高考真题与高考等值卷（ 平面解析几何 ）（文科数学）-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析 45页

第09章 三年高考真题与高考等值卷( 平面解析几何 )(文科数学)‎ ‎1.直线与方程 ‎(1)在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.‎ ‎(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.‎ ‎(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.‎ ‎(4)掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),‎ 了解斜截式与一次函数的关系.‎ ‎(5)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.‎ ‎(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.‎ ‎2.圆与方程 ‎(1)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.‎ ‎(2)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.‎ ‎(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.‎ ‎(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想.‎ ‎3.圆锥曲线 ‎(1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.‎ ‎(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.‎ ‎(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.‎ ‎(4)了解圆锥曲线的简单应用.‎ ‎(5)理解数形结合的思想.‎ ‎4.曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.‎ ‎1．【2019年天津文科06】已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．若l与双曲线1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|（O 为原点），则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．‎ ‎∴F（1，0），准线l的方程为x＝﹣1，‎ ‎∵l与双曲线1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|（O为原点），‎ ‎∴|AB|，|OF|＝1，∴，∴b＝‎2a，‎ ‎∴c，‎ ‎∴双曲线的离心率为e．‎ 故选：D． 2．【2019年新课标3文科10】已知F是双曲线C：1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：如图，不妨设F为双曲线C：1的右焦点，P为第一象限点．‎ 由双曲线方程可得，a2＝4，b2＝5，则，‎ 则以O为圆心，以3为半径的圆的方程为x2+y2＝9．‎ 联立，解得P（，）．‎ ‎∴sin∠POF．‎ 则．‎ 故选：B． 3．【2019年新课标2文科09】若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆1的一个焦点，则p＝（　　）‎ A．2 B．‎3 ‎C．4 D．8‎ ‎【解答】解：由题意可得：3p﹣p＝（）2，解得p＝8．‎ 故选：D． 4．【2019年新课标2文科12】设F为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 由题意，把x代入x2+y2＝a2，得PQ，‎ 再由|PQ|＝|OF|，得，即‎2a2＝c2，‎ ‎∴，解得e．‎ 故选：A． 5．【2019年新课标1文科10】双曲线C：1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（　　）‎ A．2sin40° B．2cos40° C． D．‎ ‎【解答】解：双曲线C：1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y，‎ 由双曲线的一条渐近线的倾斜角为130°，得，‎ 则，‎ ‎∴，‎ 得，‎ ‎∴e．‎ 故选：D． 6．【2019年新课标1文科12】已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（　　）‎ A．y2＝1 B．1 ‎ C．1 D．1‎ ‎【解答】解：∵|AF2|＝2|BF2|，∴|AB|＝3|BF2|，‎ 又|AB|＝|BF1|，∴|BF1|＝3|BF2|，‎ 又|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|，‎ ‎∴|AF2|＝a，|BF1|a，‎ 在Rt△AF2O中，cos∠AF2O，‎ 在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1，‎ 根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得0，解得a2＝3，∴a．‎ b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2．‎ 所以椭圆C的方程为：1．‎ 故选：B． 7．【2019年北京文科05】已知双曲线y2＝1（a＞0）的离心率是，则a＝（　　）‎ A． B．4 C．2 D．‎ ‎【解答】解：由双曲线y2＝1（a＞0），得b2＝1，‎ 又e，得，即，‎ 解得，a．‎ 故选：D． 8．【2018年新课标2文科06】双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（　　　　）‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x ‎【解答】解：∵双曲线的离心率为e，‎ 则，‎ 即双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，‎ 故选：A． 9．【2018年新课标2文科11】已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为（　　　　）‎ A．1 B．2 C． D．1‎ ‎【解答】解：F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，可得椭圆的焦点坐标F2（c，0），‎ 所以P（c，c）．可得：，可得，可得e4﹣8e2+4＝0，e∈（0，1），‎ 解得e．‎ 故选：D．‎ ‎ 10．【2018年新课标1文科04】已知椭圆C：1的一个焦点为（2，0），则C 的离心率为（　　　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：椭圆C：1的一个焦点为（2，0），‎ 可得a2﹣4＝4，解得a＝2，‎ ‎∵c＝2，‎ ‎∴e．‎ 故选：C． 11．【2018年新课标3文科08】直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（　　　　）‎ A．[2，6] B．[4，8] C．[，3] D．[2，3]‎ ‎【解答】解：∵直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，‎ ‎∴令x＝0，得y＝﹣2，令y＝0，得x＝﹣2，‎ ‎∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|2，‎ ‎∵点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，∴设P（2，），‎ ‎∴点P到直线x+y+2＝0的距离：‎ d，‎ ‎∵sin（）∈[﹣1，1]，∴d∈[]，‎ ‎∴△ABP面积的取值范围是：‎ ‎[，]＝[2，6]．‎ 故选：A． 12．【2018年新课标3文科10】已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（　　　　）‎ A． B．2 C． D．2‎ ‎【解答】解：双曲线C：1（a＞0，b＞0）的离心率为，‎ 可得，即：，解得a＝b，‎ 双曲线C：1（a＞b＞0）的渐近线方程为：y＝±x，‎ 点（4，0）到C的渐近线的距离为：2．‎ 故选：D． 13．【2018年天津文科07】已知双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2＝6，则双曲线的方程为（　　　　）‎ A．1 B．1 ‎ C．1 D．1‎ ‎【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线 y，即bx﹣ay＝0，F（c，0），‎ AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，‎ F是AB的中点，EF3，‎ EFb，‎ 所以b＝3，双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得，‎ 可得：，解得a．‎ 则双曲线的方程为：1．‎ 故选：A．‎ ‎ 14．【2017年新课标1文科05】已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C上一点，且PF 与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（　　　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：由双曲线C：x21的右焦点F（2，0），‎ PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y＝3，‎ 则P（2，3），‎ ‎∴AP⊥PF，则丨AP丨＝1，丨PF丨＝3，‎ ‎∴△APF的面积S丨AP丨×丨PF丨，‎ 同理当y＜0时，则△APF的面积S，‎ 故选：D．‎ ‎ 15．【2017年新课标2文科12】过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（　　　　）‎ A． B．2 C．2 D．3‎ ‎【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），且斜率为的直线：y（x﹣1），‎ 过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l 可知：，解得M（3，2）．‎ 可得N（﹣1，2），NF的方程为：y（x﹣1），即，‎ 则M到直线NF的距离为：2．‎ 故选：C． ‎ ‎16．【2017年新课标1文科12】设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是（　　　　）‎ A．（0，1]∪[9，+∞） B．（0，]∪[9，+∞） C．（0，1]∪[4，+∞） D．（0，]∪[4，+∞）‎ ‎【解答】解：假设椭圆的焦点在x轴上，则0＜m＜3时，‎ 设椭圆的方程为：（a＞b＞0），设A（﹣a，0），B（a，0），M（x，y），y＞0，‎ 则a2﹣x2，‎ ‎∠MAB＝α，∠MBA＝β，∠AMB＝γ，tanα，tanβ，‎ 则tanγ＝tan[π﹣（α+β）]＝﹣tan（α+β），‎ ‎∴tanγ，当y最大时，即y＝b时，∠AMB取最大值，‎ ‎∴M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB＝120°，‎ ‎∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMOtan60°，‎ 解得：0＜m≤1；‎ 当椭圆的焦点在y轴上时，m＞3，‎ 当M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB＝120°，‎ ‎∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMOtan60°，解得：m≥9，‎ ‎∴m的取值范围是（0，1]∪[9，+∞）‎ 故选A．‎ 故选：A． 17．【2017年新课标2文科05】若a＞1，则双曲线y2＝1的离心率的取值范围是（　　　　）‎ A．（，+∞） B．（，2） C．（1，） D．（1，2）‎ ‎【解答】解：a＞1，则双曲线y2＝1的离心率为：∈（1，）．‎ 故选：C． 18．【2017年新课标3文科11】已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相切，则C的离心率为（　　　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相切，‎ ‎∴原点到直线的距离a，化为：a2＝3b2．‎ ‎∴椭圆C的离心率e．‎ 故选：A． 19．【2017年天津文科05】已知双曲线1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（　　　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：双曲线1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），‎ 可得c＝2，，即，，‎ 解得a＝1，b，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：．‎ 故选：D． 20．【2019年新课标3文科15】设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为　　．‎ ‎【解答】解：设M（m，n），m，n＞0，椭圆C：1的a＝6，b＝2，c＝4，‎ e，‎ 由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，‎ ‎△MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，‎ 即有6m＝8，即m＝3，n；‎ ‎6m＝8，即m＝﹣3＜0，舍去．‎ 可得M（3，）．‎ 故答案为：（3，）． 21．【2019年北京文科11】设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为　　．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），‎ ‎∵所求圆的圆心F，且与准线x＝﹣1相切，∴圆的半径为2．‎ 则所求圆的方程为（x﹣1）2+y2＝4．‎ 故答案为：（x﹣1）2+y2＝4． 22．【2018年新课标1文科15】直线y＝x+1与圆x2+y2+2y﹣3＝0交于A，B两点，则|AB|＝　　　　．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2+2y﹣3＝0的圆心（0，﹣1），半径为：2，‎ 圆心到直线的距离为：，‎ 所以|AB|＝22．‎ 故答案为：2． 23．【2018年北京文科10】已知直线l过点（1，0）且垂直于x轴．若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为　　　　．‎ ‎【解答】解：∵直线l过点（1，0）且垂直于x轴，‎ ‎∴x＝1，‎ 代入到y2＝4ax，可得y2＝4a，显然a＞0，‎ ‎∴y＝±2，‎ ‎∵l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，‎ ‎∴44，‎ 解得a＝1，‎ ‎∴y2＝4x，‎ ‎∴抛物线的焦点坐标为（1，0），‎ 故答案为：（1，0） 24．【2018年北京文科12】若双曲线1（a＞0）的离心率为，则a＝　　　　．‎ ‎【解答】解：双曲线1（a＞0）的离心率为，‎ 可得：，解得a＝4．‎ 故答案为：4． 25．【2018年天津文科12】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为　　　　．‎ ‎【解答】解：【方法一】根据题意画出图形如图所示，‎ 结合图形知经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆，‎ 其圆心为（1，0），半径为1，‎ 则该圆的方程为（x﹣1）2+y2＝1．‎ ‎【方法二】设该圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，‎ 则，‎ 解得D＝﹣2，E＝F＝0；‎ ‎∴所求圆的方程为x2+y2﹣2x＝0．‎ 故答案为：（x﹣1）2+y2＝1（或x2+y2﹣2x＝0）．‎ ‎ 26．【2017年新课标3文科14】双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为yx，则a＝　　　　．‎ ‎【解答】解：双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为yx，‎ 可得，解得a＝5．‎ 故答案为：5． ‎ ‎27．【2017年北京文科10】若双曲线x21的离心率为，则实数m＝　　　　．‎ ‎【解答】解：双曲线x21（m＞0）的离心率为，‎ 可得：，‎ 解得m＝2．‎ 故答案为：2． 28．【2017年天津文科12】设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC＝120°，则圆的方程为　　　　．‎ ‎【解答】解：设抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），准线l：x＝﹣1，∵点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切与点A，‎ ‎∵∠FAC＝120°，∴∠FAO＝30°，∴OA，‎ ‎∴OA，∴A（0，），如图所示：‎ ‎∴C（﹣1，），圆的半径为CA＝1，故要求的圆的标准方程为 ，‎ 故答案为：（x+1）21．‎ ‎ 29．【2019年天津文科19】设椭圆1（a＞b＞0）的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B．已知|OA|＝2|OB|（O为原点）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP．求椭圆的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）|OA|＝2|OB|，即为a＝2b，‎ 可得e；‎ ‎（Ⅱ）ba，ca，‎ 即a＝2c，bc，‎ 可得椭圆方程为1，‎ 设直线FP的方程为y（x+c），‎ 代入椭圆方程可得7x2+6cx﹣13c2＝0，‎ 解得x＝c或x，‎ 代入直线PF方程可得y或y（舍去），‎ 可得P（c，），‎ 圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP，可设C（4，t），‎ 可得，解得t＝2，‎ 即有C（4，2），可得圆的半径为2，‎ 由直线FP和圆C相切的条件为d＝r，‎ 可得2，解得c＝2，‎ 可得a＝4，b＝2，‎ 可得椭圆方程为1． 30．【2019年新课标3文科21】已知曲线C：y，D为直线y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．‎ ‎（1）证明：直线AB过定点．‎ ‎（2）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．‎ ‎【解答】（1）证明：设D（t，），A（x1，y1），则，‎ 由于y′＝x，∴切线DA的斜率为x1，故，‎ 整理得：2tx1﹣2y1+1＝0．‎ 设B（x2，y2），同理可得2tx2﹣2y2+1＝0．‎ 故直线AB的方程为2tx﹣2y+1＝0．‎ ‎∴直线AB过定点（0，）；‎ ‎（2）解：由（1）得直线AB的方程y＝tx．‎ 由，可得x2﹣2tx﹣1＝0．‎ 于是．‎ 设M为线段AB的中点，则M（t，），‎ 由于，而，与向量（1，t）平行，‎ ‎∴t+（t2﹣2）t＝0，解得t＝0或t＝±1．‎ 当t＝0时，||＝2，所求圆的方程为；‎ 当t＝±1时，||，所求圆的方程为．‎ ‎ 31．【2019年新课标2文科20】已知F1，F2是椭圆C：1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．‎ ‎（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；‎ ‎（2）如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）连接PF1，由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，‎ ‎∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|c，于是2a＝|PF1|+|PF2|＝（1）c，‎ 故曲线C的离心率e1．‎ ‎（2）由题意可知，满足条件的点P（x，y）存在当且仅当：|y|•2c＝16，‎ ‎•1，1，‎ 即c|y|＝16，①‎ x2+y2＝c2，②‎ ‎1，③‎ 由②③及a2＝b2+c2得y2，又由①知y2，故b＝4，‎ 由②③得x2（c2﹣b2），所以c2≥b2，从而a2＝b2+c2≥2b2＝32，故a≥4，‎ 当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P．‎ 所以b＝4，a的取值范围为[4，+∞）． 32．【2019年新课标1文科21】已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x+2＝0相切．‎ ‎（1）若A在直线x+y＝0上，求⊙M的半径；‎ ‎（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由．‎ ‎【解答】解：∵⊙M故点A，B且A在直线x+y＝0上，‎ ‎∴点M在线段AB的中垂线x﹣y＝0上，‎ 设⊙M的方程为：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝R2（R＞0），则 圆心M（a，a）到直线x+y＝0的距离d，‎ 又|AB|＝4，∴在Rt△OMB中，‎ d2+（|AB|）2＝R2，‎ 即①‎ 又∵⊙M与x＝﹣2相切，∴|a+2|＝R②‎ 由①②解得或，‎ ‎∴⊙M的半径为2或6；‎ ‎（2）∵线段为⊙M的一条弦，∴圆心M在线段AB的中垂线上，‎ 设点M的坐标为（x，y），则|OM|2+|OA|2＝|MA|2，‎ ‎∵⊙M与直线x+2＝0相切，∴|MA|＝|x+2|，‎ ‎∴|x+2|2＝|OM|2+|OA|2＝x2+y2+4，‎ ‎∴y2＝4x，‎ ‎∴M的轨迹是以F（1，0）为焦点x＝﹣1为准线的抛物线，‎ ‎∴|MA|﹣|MP|＝|x+2|﹣|MP|‎ ‎＝|x+1|﹣|MP|+1＝|MF|﹣|MP|+1，‎ ‎∴当|MA|﹣|MP|为定值时，则点P与点F重合，即P的坐标为（1，0），‎ ‎∴存在定点P（1，0）使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值． 33．【2019年北京文科19】已知椭圆C：1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设O为原点，直线l：y＝kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N．若|OM|•|ON|＝2，求证：直线l经过定点．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）．‎ 可得b＝c＝1，a，‎ 则椭圆方程为y2＝1；‎ ‎（Ⅱ）证明：y＝kx+t与椭圆方程x2+2y2＝2联立，可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2＝0，‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ ‎△＝16k2t2﹣4（1+2k2）（2t2﹣2）＞0，x1+x2，x1x2，‎ AP的方程为yx+1，令y＝0，可得y，即M（，0）；‎ AQ的方程为yx+1，令y＝0，可得y．即N（，0）．‎ ‎（1﹣y1）（1﹣y2）＝1+y1y2﹣（y1+y2）＝1+（kx1+t）（kx2+t）﹣（kx1+kx2+2t）‎ ‎＝（1+t2﹣2t）+k2•（kt﹣k）•（），‎ ‎|OM|•|ON|＝2，即为|•|＝2，‎ 即有|t2﹣1|＝（t﹣1）2，由t≠±1，解得t＝0，满足△＞0，‎ 即有直线l方程为y＝kx，恒过原点（0，0）． 34．【2018年新课标2文科20】设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8．‎ ‎（1）求l的方程；‎ ‎（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．‎ ‎【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），‎ 设直线AB的方程为：y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0，则x1+x2，x1x2＝1，‎ 由|AB|＝x1+x2+p2＝8，解得：k2＝1，则k＝1，‎ ‎∴直线l的方程y＝x﹣1；‎ 方法二：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|8，解得：sin2θ，‎ ‎∴θ，则直线的斜率k＝1，‎ ‎∴直线l的方程y＝x﹣1；‎ ‎（2）由（1）可得AB的中点坐标为D（3，2），则直线AB的垂直平分线方程为y﹣2＝﹣（x﹣3），即y＝﹣x+5，‎ 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则，‎ 解得：或，‎ 因此，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝16或（x﹣11）2+（y+6）2＝144．‎ ‎ 35．【2018年新课标1文科20】设抛物线C：y2＝2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点．‎ ‎（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；‎ ‎（2）证明：∠ABM＝∠ABN．‎ ‎【解答】解：（1）当l与x轴垂直时，x＝2，代入抛物线解得y＝±2，‎ 所以M（2，2）或M（2，﹣2），‎ 直线BM的方程：yx+1，或：yx﹣1．‎ ‎（2）证明：设直线l的方程为l：x＝ty+2，M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 联立直线l与抛物线方程得，消x得y2﹣2ty﹣4＝0，‎ 即y1+y2＝2t，y1y2＝﹣4，‎ 则有kBN+kBM0，‎ 所以直线BN与BM的倾斜角互补，‎ ‎∴∠ABM＝∠ABN． 36．【2018年新课标3文科20】已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．‎ ‎（1）证明：k；‎ ‎（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且，证明：2||＝||+||．‎ ‎【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎∵线段AB的中点为M（1，m），‎ ‎∴x1+x2＝2，y1+y2＝2m 将A，B代入椭圆C：1中，可得 ‎，‎ 两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，‎ 即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）＝0，‎ ‎∴k 点M（1，m）在椭圆内，即，‎ 解得0＜m ‎∴k．‎ ‎（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），‎ 可得x1+x2＝2‎ ‎∵，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1＝0，‎ ‎∴x3＝1‎ 由椭圆的焦半径公式得则|FA|＝a﹣ex1＝2x1，|FB|＝2x2，|FP|＝2x3．‎ 则|FA|+|FB|＝4，‎ ‎∴|FA|+|FB|＝2|FP|， 37．【2018年北京文科20】已知椭圆M：1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆M的方程；‎ ‎（Ⅱ）若k＝1，求|AB|的最大值；‎ ‎（Ⅲ）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M 的另一个交点为D．若C，D和点Q（，）共线，求k．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：2c＝2，则c，椭圆的离心率e，则a，‎ b2＝a2﹣c2＝1，‎ ‎∴椭圆的标准方程：；‎ ‎（Ⅱ）设直线AB的方程为：y＝x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联立，整理得：4x2+6mx+3m2﹣3＝0，△＝（6m）2﹣4×4×3（m2﹣1）＞0，整理得：m2＜4，‎ x1+x2，x1x2，‎ ‎∴|AB|，‎ ‎∴当m＝0时，|AB|取最大值，最大值为；‎ ‎（Ⅲ）设直线PA的斜率kPA，直线PA的方程为：y（x+2），‎ 联立，消去y整理得：（x12+4x1+4+3y12）x2+12y12x+（12y12﹣3x12﹣12x1﹣12）＝0，‎ 由代入上式得，整理得：（4x1+7）x2+（12﹣4x12）x﹣（7x12+12x1）＝0，‎ x1•xC，xC，则yC（2），‎ 则C（，），同理可得：D（，），‎ 由Q（，），则（，），（，），‎ 由与共线，则，‎ 整理得：y2﹣x2＝y1﹣x1，则直线AB的斜率k1，‎ ‎∴k的值为1．‎ ‎38．【2018年天津文科19】设椭圆1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：y＝kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，1与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．‎ ‎【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，‎ 由已知可得，又a2＝b2+c2，‎ 解得a＝3，b＝2，‎ ‎∴椭圆的方程为：，‎ ‎（Ⅱ）设点P（x1，y1），M（x2，y2），（x2＞x1＞0）．则Q（﹣x1，﹣y1）．‎ ‎∵△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，∴|PM|＝2|PQ|，从而x2﹣x1＝2[x1﹣（﹣x1）]，‎ ‎∴x2＝5x1，‎ 易知直线AB的方程为：2x+3y＝6．‎ 由，可得0．‎ 由，可得，‎ ‎⇒，⇒18k2+25k+8＝0，解得k或k．‎ 由0．可得k，故k， 39．【2017年新课标2文科20】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．‎ ‎（1）求点P的轨迹方程；‎ ‎（2）设点Q在直线x＝﹣3上，且•1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．‎ ‎【解答】解：（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），‎ 设P（x，y），由点P满足．‎ 可得（x﹣x0，y）（0，y0），‎ 可得x﹣x0＝0，yy0，‎ 即有x0＝x，y0，‎ 代入椭圆方程y2＝1，可得1，‎ 即有点P的轨迹方程为圆x2+y2＝2；‎ ‎（2）证明：设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），‎ ‎•1，可得（cosα，sinα）•（﹣3cosα，msinα）＝1，‎ 即为﹣3cosα﹣2cos2αmsinα﹣2sin2α＝1，‎ 当α＝0时，上式不成立，则0＜α＜2π，‎ 解得m，‎ 即有Q（﹣3，），‎ 椭圆y2＝1的左焦点F（﹣1，0），‎ 由•（﹣1cosα，sinα）•（﹣3，）‎ ‎＝3+3cosα﹣3（1cosα）＝0．‎ 可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．‎ 另解：设Q（﹣3，t），P（m，n），由•1，‎ 可得（m，n）•（﹣3﹣m，t﹣n）＝﹣3m﹣m2+nt﹣n2＝1，‎ 又P在圆x2+y2＝2上，可得m2+n2＝2，‎ 即有nt＝3+3m，‎ 又椭圆的左焦点F（﹣1，0），‎ ‎•（﹣1﹣m，﹣n）•（﹣3，t）＝3+3m﹣nt ‎＝3+3m﹣3﹣3m＝0，‎ 则⊥，‎ 可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F． 40．【2017年新课标1文科20】设A，B为曲线C：y上两点，A与B的横坐标之和为4．‎ ‎（1）求直线AB的斜率；‎ ‎（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．‎ ‎【解答】解：（1）设A（x1，），B（x2，）为曲线C：y上两点，‎ 则直线AB的斜率为k（x1+x2）4＝1；‎ ‎（2）设直线AB的方程为y＝x+t，代入曲线C：y，‎ 可得x2﹣4x﹣4t＝0，即有x1+x2＝4，x1x2＝﹣4t，‎ 再由y的导数为y′x，‎ 设M（m，），可得M处切线的斜率为m，‎ 由C在M处的切线与直线AB平行，可得m＝1，‎ 解得m＝2，即M（2，1），‎ 由AM⊥BM可得，kAM•kBM＝﹣1，‎ 即为•1，‎ 化为x1x2+2（x1+x2）+20＝0，‎ 即为﹣4t+8+20＝0，‎ 解得t＝7．‎ 则直线AB的方程为y＝x+7． 41．【2017年新课标3文科20】在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：‎ ‎（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；‎ ‎（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．‎ ‎【解答】解：（1）曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，‎ 可设A（x1，0），B（x2，0），‎ 由韦达定理可得x1x2＝﹣2，‎ 若AC⊥BC，则kAC•kBC＝﹣1，‎ 即有•1，‎ 即为x1x2＝﹣1这与x1x2＝﹣2矛盾，‎ 故不出现AC⊥BC的情况；‎ ‎（2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），‎ 由题意可得y＝0时，x2+Dx+F＝0与x2+mx﹣2＝0等价，‎ 可得D＝m，F＝﹣2，‎ 圆的方程即为x2+y2+mx+Ey﹣2＝0，‎ 由圆过C（0，1），可得0+1+0+E﹣2＝0，可得E＝1，‎ 则圆的方程即为x2+y2+mx+y﹣2＝0，‎ 另解：设过A、B、C三点的圆在y轴上的交点为H（0，d），‎ 则由相交弦定理可得|OA|•|OB|＝|OC|•|OH|，‎ 即有2＝|OH|，‎ 再令x＝0，可得y2+y﹣2＝0，‎ 解得y＝1或﹣2．‎ 即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，﹣2），‎ 则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3． 42．【2017年北京文科19】已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程：（a＞b＞0），‎ 则a＝2，e，则c，‎ b2＝a2﹣c2＝1，‎ ‎∴椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）证明：设D（x0，0），（﹣2＜x0＜2），M（x0，y0），N（x0，﹣y0），y0＞0，‎ 则直线AM的斜率kAM，直线DE的斜率kDE，‎ 直线DE的方程：y（x﹣x0），‎ 直线BN的斜率kBN，直线BN的方程y（x﹣2），‎ ‎，解得：，‎ 过E做EH⊥x轴，△BHE∽△BDN，‎ 则|EH|，‎ 则，‎ ‎∴：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．‎ ‎ 43．【2017年天津文科20】已知椭圆1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为．‎ ‎（I）求椭圆的离心率；‎ ‎（II）设点Q在线段AE上，|FQ|c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．‎ ‎（i）求直线FP的斜率；‎ ‎（ii）求椭圆的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．由已知，可得．又由b2＝a2﹣c2，可得2c2+ac﹣a2＝0，即2e2+e﹣1＝0．又因为0＜e＜1，解得．‎ 所以，椭圆的离心率为；‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x＝my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为．‎ 由（Ⅰ）知a＝2c，可得直线AE的方程为，即x+2y﹣2c＝0，与直线FP 的方程联立，可解得，即点Q的坐标为．‎ 由已知|FQ|，有，整理得3m2﹣4m＝0，所以，即直线FP的斜率为．‎ ‎（ii）解：由a＝2c，可得，故椭圆方程可以表示为．‎ 由（i）得直线FP的方程为3x﹣4y+3c＝0，与椭圆方程联立消去y，整理得7x2+6cx﹣13c2＝0，解得（舍去），或x＝c．因此可得点，进而可得，所以．由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP．‎ 因为QN⊥FP，所以，所以¡÷FQN的面积为，同理¡÷FPM的面积等于，由四边形PQNM的面积为3c，得，整理得c2＝2c，又由c＞0，得c＝2．‎ 所以，椭圆的方程为．‎ ‎1、椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中．题型主要以选择、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.‎ ‎2、主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参数a，b，c及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点．以选择、填空题为主，难度为中低档．一般不再考查与双曲线相关的解答题，解题时应熟练掌握基础内容及双曲线方程的求法，能灵活应用双曲线的几何性质.‎ ‎3、抛物线的方程、几何性质及与抛物线相关的综合问题是命题的热点．题型既有小巧灵活的选择、填空题，又有综合性较强的解答题.‎ ‎ 1．已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎,当焦点位于横轴时，，而，所以 当焦点位于纵轴时，故本题选D.‎ ‎2．己知椭圆直线过左焦点且倾斜角为，以椭圆的长轴为直径的圆截所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意知，椭圆左焦点为，长轴长为，焦距为 设直线方程为：，即 则以椭圆长轴为直径的圆的圆心为，半径为 圆心到直线的距离 ‎，整理得：‎ 椭圆的离心率为 本题正确选项：‎ ‎3．表示的曲线方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 可看作动点到点的距离 可看作动点到点的距离 则表示动点到和的距离之差为 符合双曲线的定义，且双曲线焦点在轴上 又动点到的距离大于到的距离，所以动点轨迹为双曲线的下半支 则：， ‎ 曲线方程为：‎ 本题正确选项：‎ ‎4．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为公里，远月点与月球表面距离为公里.已知月球的直径为公里，则该椭圆形轨道的离心率约为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 如下图，F为月球的球心，月球半径为：×3476＝1738，‎ 依题意，｜AF｜＝100＋1738＝1838，‎ ‎　　　　｜BF｜＝400＋1738＝2138.‎ ‎2a＝1838＋2138，‎ a＝1988，‎ a＋c＝2138，‎ c＝2138－1988＝150，‎ 椭圆的离心率为：，‎ 选B.‎ ‎5．若直线与圆相交于，两点，且，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 圆C: ,∵ ∴圆心C到直线的距离为1，则 ，解m=‎ 故选：A ‎6．已知抛物线，过焦点的直线与此抛物线交于，两点，点在第一象限，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，直线的斜率为，则的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意，抛物线的焦点为，准线方程为，‎ 设，则，‎ 因为直线的斜率为，所以，所以，‎ 所以，‎ 所以的面积为，故选A．‎ ‎7．已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（　　）‎ A． B．8 C． D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ F（1，0），故直线AB的方程为y＝x﹣1，联立方程组，可得x2﹣6x+1＝0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系可知x1+x2＝6，x1x2＝1．‎ 由抛物线的定义可知：|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，‎ ‎∴||FA|﹣|FB||＝|x1﹣x2|＝．‎ 故选：C．‎ ‎8．已知是关于的方程的两个不等实根，则经过两点的直线与椭圆公共点的个数是（ ）‎ A． B． C． D．不确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为是关于的方程的两个不等实根 所以，‎ 且，‎ 直线的斜率 ‎ 直线的方程为 ‎ 即 整理得 故直线恒过点，而该点在椭圆内部，‎ 所以直线和椭圆相交，即公共点有2个。‎ 故选A.‎ ‎9．圆与直线相交于，两点，则弦_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题得圆心到直线的距离为，‎ 所以|AB|=.‎ 故答案为：‎ ‎10．已知点在以为焦点的椭圆上，点为该椭圆所在平面内的一点，且满足以下两个条件：①；②，则该椭圆的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 依据题意作出图形如下：‎ 因为为的中点，所以 又，所以与原点重合.‎ 设，则，‎ 由椭圆定义可得：‎ 所以，‎ 在及中，由余弦定理可得：‎ 整理得：‎ 所以 ‎11．已知双曲线的右顶点为，以为圆心，半焦距为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点.若，则的离心率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设双曲线C的渐近线方程为，点到渐近线的距离为 则 化简为 ‎ 即 解得 ‎ 故的离心率为 ‎12．已知，抛物线的焦点为与抛物线在第一象限的交点为，且，则________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 由题意，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，‎ 联立方程组，可得， ‎ 根据抛物线的定义可得，解得．‎ ‎13．在平面直角坐标系中，两动圆均过定点，它们的圆心分别为，且与轴正半轴分别交于点，若，则_________ ．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 因为r1＝|1﹣a1|，则y12＝1﹣2a1，‎ 同理可得y22＝1﹣2a2，‎ 又因为，‎ 则（1﹣2a1）（1﹣2a2）＝1，‎ 即2a1a2＝a1+a2，‎ 则2，‎ 故答案为：2.‎ ‎14．圆与曲线相交于四点，为坐标原点，则__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎∵圆的圆心为M（-3，2），‎ ‎∴圆关于M（-3，2）中心对称，‎ 又曲线，关于（-3，2）中心对称，‎ ‎∴圆与曲线的交点关于（-3，2）中心对称，‎ 不妨设关于（-3，2）中心对称，则,‎ ‎∴，‎ 故答案为.‎ ‎15．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线，如图一平行于轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由抛物线的光学性质可得：必过抛物线的焦点，‎ 当直线斜率存在时，设的方程为，‎ 由得：，整理得，‎ 所以，‎ 所以；‎ 当直线斜率不存在时，易得；‎ 综上，当直线轴垂直时，弦长最短，‎ 又因为两平行光线间的最小距离为4，最小时，两平行线间的距离最小；‎ 因此，所求方程为.‎ 故答案为 ‎16．过椭圆的左焦点的直线过的上端点，且与椭圆相交于另一个点，若，则的离心率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意可得，由可得，‎ 点A在椭圆上，则：，‎ 整理可得：.‎ ‎17．已知，分别为椭圆的左，右焦点，点在椭圆上，且的面积为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点的直线交椭圆于，两点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由椭圆经过点，且的面积为，得 ‎，且,即.‎ 又，解得，.‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）由（1）知，.设，.‎ 若直线的斜率不存在，可得点的坐标为，‎ 则.‎ 当直线的斜率存在时，设，代入椭圆方程得.‎ 则恒成立.‎ 所以，.‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎.‎ 又，则.‎ 综上可知，的取值范围为.‎ ‎18．设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，，分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由；‎ ‎（Ⅲ）设点是一个动点，若直线的斜率存在，且为中点，，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ).‎ ‎【解析】‎ ‎(Ⅰ)抛物线的焦点坐标为，故，‎ 结合可得：，故椭圆方程为：.‎ ‎(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，设，‎ 假设存在满足题意的直线方程：，‎ 与椭圆方程联立可得：，‎ 则，‎ 则：‎ ‎，‎ 结合题意和韦达定理有：，‎ 解得：，即存在满足题意的直线方程：.‎ ‎(Ⅲ)设，设直线AB的方程为，‎ 由于：，‎ 两式作差整理变形可得：，‎ 即：. ①‎ 又 ②‎ ‎ ③‎ ‎①×②可得： ④‎ ‎④代入③可得： ⑤‎ ‎④⑤代入①整理可得：，‎ ‎，据此可得：，‎ 从而.‎ ‎19．已知椭圆C:的焦距为，且C过点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设、分别是椭圆C的下顶点和上顶点，P是椭圆上异于、的任意一点，过点P作轴于M，N为线段PM的中点，直线与直线交于点D，E为线段的中点，O为坐标原点，则是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎(1)由题意各焦距为，∴，又∵椭圆过点，‎ ‎∴代入椭圆方程得，∵，解得，，‎ 故所求椭圆C的方程是；‎ ‎(2)证明：设，，则，，‎ ‎∵点P在椭圆C上，，即，‎ 又，∴直线的方程为，‎ 令，得，∴，‎ 又，E为线段的中点，∴，‎ ‎∴，，‎ 因 ‎.‎ ‎∴，即.‎ ‎20．已知离心率为的椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且点到的准线的距离为2.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若直线与交于两点，与交于两点，且（为坐标原点），求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为点到的准线的距离为2，所以，， ‎ 由解得 所以的方程为 ‎ ‎（2）解法一.由（1）知抛物线的方程为. ‎ 要使直线与抛物线交于两点，则直线的斜率不为0，可设的方程为，‎ 由得 ‎ 所以，得.‎ 设 则 所以，‎ 因为，所以，‎ 所以，所以， ‎ 所以直线的方程为，‎ 所以直线过椭圆的右顶点，‎ 不妨设 ，，且， ‎ 所以，‎ 当且仅当时，.‎ ‎21．已知是椭圆的左、右顶点，为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点（点在第一象限），线段与圆相切于点，且点为线段的中点.‎ ‎（1）求线段的长；‎ ‎（2）求椭圆的离心率；‎ ‎（3）设直线交椭圆于两点（其中点在第一象限），过点作的平行线交椭圆于点，交于点，求.‎ ‎【答案】（1）2b; （2）; （3）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）连接OQ，，如图，OQ为△的中位线，由题意知OQ=b，则=2b.‎ ‎（2）由椭圆的定义结合（1）可得，，‎ 则，得，解得，‎ 则，故椭圆的离心率为.‎ ‎（3）由（2）可知,设直线OQ的方程为x＝2y，椭圆方程设为，(t>0),‎ 由得25y2＝，得到，，‎ 又点作的平行线的方程设为x＝2y-3t，‎ 由得4（2y-3t）2＝，即25-48ty=0，‎ 解得y=0或y=，即D（），又B（3t，0）‎ ‎∴直线BD的方程为y=，与联立，解得，‎ 由三角形的面积公式得==.‎ ‎22．已知抛物线的焦点为，是上一点，且．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）过点的直线与抛物线相交于两点，分别过点两点作抛物线的切线，两条切线相交于点，点关于直线的对称点，判断四边形是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）解：根据题意知，①‎ 因为，所以②‎ 联立①②解得．‎ 所以抛物线的方程为．‎ ‎（2）四边形存在外接圆．‎ 设直线方程为，代入中，得，‎ 设点，则，‎ 且 所以，‎ 因为，即，所以．‎ 因此，切线的斜率为，切线的斜率为，‎ 由于，所以，即是直角三角形，‎ 所以的外接圆的圆心为线段的中点，线段是圆的直径，‎ 所以点一定在的外接圆上，即四边形存在外接圆．‎ 又因为，所以当时，线段最短，最短长度为4，‎ 此时圆的面积最小，最小面积为． ‎