2020年浙江省舟山中学高考数学模拟试卷(3月份) (含答案解析) 17页

2020 年浙江省舟山中学高考数学模拟试卷(3 月份) 一、单项选择题（本大题共 10小题，共 40.0分） 1. 已知全集 知 全集 a集 i fb，集合 知 全ሼ4，b， 知 全13，b，则 知 A. 全香2，7，b B. 全香2，b C. 全香2，b D. 全香ǡb ǡ. 设双曲线 ǡ f 集ǡ ǡ 知 1 香的渐近线方程为 ሼ集 知 香，则双曲线的离心率为 A. B. ሼ C. D. ሼ. 直线 集 ൅ ൅ 1 知 香与不等式组 集 ൅ ሼ 香 ǡ集 香 集 ǡ 香 表示的平面区域有公共点，则实数 m的取值范 围是 A. ሼ ሼ B. ሼ ሼ C. ሼ ሼ ǡ D. ሼ ǡ ሼ . 已知某几何体的三视图如图所示单位：，则其体积为 A. ǡ ሼ ǡ ሼ B. f ǡ ሼ C. f ሼ ǡ ሼ D. ǡ ǡ ሼ . 命题“集 1ǡ，ǡ集ǡ 香”为真命题的一个充分不必要条件是 A. 1 B. ǡ C. ሼ D. . 函数 知 ǡ 集 sinǡ集的图象可能是 A. B. C. D. . 若 X的概率分布为 X 0 1 P 1 a 则 ⸲等于 A. B. 1 ǡ C. ǡ D. 1 8. 如图，四边形 ABCD是矩形，沿直线 BD将 䁨翻折成 香䁨， 异面直线 CD与 香所成的角为，则 A. i 香䁡 B. 香䁡 C. i 香䁡䁨 D. 香䁡䁨 9. 若 1，则 A. ݈ ݈ B. ݈ i ݈ C. i D. 10. 已知数列全b的前 n项和 知 1 ǡ ൅ 1， ， 知 ሼ ൅ 11，则数列全b的前 ǡ൅ 1 项和为 A. ሼǡ൅ǡ1 ǡ ൅ B. 1 ǡ ሼǡ൅ǡ ൅ ൅ 1 ǡ C. ሼǡ൅ǡ1 ǡ D. 1 ǡ ሼǡ൅ǡ ൅ ሼ ǡ 二、填空题（本大题共 7小题，共 36.0分） 11. 复数 知 ሼ൅ ǡ൅ 的模是______ ． 12. 等比数列全b中，公比为 2，前四项和等于 1，则前 8项和等于______ ． 13. 若 集 ൅ ሼ 集 的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64，则展开式中常数项为 ______． 14. 已知 11为椭圆 集ǡ 1 ൅ ǡ 1ǡ 知 1内一点，1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点，则a1a ൅ aa的 最大值为______． 15. 设锐角 䁡的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 知 ǡ，则角 B________． 16. 圆集ǡ ൅ ǡ ൅ ǡ集 ൅ 1 知 香关于直线 ǡ集 ൅ ǡ 知 香对称 ，则 ab的最大值是 ______ ． 17. 若平面向量满足：aǡ a ሼ，则的最小值是________． 三、解答题（本大题共 5小题，共 74.0分） 18. 已知函数 集 知 集 ൅ ሼ݋集.求 集的最小正周期和最值． 19. 如图，四边形 ABCD与 BDEF均为菱形， 知 䁡，且䁨 知 䁨 知 香． 1求证：䁡 平面 BDEF； ǡ求直线 AD与平面 ABF所成角的正弦值． 20. 已知数列全b满足1 知 1，且൅1 知 1 ൅ሼ ． 1证明数列全 1 ൅1 b是等差数列，并求数列全b的通项公式． ǡ若 知 ǡ ൅1 ，求数列全b的前 n项和． 21. 已知抛物线 C：ǡ 知 ǡ䁕集经过点 1ǡ.过点 香1的直线 l与抛物线 C有两个不同的交点 A， B，且直线 PA交 y轴于 M，直线 PB交 y轴于 N． 1抛物线 C的方程； ǡ求直线 l的斜率的取值范围． 22. 已知函数 集 知 集൅ ݈集，其中 a为常数，e为自然对数的底数． 1求 集的单调区间； ǡ若 i 香，且 集在区间香上的最大值为 ǡ，求 a的值． 【答案与解析】 1.答案：A 解析： 本题考查集合的基本运算，属于基础题． 先计算，，再计算 ． 解：全集 知 全集 a集 i fb 知 全香1，2，3，4，5，6，7，b． 集合 知 全ሼ4，b， 知 全13，b， 所以 知 全香1，2，6，7，b， 知 全香2，4，5，7，b． 则 知 全香2，7，b， 故选 A． 2.答案：B 解析： 利用双曲线 ǡ f 集ǡ ǡ 知 1 香的渐近线方程为 ሼ集 知 香，确定双曲线方程，求出几何量，利用离 心率公式，即可得到结论． 本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 解析： 解：双曲线 ǡ f 集ǡ ǡ 知 1 香的渐近线方程为 ሼ集 知 香， 知 ሼ 知 ሼ ， 知 ． 知 ǡ ൅ ǡ 知 双曲线的离心率 知 ሼ ． 故选Ｂ． 3.答案：A 解析： 本题考查线性规划及直线斜率的应用． 要使直线和平面区域有公共点，则直线 集 ൅ ൅ 1 知 香的斜率 香，即 知 1 ，且满足䁨 䁨，利用斜率公式求解即可． 解：直线 集 ൅ ൅ 1 知 香过定点 䁨 1香， 作不等式组 集 ൅ ሼ 香 ǡ集 香 集 ǡ 香 表示的平面区域如图，其中 ǡ，ǡ1， 要使直线和平面区域有公共点，则直线 集 ൅ ൅ 1 知 香的斜率 香， 即 知 1 ，且满足䁨 䁨， 此时直线 AD的斜率䁨 知 ǡ 1 知 ሼ， 直线 BD的斜率䁨 知 1香 ǡ 1 知 1 ሼ， 即 1 ሼ ሼ ，所以 1 ሼ 1 ሼ ，则 ሼ ሼ ． 故选 A． 4.答案：C 解析： 本题考查的知识点由三视图求体积和表面积，其中根据已知中的三视图，判断出几何体的形状，是 解答的关键． 由已知中的三视图可画出该几何体的直观图，进而将其割补为棱锥的体积后，可得答案． 解：由几何体的三视图可得几何体为图中红色区域部分： 其体积为 知 1 ሼ 1 ǡ ǡ ൅ ሼ ሼ ሼ ǡ 知 f ሼ ǡ ． 故选 C． 5.答案：A 解析：解：由 ǡ集ǡ 香，得 ǡ集ǡ， 函数 知 ǡ集ǡ在1ǡ上的最小值为 2． 若对集 1ǡ，ǡ集ǡ 香成立，则 ǡ． 由 1，得 ǡ成立，反之不成立， 则 1是“集 1ǡ，ǡ集ǡ 香”为真命题的一个充分不必要条件； ǡ是“集 1ǡ，ǡ集ǡ 香”为真命题的一个充分必要条件； ሼ与 是“集 1ǡ，ǡ集ǡ 香”为真命题的不充分条件． 故选：A． 求出对集 1ǡ，ǡ集ǡ 香恒成立的 a的取值范围，然后结合充分必要条件的判定逐一分析四 个选项得答案． 本题考查充分必要条件的判定方法，考查恒成立问题的求解方法，是基础题． 6.答案：D 解析： 本题考查了函数图象的作法以及函数性质的应用，首先判断出函数奇偶性，再利用特殊值判断出函 数图象． 解： 集 知 ǡ 集 sin ǡ集 知 ǡ 集 ǡ集 知 集 ， 函数为奇函数，即函数图象关于原点对称，则排除 A，B选项； ǡ 知 ǡ ǡ 知 香， 知 ǡǡ 知 香， 排除 C， 故选 D． 7.答案：A 解析： 本题考查离散型随机变量的方差的求法，属于基础题． 利用概率和为 1，求出 a的值，由随机变量 X的概率分布列公式求解可得 ⸲． 解：由 1 ൅ 知 1，得 知 ，所以 ⸲ 知 香 1 ൅ 1 知 ． 故选 A 8.答案：B 解析：解： 䁡䁨， 香为异面直线 CD与 香所成的角． 假设四边形 ABCD是矩形， 知 1，平面 香䁨 平面 ABCD． 连结 AC，香，香䁡.则 香㜠 平面 ABCD，香㜠 知 㜠 知 㜠 知 䁡㜠 知 䁨㜠 知 1 ǡ 䁡 知 ǡ ǡ ， 香 知 香䁡 知 香 知 香䁨 知 1， 香， 香䁡䁨是等边三角形， 香䁡是等腰直角三角形， 香䁡 知 ，香䁡䁨 知 香 知 香， 即 香䁡， 知 香䁡䁨.排除 A，C，D． 故选 B． 假设 ABCD是矩形，且平面 䁨 平面 ABCD，计算三个角的大小，使用排除法选择答案． 本题考查了异面直线所成角的计算，属于中档题． 9.答案：D 解析： 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数以及熟练应用导数是解题的关键． 令 集 知 ݈集 集 集 香，求出 集的单调性判断 A、B，令 集 知 集 集 ，同理判断 C、D． 解：令 集 知 ݈集 集 集 香，则 香集 知 1݈集 集ǡ ，令 香集 知 香，则 集 知 ， 当 集 香时，1 ݈集 香，香集 香， 当 集 ൅时，1 ݈集 i 香，香集 i 香， 集在香递增，在 ൅ 递减， 1 ൅ ， 时， i ，即 ݈ i ݈ ，即 ݈ i ݈， 而 时， ݈ ݈ ，即 ݈ ݈， 故 A、B错误； 令 集 知 集 集 ，同理可知，函数 集的增区间为1 ൅ ，减区间为 1， 当 1时， ，即 ，即 i ， 故选 D． 10.答案：A 解析：解：当 知 1时，1 知 1 知 1 ǡ 1 ǡ 知 1； 当 ǡ时， 知 1 知 1 ǡ ൅ 1 1 ǡ 1 知 ． 故 知 ． 知 ሼ ൅ 11 知 ሼ ൅ 11， 则数列全b的前 ǡ൅ 1项和ǡ൅1 知 ሼ1 ൅ ሼǡ ൅ ൅ ሼǡ൅1 ൅ 1 ǡ ൅ ሼ ൅ ൅ ǡ 1 ǡ൅ ǡ ൅ 1 知 ሼ1ሼǡ൅1 1ሼ ൅ ൅ 1 知 ሼǡ൅ǡ1 ǡ ൅ ． 故选：A． 由数列的前 n项和求出数列全b的通项公式，代入 知 ሼ ൅ 11，整理后分组，然后利用等 比数列的前 n项和得答案． 本题考查了数列递推式，考查了数列的分组求和，考查了等比数列的前 n项和，是中档题． 11.答案： ǡ 解析：解：复数 知 ሼ൅ ǡ൅ 知 ሼ൅ǡ ǡ൅ǡ 知 ൅ 知 1 ൅ ． aa 知 a 1 ൅ a 知 1ǡ ൅ 1ǡ 知 ǡ． 故答案为： ǡ． 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 12.答案：17 解析：解： 1ǡ1 ǡ1 知 1，解得1 知 1 1 ． 则 知 1 1ǡ 1 ǡ1 知 1． 故答案为：17． 利用等比数列的求和公式即可得出． 本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13.答案：135 解析：解： 集 ൅ ሼ 集 的展开式中，令 集 知 1，可得各项系数的和为， 各项二项式系数的和为ǡ， 各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 ǡ 知 ， 知 ， 集 ൅ ሼ 集 展开式的展开式的通项公式为： ൅1 知 䁡 ሼ 集ሼ ሼ ǡ． 令 ሼ ሼ ǡ 知 香，求得 知 ǡ， 可得展开式中的常数项等于䁡 ǡ ሼǡ 知 1ሼ． 故答案为：135． 根据各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 64，求得 n的值，再利用展开式的通项公式求出 常数项． 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值 法，属于基础题． 14.答案： ൅ ǡ 解析： 本题考查椭圆的性质和应用，属于较难题． 考查椭圆的定义，解题时要注意数形结合的数学方法． a1a ൅ aǡa 知 ǡ 知 ，a1a 知 aǡa，所以，a1a ൅ aa 知 aǡa ൅ aa 知 ൅ aa aǡa，由此结合图象能求出a1a ൅ aa的最大值． 解：椭圆 集ǡ 1 ൅ ǡ 1ǡ 知 1， 知 ，1为椭圆左焦点， ǡ为椭圆右焦点ǡ香，如图： a1a ൅ aǡa 知 ǡ 知 ， a1a 知 aǡa， a1a ൅ aa 知 aǡa ൅ aa 知 ൅ aa aǡa， 当点 P位于ǡ时，aa aǡa的差最大， 其值为aǡa 知 ǡ，此时，a1a ൅ aa也得到最大值，其值为 ൅ ǡ． 故答案为： ൅ ǡ． 15.答案： 解析： 本题主要考查三角形角的求解，根据条件利用正弦定理是解决本题的关键．根据正弦定理进行化简 求解即可． 解： 知 ǡ， 由正弦定理得 知 ǡ， 则三角形中， 香， 知 1 ǡ ， ， 故答案为 ． 16.答案： 1 解析：解：由题意可得，直线 ǡ集 ൅ ǡ 知 香经过圆集ǡ ൅ ǡ ൅ ǡ集 ൅ 1 知 香的圆心 1ǡ， 故有 ǡ ǡ൅ ǡ 知 香，即 ൅ 知 1，故 1 知 ൅ ǡ ，求得 1 ，当且仅当 知 知 1 ǡ 时 取等号， 故 ab的最大值是 1 ， 故答案为： 1 ． 由题意知，直线 ǡ集 ൅ ǡ 知 香经过圆的圆心 1ǡ，可得 ൅ 知 1，再利用基本不等式求得 ab的最大值． 本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题． 17.答案： f 解析： 本题考查向量的数量积以及向量的模，属于基础题． 将aǡ a ሼ两边平方，得 ǡ ൅ ǡ f൅ ，结合 ǡ ൅ ǡ ，可求的最 小值． 解：因为aǡ a ሼ， 所以ǡǡ ൅ ǡ f， 即 ǡ ൅ ǡ f൅ ， 而 ǡ ൅ ǡ ， 则 f ൅ ， 即 f， 所以 f ， 即的最小值是 f ． 故答案为 f ． 18.答案：解：集 知 ǡ 1 ǡ 集 ൅ ሼ ǡ 集݋ 知 ǡ集 ൅ ሼ ， 知 ǡ 1 知 ǡ，集集 知 ǡ，集 知 ǡ． 解析：先利用两角和公式对函数解析式化简，进而根据周期公式求得函数的周期，利用正弦函数的 性质求得函数的最大和最小值． 本题主要考查了两角和与差的正弦函数的公式，三角函数图象与性质．考查了学生对三角函数基础 公式的灵活运用． 19.答案：证明：1设 AC与 BD相交于点 O，连接 FO， 四边形 ABCD为菱形， 䁡 䁨，且 O为 AC中点， 知 䁡， 䁡 㜠，又 㜠 䁨 知 㜠， 䁡 平面 BDEF． 解：ǡ连接 DF，四边形 BDEF为菱形，且䁨 知 香， 䁨为等边三角形， 㜠为 BD中点， 㜠 䁨，又 䁡 㜠， 㜠 平面 ABCD． 㜠，OB，OF两两垂直， 建立空间直角坐标系 㜠 集，如图所示， 设 知 ǡ，四边形 ABCD为菱形，䁨 知 香， 䁨 知 ǡ，䁡 知 ǡ ሼ． 䁨为等边三角形， 㜠 知 ሼ． ሼ香香，香1，香，䁨香 1香，香0， ሼ， 䁨 知 ሼ 1香， 知 ሼ香 ሼ， 知 ሼ1，香． 设平面 ABF的法向量为 知 集y，， 则 知 ሼ集 ൅ ሼ 知 香 知 ሼ集 ൅ 知 香 ，取 集 知 1，得 知 1 ሼ1． 设直线 AD与平面 ABF所成角为， 则直线 AD与平面 ABF所成角的正弦值为： 知 acos i 䁨 a 知 a䁨 a a䁨 aaa 知 1 ． 解析：1设 AC与 BD相交于点 O，连接 FO，推导出 䁡 䁨，䁡 㜠，由此能证明 䁡 平面 BDEF． ǡ连接 DF，推导出 䁨为等边三角形，从而 㜠 䁨，䁡 㜠，进而 㜠 平面 䁡䁨.由 OA， OB，OF两两垂直，建立空间直角坐标系 㜠 集，利用向量法能求出直线 AD与平面 ABF所成角 的正弦值． 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关 系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档 题． 20.答案：解：1证明：数列全b满足1 知 1，且൅1 知 1 ൅ሼ ． 则： 1 ൅1൅1 1 ൅1 知 1 1 ൅ሼ ൅1 1 ൅1 知 ൅ሼ ǡ൅1 ǡ ǡ൅1 知 1 ǡ 常数， 故数列全 1 ൅1 b是以 1 1൅1 知 1 ǡ为首项， 1 ǡ 为公差的等差数列． 所以 1 ൅1 知 1 ǡ ൅ 1 ǡ 1 知 1 ǡ ， 整理得 知 ǡ 1首项符合通项． 故 知 ǡ 1． ǡ由于 知 ǡ 1，所以 ൅ 1 知 ǡ ． 故 知 ǡ ൅1 知 ǡ ǡ ， 设 知 ǡ， 则： 知 1 ǡ1 ൅ ǡ ǡǡ ൅ ൅ ǡ， ǡ 知 1 ǡǡ ൅ ǡ ǡሼ ൅ ൅ ǡ൅1， 得： 知 ǡǡ1 ǡ1 ǡ൅1， 所以 知 1 ǡ൅1 ൅ ǡ． 所以数列全b的前 n项和 知 ǡ 知 1 ǡ ൅ 1． 解析：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，错位相减法在数列求和中的应用，属 于中档题． 1直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式． ǡ利用1的结论，进一步利用错位相减法求出数列的和． 21.答案：解：1 抛物线 C：ǡ 知 ǡ䁕集经过点：1ǡ， 知 ǡ䁕，解得 䁕 知 ǡ， 抛物线 C的方程为ǡ 知 集； ǡ设过点香1的直线方程为 知 集൅ 1， 设 集11，集ǡǡ， 联立方程组可得 ǡ 知 集 知 集൅ 1，消 y可得ǡ集ǡ ൅ ǡ 集 ൅ 1 知 香， 知 ǡ ǡ ǡ 香，且 香， 解得 i 1，且 香， 集1 ൅ 集ǡ 知 ǡ ǡ ，集1集ǡ 知 1 ǡ ， 又 、PB要与 y轴相交，直线 l不能经过点1 ǡ，即 ሼ， 故直线 l的斜率的取值范围 ሼ ሼ香 香1． 解析：本题考查了抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，属于中档题． 1将 P代入抛物线方程，即可求得 p的值，进而求出抛物线的方程； ǡ设直线 AB的方程，代入椭圆方程，由 香，即可求得 k的取值范围． 22.答案：解：1 集 知 集൅ ݈集， 集 香，香集 知 ൅ 1 集 知 集൅1 集 ， 当 香时，香集 香恒成立，故 集的单调增区间为香 ൅， 当 i 香时，令 香集 香，解得 香 i 集 i 1 ， 令 香集 i 香，解得 集 1 ， 故 集的单调增区间为香 1 ，集的单调减区间为 1 ൅ ． ǡ由1知，当 1 ，即 1 时，集在香上单调递增， 集集 知 知 ൅ 1 香舍； 当 香 i 1 i ，即 i 1 时，集在香 1 上递增，在 1 上递减， 集集 知 1 知 1 ൅ ln 1 ， 令 1 ൅ ln 1 知 ǡ，得 知 ． 解析：1求导数，分类讨论，利用导数的正负，可求 集的单调区间； ǡ分类讨论，确定函数的单调性，求出最大值，利用 集在区间香上的最大值为 ǡ，求 a的值． 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最大值，考查不等式的证明，正确求导， 确定函数的最值是关键，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．