2020年全国高考Ⅰ卷数学（理科）试卷【word版本试题；可编辑；含答案】1 10页

‎2020年全国高考Ⅰ卷数学（理）试卷 一、选择题 ‎1.若z=1+i，则‎|z‎2‎-2z|=‎()‎ A.‎0‎ B.‎1‎ C.‎2‎ D.‎‎2‎ ‎2.设集合A=‎x|x‎2‎-4≤0‎，B=‎x|2x+a≤0‎，且A∩B=‎x|-2≤x≤1‎，则a=‎()‎ A.‎-4‎ B.‎-2‎ C.‎2‎ D.‎‎4‎ ‎3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()‎ A.‎5‎‎-1‎‎4‎ B.‎5‎‎-1‎‎2‎ C.‎5‎‎+1‎‎4‎ D.‎‎5‎‎+1‎‎2‎ ‎4.已知A为抛物线C:y‎2‎=2px(p>0)‎上一点，点A到C的焦点的距离为‎12‎，到y轴的距离为‎9‎，则p=‎()‎ A.‎2‎ B.‎3‎ C.‎6‎ D.‎‎9‎ ‎5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：‎​‎‎∘‎C)的关系，在‎20‎个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据‎(xi,yi)(i=1,2,⋯,20)‎得到下面的散点图：‎ 由此散点图，在‎10‎‎∘‎C至‎40‎‎∘‎C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是‎()‎ A.y=a+bx B.y=a+bx‎2‎ C.y=a+bex D.‎y=a+blnx ‎6.函数fx=x‎4‎-2‎x‎3‎的图像在点‎1,f‎1‎处的切线方程为()‎ A.y=-2x-1‎ B.y=-2x+1‎ C.y=2x-3‎ D.‎y=2x+1‎ ‎7.设函数f(x)=cos(ωx+π‎6‎)‎在‎[-π,π]‎的图像大致如图，则f(x)‎的最小正周期为()‎ A.‎10π‎9‎ B.‎7π‎6‎ C.‎4π‎3‎ D.‎‎3π‎2‎ ‎8.x+‎y‎2‎xx+y‎5‎的展开式中x‎3‎y‎3‎的系数为（）‎ A.‎5‎ B.‎10‎ C.‎15‎ D.‎‎20‎ ‎9.已知α∈‎‎0,π，且‎3cos2α-8cosα=5‎，则sinα=‎()‎ A.‎5‎‎3‎ B.‎2‎‎3‎ C.‎1‎‎3‎ D.‎‎5‎‎9‎ ‎10.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，‎⊙‎O‎1‎为‎△ABC的外接圆，若‎⊙‎O‎1‎ ‎ 10 / 10‎ 的面积为‎4π，AB=BC=AC=OO‎1‎，则球O的表面积为‎()‎ A.‎64π B.‎48π C.‎36π D.‎‎32π ‎11.已知‎⊙M:x‎2‎+y‎2‎-2x-2y-2=0‎，直线l:2x+y+2=0‎，P为l上的动点，过点P作‎⊙M的切线PA，PB，且切点为A，B，当‎|PM|⋅|AB|‎最小时，直线AB的方程为()‎ A.‎2x-y-1=0‎ B.‎2x+y-1=0‎ C.‎2x-y+1=0‎ D.‎‎2x+y+1=0‎ ‎12.若‎2‎a‎+log‎2‎a=‎4‎b+2log‎4‎b，则()‎ A.a>2b B.a<2b C.a>‎b‎2‎ D.‎a<‎b‎2‎ 二、填空题 ‎13.若x，y满足约束条件‎2x+y-2≤0，‎x-y-1≥0,‎y+1≥0,‎则z=x+7y的最大值为________.‎ ‎14.设a‎→‎，b‎→‎为单位向量，且‎|a‎→‎+b‎→‎|=1‎，则‎|a‎→‎-b‎→‎|=‎________．‎ ‎15.已知F为双曲线C:x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1‎a>0,b>0‎的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点且BF垂直于x轴．若AB的斜率为‎3‎，则C的离心率为________.‎ ‎16.如图，在三棱锥P-ABC的平面展开图中，AC=1‎，AB=AD=‎‎3‎，AB⊥AC，AB⊥AD，‎∠CAE=‎‎30‎‎∘‎，则cos∠FCB=‎________.‎ 三、解答题 ‎17.设‎{an}‎是公比不为‎1‎的等比数列，a‎1‎为a‎2‎，a‎3‎的等差中项.‎ ‎(1)‎求‎{an}‎的公比；‎ ‎(2)‎若a‎1‎‎=1‎，求数列‎{nan}‎的前n项和.‎ ‎ 10 / 10‎ ‎18.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD，‎△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=‎6‎‎6‎DO.‎ ‎(1)‎证明：PA⊥‎平面PBC；‎ ‎(2)‎求二面角B-PC-E的余弦值．‎ ‎19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，预定赛制如下：‎ 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两个人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．‎ 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为‎1‎‎2‎.‎ ‎(1)‎求甲连胜四场的概率；‎ ‎(2)‎求需要进行第五场比赛的概率；‎ ‎(3)‎求丙最终获胜的概率．‎ ‎ 10 / 10‎ ‎20.已知A，B分别为椭圆E:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎=1‎a>1‎的左、右顶点，G为E的上顶点，AG‎→‎‎⋅GB‎→‎=8‎，P为直线x=6‎上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.‎ ‎(1)‎求E的方程；‎ ‎(2)‎证明：直线CD过定点．‎ ‎21.已知函数fx=ex+ax‎2‎-x.‎ ‎(1)‎当a=1‎时，讨论fx的单调性；‎ ‎(2)‎当x≥0‎时，fx≥‎1‎‎2‎x‎3‎+1‎，求a的取值范围．‎ ‎22.在直角坐标系xOy中，曲线C‎1‎的参数方程为x=coskt，‎y=sinkt（t为参数）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C‎2‎的极坐标方程为‎4ρcosθ-16ρsinθ+3=0‎.‎ ‎(1)‎当k=1‎时，C‎1‎是什么曲线？‎ ‎(2)‎当k=4‎时，求C‎1‎与C‎2‎的公共点的直角坐标.‎ ‎ 10 / 10‎ ‎23.已知函数fx=|3x+1|-2|x-1|‎.‎ ‎(1)‎画出y=fx的图像；‎ ‎(2)‎求不等式fx>fx+1‎的解集.‎ ‎ 10 / 10‎ 参考答案与试题解析 ‎2020年全国高考Ⅰ卷数学（理）试卷 一、选择题 ‎1.D 2.B 3.C 4.C 5.D 6.B ‎ ‎7.C 8.C 9.A 10.A 11.D 12.B 二、填空题 ‎13.‎1‎ 14.‎‎3‎ ‎15.‎2‎ 16.‎‎-‎‎1‎‎4‎ 三、解答题 ‎17.解：‎(1)‎由题意可知：‎2a‎1‎=a‎2‎+‎a‎3‎，即‎2a‎1‎=a‎1‎q+‎a‎1‎q‎2‎.‎ 因为a‎1‎‎≠0‎，故q‎2‎‎+q-2=0‎，‎ 解得q=-2‎或q=1‎（舍）.‎ ‎(2)‎由‎(1)‎知an‎=a‎1‎qn-1‎=(-2‎‎)‎n-1‎，‎ 记数列‎{nan}‎的前n项和为Sn，‎ 解法一：‎ 则Sn‎=1×(-2‎)‎‎0‎+2×(-2‎)‎‎1‎+⋯+n×(-2‎‎)‎n-1‎①，‎ ‎-2Sn=1×(-2‎)‎‎1‎+2×(-2‎)‎‎2‎+⋯+n×(-2‎‎)‎n‎②，‎ ‎①‎-‎②得：‎ ‎3Sn=(-2‎)‎‎0‎+(-2‎)‎‎1‎+(-2‎)‎‎2‎+⋯+(-2‎)‎n-1‎-n×(-2‎‎)‎n ‎=‎(-2‎)‎n-1‎‎-2-1‎-n×(-2‎‎)‎n ‎=(-n-‎1‎‎3‎)⋅(-2‎)‎n+‎‎1‎‎3‎‎，‎ ‎∴Sn‎=(-‎1‎‎3‎n-‎1‎‎9‎)⋅(-2‎)‎n+‎‎1‎‎9‎.‎ 解法二：‎ nan=n⋅(-2‎‎)‎n-1‎ ‎=(An+B)⋅(-2‎)‎n-[A(n-1)+B]⋅(-2‎‎)‎n-1‎ ‎=(-3An+A-3B)⋅(-2‎‎)‎n-1‎‎，‎ 待定系数可得‎-3A=1,‎A-3B=0,‎ 解得A=-‎1‎‎3‎,‎B=-‎1‎‎9‎,‎ 故nan=n⋅(-2‎‎)‎n-1‎ ‎=(-‎1‎‎3‎n-‎1‎‎9‎)⋅(-2‎)‎n-[-‎1‎‎3‎(n-1)-‎1‎‎9‎]⋅(-2‎‎)‎n-1‎‎，‎ 故Sn‎=a‎1‎+2a‎2‎+⋯+nan ‎=(-‎1‎‎3‎×1-‎1‎‎9‎)×(-2‎)‎‎1‎-(-‎1‎‎9‎)×(-2‎)‎‎0‎+(-‎1‎‎3‎×2-‎1‎‎9‎)×(-2‎‎)‎‎2‎ ‎-(-‎1‎‎3‎×1-‎1‎‎9‎)×(-2‎)‎‎1‎+⋯+(-‎1‎‎3‎n-‎1‎‎9‎)⋅(-2‎)‎n-[-‎1‎‎3‎(n-1)-‎1‎‎9‎]⋅(-2‎‎)‎n-1‎ ‎=(-‎1‎‎3‎n-‎1‎‎9‎)⋅(-2‎)‎n+‎‎1‎‎9‎‎.‎ ‎18.‎(1)‎证明：不妨设‎⊙O半径为‎1‎，‎ 则OA=OB=OC=1‎，AE=AD=2‎，‎ AB=BC=AC=‎‎3‎‎，‎ DO=DA‎2‎-OA‎2‎=‎‎3‎‎，PO=‎6‎‎6‎DO=‎‎2‎‎2‎，‎ PA=PB=PC=PO‎2‎+AO‎2‎=‎‎6‎‎2‎‎，‎ ‎ 10 / 10‎ 在‎△PAC中，PA‎2‎+PC‎2‎=AC‎2‎，‎ 故PA⊥PC.‎ 同理可得PA⊥PB.‎ 又PB∩PC=P，‎ ‎∴PA⊥‎平面PBC.‎ ‎(2)‎解：建立如图所示坐标系O-xyz，‎ 则有B(‎3‎‎2‎,‎1‎‎2‎,0)‎，C(-‎3‎‎2‎,‎1‎‎2‎,0)‎，P‎0,0,‎‎2‎‎2‎，E‎0,1,0‎.‎ 故BC‎→‎‎=‎‎-‎3‎,0,0‎，CE‎→‎‎=‎‎3‎‎2‎‎,‎1‎‎2‎,0‎，‎ CP‎→‎‎=‎‎3‎‎2‎‎,-‎1‎‎2‎,‎‎2‎‎2‎‎.‎ 设平面PBC的法向量为n‎1‎‎→‎‎=(x,y,z)‎，‎ 由CP‎→‎‎⋅n‎1‎‎→‎=0，‎BC‎→‎‎⋅n‎1‎‎→‎=0，‎ 得：‎‎3‎‎2‎x-‎1‎‎2‎y+‎2‎‎2‎z=0，‎‎-‎3‎x=0，‎ 令z=1‎，‎ 得n‎1‎‎→‎‎=(0,‎2‎,1)‎，‎ 同理可求得平面PCE的法向量为n‎2‎‎→‎‎=‎‎2‎‎,-‎6‎,-2‎‎3‎.‎ 故cosθ=|n‎1‎‎→‎‎⋅‎n‎2‎‎→‎‎|n‎1‎‎→‎|⋅|n‎2‎‎→‎|‎|=‎‎2‎‎5‎‎5‎，‎ 故二面角B-PC-E的余弦值为‎2‎‎5‎‎5‎.‎ ‎19.解：‎(1)‎甲连续胜四场只能是前四场全胜：P=‎1‎‎2‎‎4‎=‎‎1‎‎16‎．‎ ‎(2)‎由题意可知：比赛总局数为四场或五场，‎ 设甲四场赢得比赛为事件A，‎ 乙四场赢得比赛为事件B，‎ 丙四场赢得比赛为事件C，‎ 需进行五场比赛为事件D.‎ 由‎(1)‎可知，P(A)=‎‎1‎‎16‎，‎ 同理可知，P(B)=‎‎1‎‎16‎.‎ 若丙四场赢得比赛，则第二，三，四场比赛都赢，故P(C)=‎‎1‎‎8‎.‎ 则P(D)=1-P(A)-P(B)-P(C)‎ ‎=1-‎1‎‎16‎-‎1‎‎16‎-‎1‎‎8‎=‎‎3‎‎4‎‎.‎ 所以需要进行第五场比赛的概率为：‎3‎‎4‎.‎ ‎ 10 / 10‎ ‎(3)‎设进行四场比赛丙获胜为事件C，进行五场比赛丙获胜为事件E，丙获胜为事件F．‎ 由‎(2)‎可知PC=‎‎1‎‎8‎．‎ 而进行五场比赛丙获胜，则丙只能在第二场输或第三场或第四场输．‎ ‎①若丙在第二场输，则五场比赛的输者为：乙丙乙甲甲、乙丙甲乙甲、甲丙甲乙乙、甲丙乙甲乙，共四种情况，‎ 概率为‎1‎‎2‎‎5‎‎×4=‎‎1‎‎8‎；‎ ‎②若丙在第三场输，则五场比赛的输者为：甲乙丙甲乙、甲乙丙乙甲、乙甲丙甲乙、乙甲丙乙甲，共四种情况，‎ 概率为‎1‎‎2‎‎5‎‎×4=‎‎1‎‎8‎；‎ ‎③若丙在第四场输，则五场比赛的输者为：甲乙甲丙乙、乙甲乙丙甲，共两种情况，‎ 概率为‎(‎1‎‎2‎‎)‎‎5‎×2=‎‎1‎‎16‎.‎ 故PE=‎1‎‎8‎+‎1‎‎8‎+‎1‎‎16‎=‎‎5‎‎16‎,‎ 故丙最终获胜的概率PF=PC+PE=‎‎7‎‎16‎.‎ ‎20.解：‎(1)‎由题意，A‎-a,0‎，Ba,0‎，G‎0,1‎，‎ 所以AG‎→‎‎=‎a,1‎，GB‎→‎‎=‎a,-1‎，‎ AG‎→‎‎⋅GB‎→‎=a‎2‎-1=8‎ ‎⇒a‎2‎=9‎‎，‎ 解得a=3‎.‎ 所以椭圆E的方程为x‎2‎‎9‎‎+y‎2‎=1‎.‎ ‎(2)‎由‎(1)‎知A‎-3,0‎，B‎3,0‎．‎ 设P‎6,m，则直线PA的方程为y=‎m‎9‎x+3‎，‎ 联立x‎2‎‎9‎‎+y‎2‎=1，‎y=m‎9‎x+3‎，‎ ‎⇒‎9+‎m‎2‎x‎2‎+6m‎2‎x+9m‎2‎-81=0‎‎，‎ 由韦达定理‎-3xC=‎‎9m‎2‎-81‎‎9+‎m‎2‎ ‎⇒xC=‎‎-3m‎2‎+27‎‎9+‎m‎2‎‎，‎ 代入直线PA的方程y=‎m‎9‎x+3‎，‎ 得yC‎=‎‎6m‎9+‎m‎2‎，‎ 即C‎-3m‎2‎+27‎‎9+‎m‎2‎‎,‎‎6m‎9+‎m‎2‎.‎ 直线PB的方程为y=‎m‎3‎x-3‎，‎ 联立x‎2‎‎9‎‎+y‎2‎=1，‎y=m‎3‎x-3‎，‎ ‎⇒‎1+‎m‎2‎x‎2‎-6m‎2‎x+9m‎2‎-9=0‎‎.‎ 由韦达定理‎3xD=‎9m‎2‎-9‎‎1+‎m‎2‎⇒xD=‎‎3m‎2‎-3‎‎1+‎m‎2‎，‎ 代入直线PB的方程y=‎m‎3‎x-3‎，‎ 得yD‎=‎‎-2m‎1+‎m‎2‎，‎ ‎ 10 / 10‎ 即D‎3m‎2‎-3‎‎1+‎m‎2‎‎,‎‎-2m‎1+‎m‎2‎.‎ 所以直线CD的斜率 kCD‎=‎‎6m‎9+‎m‎2‎‎-‎‎-2m‎1+‎m‎2‎‎-3m‎2‎+27‎‎9+‎m‎2‎‎-‎‎3m‎2‎-3‎‎1+‎m‎2‎ ‎=‎‎4m‎3(3-m‎2‎)‎‎，‎ 所以直线CD的方程为y-‎-2m‎1+‎m‎2‎=‎‎4m‎3‎‎3-‎m‎2‎x-‎‎3m‎2‎-3‎‎1+‎m‎2‎，‎ 整理得y=‎‎4m‎3‎‎3-‎m‎2‎x-‎‎3‎‎2‎，‎ 所以直线CD过定点‎3‎‎2‎‎,0‎.‎ ‎21.解：‎(1)‎当a=1‎时，fx=ex+x‎2‎-x，‎ 所以f‎'‎x‎=ex+2x-1‎，‎ 因为函数f‎'‎x在R上单调递增，‎ 且f‎'‎‎0‎‎=0‎，所以当x∈‎‎-∞,0‎时，f‎'‎x‎<0‎，‎ 当x∈‎‎0,+∞‎时，f‎'‎x‎>0‎，‎ 所以函数fx在‎-∞,0‎上单调递减，在‎0,+∞‎上单调递增．‎ ‎(2)‎当x≥0‎时，fx≥‎1‎‎2‎x‎3‎+1‎恒成立，‎ ‎①当x=0‎时，a∈R；‎ ‎②当x>0‎时，即a≥‎‎1‎‎2‎x‎3‎‎+x+1-‎exx‎2‎恒成立，‎ 记hx=‎‎1‎‎2‎x‎3‎‎+x+1-‎exx‎2‎，‎ 所以h‎'‎x‎=‎‎2-xex‎-‎1‎‎2‎x‎2‎-x-1‎x‎3‎，‎ 记gx=ex-‎1‎‎2‎x‎2‎-x-1‎，‎ 因为当x≥0‎时，g‎''‎x‎=ex-1≥0‎恒成立，‎ g‎'‎x‎=ex-x-1‎‎，‎ 所以g‎'‎x在‎0,+∞‎上单调递增，‎ 所以‎[g‎'‎x‎]‎min=g‎'‎‎0‎=0‎，‎ 所以g‎'‎x‎≥0‎恒成立，‎ 所以gx在‎0,+∞‎上单调递增，‎ 所以gxmin‎=g‎0‎=0‎，‎ 令h‎'‎x‎=0‎可得x=2‎，‎ 当x∈‎‎0,2‎时，h‎'‎x‎>0‎，hx在‎0,2‎上单调递增，‎ 当x∈‎‎2,+∞‎时，h‎'‎x‎<0‎，hx在‎2,+∞‎上单调递减，‎ 所以hxmax‎=h‎2‎=‎‎7-‎e‎2‎‎4‎，‎ 所以a≥‎‎7-‎e‎2‎‎4‎，‎ 综上，a的取值范围为‎[‎7-‎e‎2‎‎4‎,+∞)‎.‎ ‎22.解：‎(1)k=1‎时，C‎1‎的参数方程为x=cost，‎y=sint，‎ 直角坐标方程为x‎2‎‎+y‎2‎=1‎，‎ 表示以原点为圆心，以‎1‎为半径的圆.‎ ‎ 10 / 10‎ ‎(2)k=4‎时，C‎1‎的参数方程为x=cos‎4‎t，‎y=sin‎4‎t，‎ 直角坐标方程为x‎+y=1‎，‎ C‎2‎的直角坐标方程为‎4x-16y+3=0‎，‎ 联立x‎+y=1，‎‎4x-16y+3=0，‎解得x=‎‎1‎‎4‎，y=‎‎1‎‎4‎，‎ 所以C‎1‎与C‎2‎的公共点的直角坐标为‎(‎1‎‎4‎,‎1‎‎4‎)‎.‎ ‎23.解：‎(1)‎函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|‎ ‎=‎x+3，x≥1，‎‎5x-1，-‎1‎‎3‎≤x<1，‎‎-x-3，x<-‎1‎‎3‎.‎ 图像如图所示：‎ ‎.‎ ‎(2)‎函数fx+1‎的图像即为将fx的图像向左平移一个单位所得，‎ 如图：‎ 联立y=-x-3‎和y=5x+4‎，‎ 解得交点横坐标为：x=-‎‎7‎‎6‎，‎ ‎∴原不等式的解集为x|x<-‎‎7‎‎6‎.‎ ‎ 10 / 10‎