高中数学必修1教案：第二章（第9课时）反函数2 4页

课 题：2.4.2 反函数（二）‎ 教学目的：‎ ‎⒈使学生了解互为反函数的函数图象间的关系的定理及其证明.‎ ‎⒉会利用互为反函数的函数图象间的关系解决有关问题.‎ 教学重点：互为反函数的函数图象间的关系定理及其证明，定理的应用；‎ 教学难点：定理的证明（但教材不作要求）.‎ 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎1．反函数的定义；‎ ‎2．互为反函数的两个函数与间的关系：‎ ‎----定义域、值域相反，对应法则互逆；‎ ‎3．反函数的求法：一解、二换、三注明 ‎4. 在平面直角坐标系中，①点A(x,y)关于x轴的对称点(x,-y);‎ ‎②点A(x,y)关于y轴的对称点(-x,y);③点A(x,y)关于原点的对称点(-x,-y);④点A(x,y)关于y=x轴的对称点(?,？);‎ ‎5.我们已经知道两个互为反函数的函数间有着必然的联系（在定义域、值域和对应法则方面）. 函数图象是从“形”的方面反映这个函数的自变量x与因变量y之间的关系.因此，互为反函数的函数图象间也必然有一定的关系，今天通过观察如下图像研究—互为反函数的函数图象间的关系.‎ ‎①的反函数是 ‎②的反函数是 二、讲解新课：‎ ‎1．探究互为反函数的函数的图像关系 观察讨论函数、反函数的图像，归纳结论：函数 的图象和它的反函数的图象关于直线对称.‎ ‎2．证明结论（不要求掌握，根据实际情况处理）‎ 证明：设M(a,b)是的图象上的任意一点，‎ 则当x=a时，有唯一的值.‎ ‎∵有反函数，‎ ‎∴当x=b时，有唯一的值，‎ 即点(b,a)在反函数的图象上.‎ 若a=b，则M，是直线y=x上的同一个点，它们关于直线y=x对称. ‎ 若ab，在直线y=x上任意取一点P(c,c)，连结PM，P，M 由两点间的距离公式得：‎ PM=,P=，‎ ‎∴PM=P. ∴直线y=x是线段M的垂直平分线，‎ ‎∴点M, 关于直线y=x对称.‎ ‎∵点M是y=f(x)的图象上的任意一点，‎ ‎∴图象上任意一点关于直线y=x的对称点都在它的反函数的图象上，由与互为反函数可知，函数图象上任意一点关于直线y=x的对称点也都在它的反函数的图象上，‎ ‎∴函数与的图象关于直线y=x对称.‎ 逆命题成立：若两个函数的图象关于直线y=x对称，则这两个函数一定是互为反函数.‎ ‎3．应用：⑴利用对称性作反函数的图像 若的图象已作出或比较好作，那么它的反函数的图象可以由的图象关于直线y=x对称而得到；‎ ‎⑵求反函数的定义域求原函数的值域；‎ ‎⑶反函数的单调性与原函数的单调性相同 三、讲解例题：‎ 例1．求函数的反函数,并利用对称关系作出其反函数的图象.‎ 解：∵原函数的定义域是x<0，值域是y>0, ‎ ‎∴由y=解出,‎ ‎∴函数的反函数是,‎ 作 y=(x(-∞,0))的图象，再作该函数关于直线y=x的对称曲线，即为函数的图象（如图）. ‎ 例2．求函数的值域．‎ 分析：灵活运用互为反函数的两个函数定义域和值域之间的关系.‎ 解：∵ ∴ ∴ y≠‎ ‎∴函数的值域为{y|y≠}‎ 例3 已知=(x<-1)，求；‎ 解法1：⑴令=y=，∴=--①，∵x<-1，∴x=-;⑵∵x<-1，由①式知≥1,∴y<0; ‎ ‎⑶∴= -(x<0)；⑷=-2.‎ 分析：由y=与y=互为反函数的关系可知：当y=中的x=a时y=b，则在y=中,当x=b时y=a，本题要求 ‎，设其为u，说明在函数=y=(x<-1)中，当y=时，x=u，问题转化为知原来函数中的y=而求x. ‎ 解法2：令=，变形得=1+3=4，又∵x<-1，∴x=-2.‎ 说明：解法2显然比解法1简捷得多，正确灵活地运用所学的有关概念，往往可以收到事半功倍的效果.‎ 四、练习：课本P63－64练习：5，6，7‎ 补充：设函数y=的反函数为y=，求y=的反函数.‎ 解：在函数y=中，x为自变量，y为函数，且由题意知-x=, ∴x=-，∴y=的反函数为y=-，‎ 又∵= ,∴y=的反函数为y=-.‎ ‎ 五、小结 本节课学习了以下内容：‎ ‎1.互为反函数的函数图象间关系，‎ ‎2.求一个函数的反函数图象的方法，‎ ‎3.互为反函数的两个函数具有相同的增减性 六、课后作业：课本P64习题2.4：2‎ 答案与提示：2.y==,x∈[0,5];‎ 补充：⒈求下列函数的反函数：‎ ‎⑴；⑵y=-6x+12(x≤3);⑶y=(x≤-2).‎ ‎⒉已知函数y=ax+2的反函数是y=3x+b，求a,b的值.‎ 答案：⒈ ⑴y=-(x≥0); ⑵y=3-(x≥0);‎ ‎⑶y=--2(x≥0). ⒉a=,b=-6;.‎ 七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎