎ 再由方程组消去y得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，‎ 由|AB|＝＝ ‎＝＝2，‎ 得(x1＋x2)2－4x1x2＝4，即()2－4·＝4.②‎ 由①②解得a＝，b＝，‎ 故所求的椭圆的方程为＋＝1.‎