浙江省2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第2节空间几何体的表面积与体积课件 38页

第 2 节　空间几何体的表面积与体积 考试要求　 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式 . 知 识 梳 理 1 . 多面体的表 ( 侧 ) 面积 多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和 . 2 . 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式   圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S 圆柱侧 ＝ —— S 圆锥侧 ＝ —— S 圆台侧 ＝ ————— 2π rl π rl π( r 1 ＋ r 2 ) l 3. 柱、锥、台和球的表面积和体积 Sh 4π R 2 [ 常用结论与易错提醒 ] 1. 表面积应为侧面积和底面积的和，要注意组合体中哪些部分暴露或遮挡 . 2. 求空间几何体体积的常用方法 (1) 公式法：直接根据相关的体积公式计算 . (2) 等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等 . (3) 割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体 . 解析　 (1) 锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确 . (2) 球的体积之比等于半径比的立方，故不正确 . 答案　 (1) × 　 (2) × 　 (3) √ 　 (4) √ 解析 　 S 表 ＝ π r 2 ＋ π rl ＝ π r 2 ＋ π r ·2 r ＝ 3π r 2 ＝ 12π ， ∴ r 2 ＝ 4 ， ∴ r ＝ 2(cm). 答案 　 B 3. (2020· 北京通州期末 ) 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中面积最小的侧面面积为 ( 　　 ) 答案　 B 4. (2018· 浙江卷 ) 某几何体的三视图如图所示 ( 单位： cm) ，则该几何体的体积 ( 单位： cm 3 ) 是 ( 　　 ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案　 C 5. (2019· 江苏卷 ) 如图，长方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 的体积是 120 ， E 为 CC 1 的中点，则三棱锥 E － BCD 的体积是 ________. 答案　 10 6. (2020· 杭州质检 ) 某几何体的三视图如图所示 ( 单位： cm) ，则该几何体的体积是 ________cm 3 ；表面积是 ________cm 2 . 答案　 288 － 24π 　 264 ＋ 12π 【例 1 】 (1) (2020· 温州适应性测试 ) 某几何体的三视图如图所示 ( 单位： cm) ，则该几何体的表面积是 ( 　　 ) 考点一　空间几何体的表面积 (2) (2020· 浙江新高考仿真卷五 ) 圆柱 被一个平面截去一部分后与半球 ( 半径为 r ) 组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示 . 若该几何体的表面积为 16 ＋ 20π ，则 r ＝ ( 　　 ) A.1 　　　　　　　　 B.2 C.4 D.8 答案　 (1)D 　 (2)B 规律方法 　空间几何体表面积的求法 . (1) 以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量 . (2) 多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理 . (3) 旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用 . 【训练 1 】 (1) 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是 2 的圆，则这个几何体的表面积是 ________. (2) (2020· 浙江新高考仿真卷一 ) 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为 “ 阳马 ” . 现有一 “ 阳马 ” P － ABCD ，已知其体积为 8 ， AB ＝ 2 ， BC ＝ 3 ，则该 “ 阳马 ” 的最长侧棱长为 ________ ，表面积为 ________. 考点二　空间几何体的体积 【例 2 】 (1) ( 一题多解 ) 如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 ( 　　 ) A.90π B.63π C.42π D.36π (2) (2019· 北京卷 ) 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示 . 如果网格纸上小正方形的边长为 1 ，那么该几何体的体积为 ________. 答案　 (1)B 　 (2)40 规律方法　 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1) 若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解 . (2) 若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解 . (3) 若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解 . 【训练 2 】 (1) (2019· 浙江卷 ) 祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的 “ 幂势既同，则积不容异 ” 称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式 V 柱体 ＝ Sh ，其中 S 是柱体的底面积， h 是柱体的高 . 若某柱体的三视图如图所示 ( 单位： cm) ，则该柱体的体积 ( 单位： cm 3 ) 是 ( 　　 ) A.158 B.162 C.182 D.324 考点三　最值问题 【例 3 】 (1) (2016· 浙江卷 ) 如图，在 △ ABC 中， AB ＝ BC ＝ 2 ， ∠ ABC ＝ 120°. 若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点 D ，满足 PD ＝ DA ， PB ＝ BA ，则四面体 PBCD 的体积的最大值是 ________. 解析 　 (1) 设 PD ＝ DA ＝ x ，在 △ ABC 中， AB ＝ BC ＝ 2 ， ∠ ABC ＝ 120° ， 要使四面体体积最大，当且仅当点 P 到平面 BCD 的距离最大，而 P 到平面 BCD 的最大距离为 x . (1) 　　　　　　　　 (2) 规律方法　 常用方法是将几何图形展开为平面图形，利用几何性质求解或利用函数或不等式求最值 . 【训练 3 】 (1) (2020· 上海徐汇区一模 ) 如图，棱长为 2 的正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， E 为 CC 1 的中点，点 P ， Q 分别为面 A 1 B 1 C 1 D 1 和线段 B 1 C 上的动点，则 △ PEQ 周长的最小值为 ( 　　 ) (2) (2018· 全国 Ⅰ 卷 ) 某圆柱的高为 2 ，底面周长为 16 ，其三视图如图 . 圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为 ( 　　 ) 答案　 (1)B 　 (2)B