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- 2021-06-15 发布
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学业分层测评(十三)
(建议用时:45 分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.等比数列{an}的公比 q=-1
4
,a1= 2,则数列{an}是( )
A.递增数列 B.递减数列
C.常数数列 D.摆动数列
【解析】 因为等比数列{an}的公比为 q=-1
4
,a1= 2,故 a2<0,a3>0,…
所以数列{an}是摆动数列.
【答案】 D
2.(2014·重庆高考)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( )
A.a1,a3,a9 成等比数列
B.a2,a3,a6 成等比数列
C.a2,a4,a8 成等比数列
D.a3,a6,a9 成等比数列
【解析】 设等比数列的公比为 q,因为a6
a3
=a9
a6
=q3,即 a26=a3a9,所以 a3,
a6,a9 成等比数列.故选 D.
【答案】 D
3.在等比数列{an}中,a3a4a5=3,a6a7a8=24,则 a9a10a11 的值为( )
A.48 B.72 C.144 D.192
【解析】 ∵a6a7a8
a3a4a5
=q9=8(q 为公比),
∴a9a10a11=a6a7a8q9=24×8=192.
【答案】 D
4.在 3 和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去 6,
则成等比数列,则此未知数是( )
A.3 B.27
C.3 或 27 D.15 或 27
【解析】 设此三数为 3,a,b,则 2a=3+b,
a-62=3b,
解得 a=3,
b=3
或 a=15,
b=27.
所以这个未知数为 3 或 27.
【答案】 C
5.已知等比数列{an}各项均为正数,且 a1,1
2a3,a2 成等差数列,则a3+a4
a4+a5
等
于( )
A. 5+1
2 B. 5-1
2
C.1- 5
2 D. 5+1
2
或 5-1
2
【解析】 由题意,得 a3=a1+a2,即 a1q2=a1+a1q,
∴q2=1+q,解得 q=1± 5
2 .
又∵{an}各项均为正数,∴q>0,即 q=1+ 5
2 .
∴a3+a4
a4+a5
=a1q2+a1q3
a1q3+a1q4
=1
q
= 5-1
2 .
【答案】 B
二、填空题
6.(2015·青岛高二检测)在等比数列{an}中,a3=16,a1a2a3…a10=265,则 a7
等于 .
【解析】 因为 a1a2a3…a10=(a3a8)5=265,
所以 a3a8=213,又因为 a3=16=24,所以 a8=29=512.
因为 a8=a3·q5,所以 q=2.所以 a7=a8
q
=256.
【答案】 256
7.在右列表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每纵列成等
比数列,则 x+y+z 的值为 .
【解析】 ∵x
2
=2
4
,∴x=1.
∵第一行中的数成等差数列,首项为 2,公差为 1,故后两格中数字分别为 5,6.
同理,第二行后两格中数字分别为 2.5,3.
∴y=5·
1
2 3,z=6·
1
2 4.
∴x+y+z=1+5·
1
2 3+6·
1
2 4=32
16
=2.
【答案】 2
8.某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的 m 倍,那么该单位此年的
月平均增长率是 .
【解析】 由题意可知,这一年中的每一个月的产值成等比数列,求月平均
增长率只需利用a12
a1
=m,所以月平均增长率为
11
m-1.
【答案】
11
m-1
三、解答题
9.在等比数列{an}中,a2-a1=2,且 2a2 为 3a1 和 a3 的等差中项,求数列{an}
的首项、公比. 【导学号:05920071】
【解】 设该数列的公比为 q.
由已知,得 a1q-a1=2,
4a1q=3a1+a1q2,
所以 a1q-1=2,
q2-4q+3=0,
解得 a1=1,
q=3.
(q=1 舍去)
故首项 a1=1,公比 q=3.
10.(2015·福建高考改编)若 a,b 是函数 f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不
同的零点,且 a,b,-2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成
等比数列,求 p+q 的值.
【解】 不妨设 a>b,由题意得 a+b=p>0,
ab=q>0,
∴a>0,b>0,则 a,-2,b
成等比数列,a,b,-2 成等差数列,
∴ ab=-22,
a-2=2b,
∴ a=4,
b=1,
∴p=5,q=4,∴p+q=9.
[能力提升]
1.等比数列{an}是递减数列,前 n 项的积为 Tn,若 T13=4T9,则 a8a15=( )
A.±2 B.±4
C.2 D.4
【解析】 ∵T13=4T9.
∴a1a2…a9a10a11a12a13=4a1a2…a9.
∴a10a11a12a13=4.
又∵a10·a13=a11·a12=a8·a15,
∴(a8·a15)2=4.∴a8a15=±2.
又∵{an}为递减数列,∴q>0.∴a8a15=2.
【答案】 C
2.公差不为零的等差数列{an}中,2a3-a27+2a11=0,数列{bn}是等比数列,
且 b7=a7,则 b6b8=( )
A.16 B.14
C.4 D.49
【解析】 ∵2a3-a27+2a11=2(a3+a11)-a27=4a7-a27=0,
∵b7=a7≠0,∴b7=a7=4.∴b6b8=b27=16.
【答案】 A
3.设{an}是公比为 q 的等比数列,|q|>1,令 bn=an+1(n=1,2,…),若数列{bn}
有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则 6q= .
【解析】 由题意知,数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,
说明{an}有连续四项在集合{-54,-24,18,36,81}中,由于{an}中连续四项至少有
一项为负,∴q<0.
又∵|q|>1,∴{an}的连续四项为-24,36,-54,81.
∴q= 36
-24
=-3
2
,
∴6q=-9.
【答案】 -9
4.在等差数列{an}中,公差 d≠0,a2 是 a1 与 a4 的等比中项.已知数列 a1,
a3,ak1,ak2,…,akn,…成等比数列,求数列{kn}的通项 kn.
【解】 依题设得 an=a1+(n-1)d,a22=a1a4,
∴(a1+d)2=a1(a1+3d),整理得 d2=a1d,
∵d≠0,∴d=a1,得 an=nd.
∴由已知得 d,3d,k1d,k2d,…,knd,…是等比数列.
又 d≠0,∴数列 1,3,k1,k2,…,kn,…也是等比数列,首项为 1,公比为 q
=3
1
=3,由此得 k1=9.
等比数列{kn}的首项 k1=9,公比 q=3,
∴kn=9×qn-1=3n+1(n=1,2,3,…),即得到数列{kn}的通项为 kn=3n+1.
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