高中数学人教a版选修1-1学业分层测评12抛物线的简单几何性质word版含解析 8页

学业分层测评 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．过抛物线 y2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A，B 两 点，它们的横坐标之和等于 5，则这样的直线( ) A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 【解析】 由定义，知|AB|＝5＋2＝7，因为|AB|min＝4，所以这 样的直线有且仅有两条． 【答案】 B 2．过点(1,0)作斜率为－2 的直线，与抛物线 y2＝8x 交于 A，B 两点，则弦 AB 的长为( ) A．2 13 B．2 15 C．2 17 D．2 19 【解析】 设 A，B 两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由直线 AB 斜率为－2，且过点(1,0)得直线 AB 的方程为 y＝－2(x－1)，代入 抛物线方程 y2＝8x 得 4(x－1)2＝8x，整理得 x2－4x＋1＝0，则 x1＋x2 ＝4，x1x2＝1，|AB|＝ 5 x1＋x22－4x1x2＝ 5 16－4＝2 15.故选 B. 【答案】 B 3．(2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线 C：y2＝x 的焦点为 F，A(x0，y0) 是 C 上一点，|AF|＝5 4x0，则 x0＝( ) A．1 B．2 C．4 D．8 【解析】 由 y2＝x 得 2p＝1，即 p＝1 2 ，因此焦点 F 1 4 ，0 ，准 线方程为 l：x＝－1 4 ，设 A 点到准线的距离为 d，由抛物线的定义可 知 d＝|AF|，从而 x0＋1 4 ＝5 4x0，解得 x0＝1，故选 A. 【答案】 A 4．已知抛物线 y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛 物线于 A，B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的 准线方程为( ) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 【解析】 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 A，B 两点在抛物线上， 得 y21＝2px1，① y22＝2px2，② 由①－②，得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)．又线段 AB 的中点的 纵坐标为 2，即 y1＋y2＝4，直线 AB 的斜率为 1，故 2p＝4，p＝2， 因此抛物线的准线方程为 x＝－p 2 ＝－1. 【答案】 B 5．设 O 为坐标原点，F 为抛物线 y2＝4x 的焦点，A 为抛物线上 一点，若 O A→·A F→＝－4，则点 A 的坐标为( )【导学号：26160061】 A．(2，±2 2) B．(1，±2) C．(1,2) D．(2,2 2) 【解析】 设 A(x，y)，则 y2＝4x，① O A→＝(x，y)，A F→＝(1－x，－y)，O A→·A F→＝x－x2－y2＝－4，② 由①②可解得 x＝1，y＝±2. 【答案】 B 二、填空题 6．抛物线 y2 ＝4x 上的点到直线 x－y＋4＝0 的最小距离为 ________． 【解析】 可判断直线 y＝x＋4 与抛物线 y2＝4x 相离， 设 y＝x＋m 与抛物线 y2＝4x 相切， 则由 y＝x＋m， y2＝4x， 消去 x 得 y2－4y＋4m＝0. ∴Δ＝16－16m＝0，m＝1. 又 y＝x＋4 与 y＝x＋1 的距离 d＝|4－1| 2 ＝3 2 2 ， 则所求的最小距离为3 2 2 . 【答案】 3 2 2 7．已知抛物线 y2＝4x，过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1， y1)，B(x2，y2)两点，则 y21＋y 21的最小值是________． 【解析】 设 AB 的方程为 x＝my＋4，代入 y2＝4x 得 y2－4my －16＝0，则 y1＋y2＝4m，y1y2＝－16， ∴y21＋y22＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32， 当 m＝0 时，y21＋y 22最小为 32. 【答案】 32 8．过抛物线 y2＝2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A，B 两点，若 |AB|＝25 12 ，|AF|＜|BF|，则|AF|＝________. 【解析】 设过抛物线焦点的直线为 y＝k x－1 2 ， 联立得 y2＝2x， y＝k x－1 2 ， 整理得 k2x2－(k2＋2)x＋1 4k2＝0， x1＋x2＝k2＋2 k2 ，x1x2＝1 4. |AB|＝x1＋x2＋1＝k2＋2 k2 ＋1＝25 12 ，得 k2＝24， 代入 k2x2－(k2＋2)x＋1 4k2＝0 得 12x2－13x＋3＝0， 解之得 x1＝1 3 ，x2＝3 4 ，又|AF|＜|BF|， 故|AF|＝x1＋1 2 ＝5 6. 【答案】 5 6 三、解答题 9．求过定点 P(0,1)，且与抛物线 y2＝2x 只有一个公共点的直线 方程． 【解】 如图所示，若直线的斜率不存在， 则过点 P(0,1)的直线方程为 x＝0， 由 x＝0， y2＝2x， 得 x＝0， y＝0， 即直线 x＝0 与抛物线只有一个公共点． 若直线的斜率存在， 则设直线为 y＝kx＋1，代入 y2＝2x 得： k2x2＋(2k－2)x＋1＝0， 当 k＝0 时，直线方程为 y＝1，与抛物线只有一个交点． 当 k≠0 时，Δ＝(2k－2)2－4k2＝0⇒k＝1 2.此时，直线方程为 y＝1 2x ＋1. 可知，y＝1 或 y＝1 2x＋1 为所求的直线方程． 故所求的直线方程为 x＝0 或 y＝1 或 y＝1 2x＋1. 10．已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 l 过 F 且垂直于 x 轴， l 与抛物线交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于 4， 求此抛物线的标准方程． 【解】 由题意，抛物线方程为 y2＝2px(p≠0)， 焦点 F p 2 ，0 ，直线 l：x＝p 2 ， ∴A，B 两点坐标为 p 2 ，p ， p 2 ，－p ， ∴|AB|＝2|p|. ∵△OAB 的面积为 4， ∴1 2·|p 2|·2|p|＝4，∴p＝±2 2. ∴抛物线方程为 y2＝±4 2x. [能力提升] 1．(2014·全国卷Ⅱ)设 F 为抛物线 C：y2＝3x 的焦点，过 F 且倾 斜角为 30°的直线交 C 于 A，B 两点，则|AB|＝( ) A. 30 3 B．6 C．12 D．7 3 【解析】 ∵F 为抛物线 C：y2＝3x 的焦点， ∴F 3 4 ，0 ， ∴AB 的方程为 y－0＝tan 30° x－3 4 ， 即 y＝ 3 3 x－ 3 4 . 联立 y2＝3x， y＝ 3 3 x－ 3 4 ， 得 1 3x2－7 2x＋ 3 16 ＝0. ∴x1＋x2＝－ －7 2 1 3 ＝21 2 ，即 xA＋xB＝21 2 . 由于|AB|＝xA＋xB＋p，所以|AB|＝21 2 ＋3 2 ＝12. 【答案】 C 2．已知 AB 是抛物线 y2＝2px(p>0)上的两点，O 为原点，若|OA→ | ＝|OB→ |，且抛物线的焦点恰好为△AOB 的垂心，则直线 AB 的方程是 ( ) A．x＝p B．x＝3 2p C．x＝5 2p D．x＝3p 【解析】 ∵|OA→ |＝|O B→|， ∴A，B 关于 x 轴对称． 设 A(x0， 2px0)，B(x0，－ 2px0)． ∵AF⊥OB，F p 2 ，0 ， ∴ 2px0 x0－p 2 · － 2px0 x0 ＝－1， ∴x0＝5 2p. 【答案】 C 3．(2014·湖南高考)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0) 的距离和到直线 x＝－1 的距离相等．若机器人接触不到过点 P(－1,0) 且斜率为 k 的直线，则 k 的取值范围是________． 【解析】 由题意知机器人行进轨迹为以 F(1,0)为焦点，x＝－1 为准线的抛物线，其方程为 y2＝4x.设过点(－1,0)且斜率为 k 的直线方 程为 y＝k(x＋1)．代入 y2＝4x，得 k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0.∵机器人接 触不到该直线，∴Δ＝(2k2－4)2－4k4<0，∴k2>1.∴k>1 或 k<－1. 【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞) 4．已知直线 l：y＝1 2x＋5 4 ，抛物线 C：y2＝2px(p>0)的顶点关于 直线 l 的对称点在该抛物线的准线上． (1)求抛物线 C 的方程； (2)设 A，B 是抛物线 C 上两个动点，过 A 作平行于 x 轴的直线 m， 直线 OB 与直线 m 交于点 N，若 O A→·O B→＝0(O 为原点，A，B 异于 原点)，试求点 N 的轨迹方程. 【导学号：26160062】 【解】 (1)直线 l：y＝1 2x＋5 4.① 过原点且垂直于 l 的直线方程为 y＝－2x.② 由①②，得 x＝－1 2. ∵抛物线的顶点关于直线 l 的对称点在该抛物线的准线上， ∴－p 2 ＝－1 2 ×2，∴p＝2. ∴抛物线 C 的方程为 y2＝4x. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x，y)． 由 O A→·O B→＝0，得 x1x2＋y1y2＝0. 又 y21＝4x1，y22＝4x2， 解得 y1y2＝－16.③ 直线 ON：y＝y2 x2 x，即 y＝4 y2 x.④ 由③④及 y＝y1，得点 N 的轨迹方程为 x＝－4(y≠0)．