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- 2021-06-16 发布
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考点规范练14 导数的概念及运算
考点规范练B册第8页
基础巩固
1.已知函数f(x)=3x+1,则limΔx→0f(1-Δx)-f(1)Δx的值为( )
A.-13 B.13 C.23 D.0
答案A
解析limΔx→0f(1-Δx)-f(1)Δx=-limΔx→0f(1-Δx)-f(1)-Δx
=-f'(1)=-13×1-23=-13.
2.已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为( )
A.e B.-e C.1e D.-1e
答案C
解析由题意可得y=ln x的定义域为(0,+∞),且y'=1x.
设切点为(x0,ln x0),则切线方程为y-ln x0=1x0(x-x0).
因为切线过点(0,0),所以-ln x0=-1,解得x0=e,故此切线的斜率为1e.
3.已知奇函数y=f(x)在区间(-∞,0]上的解析式为f(x)=x2+x,则切点横坐标为1的切线方程是( )
A.x+y+1=0 B.x+y-1=0
C.3x-y-1=0 D.3x-y+1=0
答案B
解析由函数y=f(x)为奇函数,可得f(x)在[0,+∞)上的解析式为f(x)=-x2+x,故切点为(1,0).
因为y'=-2x+1,所以y'|x=1=-1,
故切线方程为y=-(x-1),即x+y-1=0.
4.
已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)=( )
A.-1 B.0
C.2 D.4
答案B
解析由题图可知曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率等于-13,故f'(3)=-13.
∵g(x)=xf(x),∴g'(x)=f(x)+xf'(x),
∴g'(3)=f(3)+3f'(3).
又由题图可知f(3)=1,∴g'(3)=1+3×-13=0.
5.(2016河南郑州二模)曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则P点的坐标为( )
A.(1,3) B.(-1,3)
C.(1,3)和(-1,3) D.(1,-3)
答案C
解析∵f(x)=x3-x+3,∴f'(x)=3x2-1.
设点P(x,y),则f'(x)=2,即3x2-1=2,解得x=1或x=-1,
故P(1,3)或(-1,3).
经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,符合题意.故选C.
6.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,2),则ab等于( )
A.-8 B.-6 C.-1 D.5
答案A
解析由题意得y=kx+1过点A(1,2),故2=k+1,即k=1.
∵y'=3x2+a,且直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,2),∴k=3+a,即1=3+a,∴a=-2.
将点A(1,2)代入曲线方程y=x3+ax+b,可解得b=3,
即ab=(-2)3=-8.故选A.
7.(2016山东,文10)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )
A.y=sin x B.y=ln x
C.y=ex D.y=x3
答案A
解析设曲线上两点P(x1,y1),Q(x2,y2).
则由导数几何意义可知,两条切线的斜率分别为k1=f'(x1),k2=f'(x2),若函数具有T性质,则k1·k2=f'(x1)·f'(x2)=-1.
A项,f'(x)=cos x,显然k1·k2=cos x1·cos x2=-1有无数组解,所以该函数具有性质T;
B项,f'(x)=1x(x>0),显然k1·k2=1x1·1x2=-1无解,故该函数不具有性质T;
C项,f'(x)=ex>0,显然k1·k2=ex1·ex2=-1无解,故该函数不具有性质T;
D项,f'(x)=3x2≥0,显然k1·k2=3x12×3x22=-1无解,故该函数不具有性质T.
综上,选A.
8.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+154x-9都相切,则a等于( )
A.-1或-2564 B.-1或214
C.-74或-2564 D.-74或7
答案A
解析因为y=x3,所以y'=3x2.
设过点(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,x03),
则在该点处的切线斜率为k=3x02,所以切线方程为y-x03=3x02(x-x0),即y=3x02x-2x03.
又点(1,0)在切线上,则x0=0或x0=32.
当x0=0时,由y=0与y=ax2+154x-9相切,可得a=-2564;
当x0=32时,由y=274x-274与y=ax2+154x-9相切,可得a=-1.
9.已知函数f(x)=(x+1)2+sinxx2+1,其导函数记为f'(x),则f(2 016)+f'(2 016)+f(-2 016)-f'(-2 016)= .〚导学号74920448〛
答案2
解析∵f(x)=1+2x+sinxx2+1,
∴f'(x)=2x2+2+x2cosx+cosx-4x2-2xsinx(x2+1)2,
可知f'(x)是偶函数,
∴f'(2 016)-f'(-2 016)=0.
又f(2 016)+f(-2 016)
=(2 016+1)2+sin2 0162 0162+1+(1-2 016)2+sin(-2 016)(-2 016)2+1
=2(2 0162+1)2 0162+1=2,
∴f(2 016)+f'(2 016)+f(-2 016)-f'(-2 016)=2.
10.已知直线ax-by-3=0与f(x)=xex在点P(1,e)处的切线互相垂直,则ab= .
答案-12e
解析对函数f(x)=xex求导可得f'(x)=x'ex+x(ex)'=ex(x+1),则函数f(x)=xex在点P(1,e)处的切线的斜率为k=f'(1)=e1×(1+1)=2e.又直线ax-by-3=0与切线垂直,则有ab=-12e.
11.曲线y=log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于 .
答案12log2e
解析∵y'=1xln2,∴k=1ln2,
∴切线方程为y=1ln2(x-1),
∴所围三角形的面积为S△=12×1×1ln2=12ln2=12log2e.
12.若函数f(x)=12x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是 .
答案[2,+∞)
解析∵f(x)=12x2-ax+ln x,∴f'(x)=x-a+1x.
∵f(x)存在垂直于y轴的切线,
∴f'(x)存在零点,∴x+1x-a=0有解,
∴a=x+1x≥2(x>0).
能力提升
13.
函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图所示,则y=f(x),y=g(x)的图象可能是( )
答案D
解析由y=f'(x)的图象知y=f'(x)在(0,+∞)上单调递减,
说明函数y=f(x)的切线的斜率在(0,+∞)上也单调递减,故可排除A,C.
又由图象知y=f'(x)与y=g'(x)的图象在x=x0处相交,
说明y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处的切线的斜率相同,故可排除B.故选D.
14.下面四个图象中,有一个是函数f(x)=13x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f'(x)的图象,则f(-1)=( )
A.13 B.-23
C.73 D.-13或53
答案D
解析∵f'(x)=x2+2ax+a2-1,
∴f'(x)的图象开口向上,故②④排除.若f'(x)的图象为①,
则a=0,f(-1)=53;
若f'(x)的图象为③,则a2-1=0.
又对称轴x=-a>0,∴a=-1,
∴f(-1)=-13.
15.(2016四川,文10)设直线l1,l2分别是函数f(x)=-lnx,01图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交
于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是( )
A.(0,1) B.(0,2)
C.(0,+∞) D.(1,+∞)〚导学号74920449〛
答案A
解析由题意得P1,P2分别位于两段函数的图象上.
设P1(x1,ln x1),P2(x2,-ln x2)(不妨设x1>1,01,∴S△PAB=12|yA-yB|·|xP|
=2x11+x12<1+x121+x12=1.
∴0
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