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  • 2021-06-15 发布

高中数学人教a版必修五第二章数列学业分层测评13word版含答案

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学业分层测评(十三) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.等比数列{an}的公比 q=-1 4 ,a1= 2,则数列{an}是( ) A.递增数列 B.递减数列 C.常数数列 D.摆动数列 【解析】 因为等比数列{an}的公比为 q=-1 4 ,a1= 2,故 a2<0,a3>0,… 所以数列{an}是摆动数列. 【答案】 D 2.(2014·重庆高考)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( ) A.a1,a3,a9 成等比数列 B.a2,a3,a6 成等比数列 C.a2,a4,a8 成等比数列 D.a3,a6,a9 成等比数列 【解析】 设等比数列的公比为 q,因为a6 a3 =a9 a6 =q3,即 a26=a3a9,所以 a3, a6,a9 成等比数列.故选 D. 【答案】 D 3.在等比数列{an}中,a3a4a5=3,a6a7a8=24,则 a9a10a11 的值为( ) A.48 B.72 C.144 D.192 【解析】 ∵a6a7a8 a3a4a5 =q9=8(q 为公比), ∴a9a10a11=a6a7a8q9=24×8=192. 【答案】 D 4.在 3 和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去 6, 则成等比数列,则此未知数是( ) A.3 B.27 C.3 或 27 D.15 或 27 【解析】 设此三数为 3,a,b,则 2a=3+b, a-62=3b, 解得 a=3, b=3 或 a=15, b=27. 所以这个未知数为 3 或 27. 【答案】 C 5.已知等比数列{an}各项均为正数,且 a1,1 2a3,a2 成等差数列,则a3+a4 a4+a5 等 于( ) A. 5+1 2 B. 5-1 2 C.1- 5 2 D. 5+1 2 或 5-1 2 【解析】 由题意,得 a3=a1+a2,即 a1q2=a1+a1q, ∴q2=1+q,解得 q=1± 5 2 . 又∵{an}各项均为正数,∴q>0,即 q=1+ 5 2 . ∴a3+a4 a4+a5 =a1q2+a1q3 a1q3+a1q4 =1 q = 5-1 2 . 【答案】 B 二、填空题 6.(2015·青岛高二检测)在等比数列{an}中,a3=16,a1a2a3…a10=265,则 a7 等于 . 【解析】 因为 a1a2a3…a10=(a3a8)5=265, 所以 a3a8=213,又因为 a3=16=24,所以 a8=29=512. 因为 a8=a3·q5,所以 q=2.所以 a7=a8 q =256. 【答案】 256 7.在右列表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每纵列成等 比数列,则 x+y+z 的值为 . 【解析】 ∵x 2 =2 4 ,∴x=1. ∵第一行中的数成等差数列,首项为 2,公差为 1,故后两格中数字分别为 5,6. 同理,第二行后两格中数字分别为 2.5,3. ∴y=5· 1 2 3,z=6· 1 2 4. ∴x+y+z=1+5· 1 2 3+6· 1 2 4=32 16 =2. 【答案】 2 8.某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的 m 倍,那么该单位此年的 月平均增长率是 . 【解析】 由题意可知,这一年中的每一个月的产值成等比数列,求月平均 增长率只需利用a12 a1 =m,所以月平均增长率为 11 m-1. 【答案】 11 m-1 三、解答题 9.在等比数列{an}中,a2-a1=2,且 2a2 为 3a1 和 a3 的等差中项,求数列{an} 的首项、公比. 【导学号:05920071】 【解】 设该数列的公比为 q. 由已知,得 a1q-a1=2, 4a1q=3a1+a1q2, 所以 a1q-1=2, q2-4q+3=0, 解得 a1=1, q=3. (q=1 舍去) 故首项 a1=1,公比 q=3. 10.(2015·福建高考改编)若 a,b 是函数 f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不 同的零点,且 a,b,-2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成 等比数列,求 p+q 的值. 【解】 不妨设 a>b,由题意得 a+b=p>0, ab=q>0, ∴a>0,b>0,则 a,-2,b 成等比数列,a,b,-2 成等差数列, ∴ ab=-22, a-2=2b, ∴ a=4, b=1, ∴p=5,q=4,∴p+q=9. [能力提升] 1.等比数列{an}是递减数列,前 n 项的积为 Tn,若 T13=4T9,则 a8a15=( ) A.±2 B.±4 C.2 D.4 【解析】 ∵T13=4T9. ∴a1a2…a9a10a11a12a13=4a1a2…a9. ∴a10a11a12a13=4. 又∵a10·a13=a11·a12=a8·a15, ∴(a8·a15)2=4.∴a8a15=±2. 又∵{an}为递减数列,∴q>0.∴a8a15=2. 【答案】 C 2.公差不为零的等差数列{an}中,2a3-a27+2a11=0,数列{bn}是等比数列, 且 b7=a7,则 b6b8=( ) A.16 B.14 C.4 D.49 【解析】 ∵2a3-a27+2a11=2(a3+a11)-a27=4a7-a27=0, ∵b7=a7≠0,∴b7=a7=4.∴b6b8=b27=16. 【答案】 A 3.设{an}是公比为 q 的等比数列,|q|>1,令 bn=an+1(n=1,2,…),若数列{bn} 有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则 6q= . 【解析】 由题意知,数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中, 说明{an}有连续四项在集合{-54,-24,18,36,81}中,由于{an}中连续四项至少有 一项为负,∴q<0. 又∵|q|>1,∴{an}的连续四项为-24,36,-54,81. ∴q= 36 -24 =-3 2 , ∴6q=-9. 【答案】 -9 4.在等差数列{an}中,公差 d≠0,a2 是 a1 与 a4 的等比中项.已知数列 a1, a3,ak1,ak2,…,akn,…成等比数列,求数列{kn}的通项 kn. 【解】 依题设得 an=a1+(n-1)d,a22=a1a4, ∴(a1+d)2=a1(a1+3d),整理得 d2=a1d, ∵d≠0,∴d=a1,得 an=nd. ∴由已知得 d,3d,k1d,k2d,…,knd,…是等比数列. 又 d≠0,∴数列 1,3,k1,k2,…,kn,…也是等比数列,首项为 1,公比为 q =3 1 =3,由此得 k1=9. 等比数列{kn}的首项 k1=9,公比 q=3, ∴kn=9×qn-1=3n+1(n=1,2,3,…),即得到数列{kn}的通项为 kn=3n+1.