天津市河西区2021届高三第一学期期中考试数学试卷（解析版） 15页

天津市河西区2021届高三第一学期期中考试数学试卷 一、选择题（本大题共9小题）‎ 1. 已知集合A={-2,-1,‎0，1，‎2}‎，B={x|(x-1)(x+2)<0}‎，则A∩B=(    )‎ A. ‎{-1,0}‎ B. ‎{0,1}‎ C. ‎{-1,‎0，‎1}‎ D. ‎{0,‎1，‎‎2}‎ 2. 设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使a‎|a|‎‎=‎b‎|b|‎成立的充分条件是‎(‎    ‎‎)‎ A. a‎=-‎b B. a‎//‎b C. a‎=2‎b D. a‎//‎b且‎|a|=|b|‎ 3. 函数f(x)=‎‎1‎‎(log‎2‎x‎)‎‎2‎-1‎的定义域为‎(    )‎ A. ‎(0,‎1‎‎2‎)‎ B. ‎(2,+∞)‎ C. ‎(0,‎1‎‎2‎)∪(2,+∞)‎ D. ‎‎(0,‎1‎‎2‎]∪[2,+∞)‎ 4. 已知点A(-1,1)‎，点B(2,y)‎，向量a‎=(1,2)‎，若AB‎//‎a，则实数y的值为‎(    )‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ 5. 如果函数y=3cos(2x+φ)‎的图象关于点‎(‎4π‎3‎,0)‎中心对称，那么‎|φ|‎的最小值为‎(    )‎ A. π‎6‎ B. π‎4‎ C. π‎3‎ D. ‎π‎2‎ 6. 设a=(‎3‎‎4‎‎)‎‎0.5‎,b=(‎4‎‎3‎‎)‎‎0.4‎,c=log‎3‎‎4‎(log‎3‎4)‎，则‎(    )‎ A. c0‎，y>0‎，且‎2x+8y-xy=0‎，则xy的最小值为______．‎ 5. 如图，在‎△ABC中，AB=3‎，AC=2‎，‎∠BAC=60°‎，D，E分别是边AB，AC上的点，AE=1‎，且AD‎⋅AE=‎‎1‎‎2‎，则‎|AD|=‎______，若P是线段DE上的一个动点，则BP‎⋅‎CP的最小值为______． ‎ 三、解答题（本大题共5小题）‎ 6. 等比数列‎{an}‎中，已知a‎1‎‎=2‎，a‎4‎‎=16‎． ‎(1)‎求数列‎{an}‎的通项公式an； ‎(2)‎若a‎3‎，a‎5‎分别是等差数列‎{bn}‎的第4项和第16项，求数列‎{bn}‎的通项公式及前n项和Sn． ‎ 7. 在‎△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.‎已知a>b，a=5‎，c=6‎，sinB=‎‎3‎‎5‎．    ‎(‎Ⅰ‎)‎求b和sinA的值；    ‎(‎Ⅱ‎)‎求sin(2A+π‎4‎)‎的值． ‎ 1. 已知函数g(x)=ax‎2‎-2ax+1+b(a>0)‎在区间‎[2,3]‎上有最大值4和最小值1，设f(x)=‎g(x)‎x． ‎(‎Ⅰ‎)‎求a、b的值； ‎(‎Ⅱ‎)‎若不等式f(‎2‎x)-k⋅‎2‎x≥0‎在x∈[-1,1]‎上恒成立，求实数k的取值范围． ‎ 2. 设‎{an}‎是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn‎(n∈N‎*‎)‎，‎{bn}‎是等差数列．已知a‎1‎‎=1‎，a‎3‎‎=a‎2‎+2‎，a‎4‎‎=b‎3‎+‎b‎5‎，a‎5‎‎=b‎4‎+2‎b‎6‎． ‎(‎Ⅰ‎)‎求‎{an}‎和‎{bn}‎的通项公式； ‎(‎Ⅱ‎)‎设数列‎{Sn}‎的前n项和为Tn‎(n∈N‎*‎)‎， ‎(i)‎求Tn； ‎(ii)‎证明k=1‎n‎(Tk+bk+2‎)‎bk‎(k+1)(k+2)‎‎=‎2‎n+2‎n+2‎-2(n∈N‎*‎).‎ ‎ 3. 设函数f(x)=excosx，g(x)‎为f(x)‎的导函数． ‎(‎Ⅰ‎)‎求f(x)‎的单调区间； ‎(‎Ⅱ‎)‎当x∈[π‎4‎,π‎2‎]‎时，证明f(x)+g(x)(π‎2‎-x)≥0‎； ‎(‎Ⅲ‎)‎设xn 为函数u(x)=f(x)-1‎在区间‎(2nπ+π‎4‎,2nπ+π‎2‎)‎内的零点，其中n∈N，证明‎2nπ+π‎2‎-xn<‎e‎-2nπsinx‎0‎-cosx‎0‎． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】A ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】 本题主要考查了交集及其运算，考查学生的计算能力，属于基础题． 解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可． 【解答】‎ 解：B={x|-20‎， 故选C． 利用向量共线的充要条件，求已知等式的充要条件，进而可利用命题充要条件的定义得其充分条件 本题主要考查了向量共线的充要条件，命题的充分和必要性，属基础题． 3.【答案】C ‎ ‎【解析】解：要使函数有意义，则‎(log‎2‎x‎)‎‎2‎-1>0‎， 即log‎2‎x>1‎或log‎2‎x<-1‎， 解得x>2‎或‎0(‎4‎‎3‎‎)‎‎0‎=1‎，即b>1‎ log‎3‎‎4‎(log‎3‎4)5‎时，y=log‎5‎|x|>1‎，此时函数图象无交点， 如图： 又两函数在x>0‎上有4个交点，由对称性知它们在x<0‎上也有4个交点，且它们关于直线y轴对称， 可得函数g(x)=f(x)-log‎5‎|x|‎的零点个数为8； 故选：D． 分别作出函数y=f(x)‎，y=log‎5‎|x-1|‎的图象，结合函数的对称性，利用数形结合法进行求解； 本题主要考查了周期函数与对数函数的图象，数形结合是高考中常用的方法，考查数形结合，本题属于基础题． 10.【答案】5 ‎ ‎【解析】解：x=0‎，y=0‎，x-y=0‎ x=0‎，y=1‎，x-y=-1‎； x=0‎，y=2‎，x-y=-2‎； x=1‎，y=0‎，x-y=1‎； x=1‎，y=1‎，x-y=0‎； x=1‎，y=2‎，x-y=-1‎； x=2‎，y=0‎，x-y=2‎； x=2‎，y=1‎，x-y=1‎； x=2‎，y=2‎，x-y=0‎； ‎∴B={0,-1,-2,‎1，‎2}‎； ‎∴B中元素的个数是5． 故答案为：5． 分别让x=0‎，1，2，y=0‎，1，2，求x-y，即可求出集合B的元素，从而得到集合B中元素的个数． 考查描述法表示集合，元素与集合的关系，集合元素的互异性． 11.【答案】8 ‎ ‎【解析】解：由题，a，b∈R，a+bi=‎11-7i‎1-2i=‎(11-7i)(1+2i)‎‎(1-2i)(1+2i)‎=‎25+15i‎5‎=5+3i 所以a=5‎，b=3‎，故a+b=8‎ 故答案为8 由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以‎1+2i，再由进行计算即可得到a+bi=5+3i，再由复数相等的充分条件即可得到a，b的值，从而得到所求的答案 本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握，复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁，解题时要注意运用它进行转化． 12.【答案】‎3,n=1‎‎2‎n-1‎‎,n≥2‎ ‎ ‎【解析】解：‎∵‎数列‎{an}‎的前n项和Sn‎=‎2‎n+1‎， ‎∴‎当n≥2‎时，an‎=sn-sn-1‎=‎2‎n-‎2‎n-1‎=‎‎2‎n-1‎， 当n=1‎时，a‎1‎‎=‎2‎‎1‎+1=3≠1‎， ‎∴an=‎‎3,n=1‎‎2‎n-1‎‎,n≥2‎， 故答案为：‎3,n=1‎‎2‎n-1‎‎,n≥2‎． 直接根据n≥2‎时，‎an‎=sn-‎sn-1‎ 即可求解结论，注意检验n=1‎是否成立． 本题考查数列的通项公式的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 13.【答案】3 ‎ ‎【解析】解：y=ax-ln(x+1)‎的导数 y'=a-‎‎1‎x+1‎， 由在点‎(0,0)‎处的切线方程为y=2x， 得a-‎1‎‎0+1‎=2‎， 则a=3‎． 故答案为：3． 根据导数的几何意义，即f'(x‎0‎)‎表示曲线f(x)‎在x=‎x‎0‎处的切线斜率，再代入计算． 本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视． 14.【答案】64 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】 本题考查了基本不等式的应用，属于基础题． 利用基本不等式构建不等式即可得出 【解答】 解：‎∵x>0‎，y>0‎，‎2x+8y-xy=0‎， ‎∴xy=2x+8y≥2‎16xy=8‎xy， ‎∴xy≥8‎，‎∴xy≥64‎． 当且仅当x=4y=16‎时取等号． 故xy的最小值为64． 故答案为64． 15.【答案】1 ‎-‎‎1‎‎16‎ ‎ ‎【解析】解：‎∵AE=1‎，‎∠BAC=60°‎， ‎∴AD⋅AE=‎1‎‎2‎|AD|=‎‎1‎‎2‎， ‎∴|AD|=1‎， ‎∴‎在‎△DAE中，根据余弦定理得，DE‎2‎=AD‎2‎+AE‎2‎-2AD⋅AE⋅cos60°=1+1-2×‎1‎‎2‎=1‎， 又AB=3‎，AC=2‎， ‎∴BD=2‎，CE=1‎，且‎∠ADE=∠AED=60°‎， ‎∵P是线段DE上的一个动点， ‎∴‎设DP‎=λDE，‎0≤λ≤1‎，则EP‎=(λ-1)‎DE， ‎∴BP⋅CP=(BD+DP)⋅(CE+EP) ‎‎=(BD+λDE)⋅[CE+(λ-1)DE] ‎‎=BD⋅CE+(λ-1)λDE‎2‎+(λ-1)BD⋅DE+λDE⋅CE ‎‎=2×1×‎1‎‎2‎+λ‎2‎-λ+2×1×‎1‎‎2‎×(λ-1)+1×1×(-‎1‎‎2‎)×λ ‎‎=λ‎2‎-λ‎2‎ =(λ-‎1‎‎4‎‎)‎‎2‎-‎‎1‎‎16‎， ‎∴λ=‎‎1‎‎4‎时，BP‎⋅‎CP取最小值‎-‎‎1‎‎16‎． 故答案为：‎1,-‎‎1‎‎16‎． 根据AE=1‎，‎∠BAC=60°‎，AD‎⋅AE=‎‎1‎‎2‎即可求出‎|AD|=1‎，然后根据余弦定理即可求出DE=1‎，从而得出BD=2‎，CE=1‎，且‎∠ADE=∠AED=60°‎，并据题意设DP‎=λDE，‎0≤λ≤1‎，从而可得出BP‎⋅CP=(BD+λDE)⋅[CE+(λ-1)DE]‎，然后进行数量积的运算即可得出BP‎⋅CP=λ‎2‎-‎λ‎2‎，从而配方即可求出最小值的大小． 本题考查了向量数量积的运算及计算公式，余弦定理，向量加法和数乘的几何意义，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于中档题． 16.【答案】解：‎(1)∵‎等比数列‎{an}‎中，已知a‎1‎‎=2‎，a‎4‎‎=16‎， ‎∴2q‎3‎=16‎，解得q=2‎， ‎∴an=2×‎2‎n-1‎=‎‎2‎n． ‎(2)∵‎a‎3‎，a‎5‎分别是等差数列‎{bn}‎的第4项和第16项， ‎∴b‎4‎=a‎3‎=‎2‎‎3‎=8‎，b‎16‎‎=a‎5‎=‎2‎‎5‎=32‎， ‎∴‎b‎4‎‎=b‎1‎+3d=8‎b‎16‎‎=b‎1‎+15d=32‎， 解得b‎1‎‎=2‎，d=2‎， ‎∴bn=2+(n-1)×2=2n． Sn‎=2n+n(n-1)‎‎2‎×2=n‎2‎+n． ‎ ‎【解析】‎(1)‎利用等比数列通项公式能求出首项和公差，由此能求出数列‎{an}‎的通项公式an． ‎(2)‎由等比数列通项公式求出等差数列‎{bn}‎的第4项和第16项，再由等差数列通项公式求出首项与公差，由此能求出数列‎{bn}‎的通项公式及前n项和Sn． 本题考查数列的通项公式及前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用． 17.【答案】解：‎(‎Ⅰ‎)‎在‎△ABC中，‎∵a>b， 故由sinB=‎‎3‎‎5‎，可得cosB=‎‎4‎‎5‎． 由已知及余弦定理， 有b‎2‎‎=a‎2‎+c‎2‎-2accosB=25+36-2×5×6×‎4‎‎5‎=13‎， ‎∴b=‎‎13‎． 由正弦定理asinA‎=‎bsinB，得sinA=asinBb=‎‎3‎‎13‎‎13‎． ‎∴b=‎‎13‎，sinA=‎‎3‎‎13‎‎13‎； ‎(‎Ⅱ‎)‎由‎(‎Ⅰ‎)‎及a0‎，可得q=2‎． 故an‎=‎‎2‎n-1‎． 设等差数列‎{bn}‎的公差为d，由a‎4‎‎=b‎3‎+‎b‎5‎，得b‎1‎‎+3d=4‎， 由a‎5‎‎=b‎4‎+2‎b‎6‎，得‎3b‎1‎+13d=16‎， ‎∴b‎1‎=d=1‎． 故bn‎=n； ‎(‎Ⅱ‎)(i)‎解：由‎(‎Ⅰ‎)‎，可得Sn‎=‎1-‎‎2‎n‎1-2‎=‎2‎n-1‎， 故Tn‎=k=1‎n‎(‎‎2‎k-1)=k=1‎n‎2‎k-n=‎2×(1-‎2‎n)‎‎1-2‎-n=‎2‎n+1‎-n-2‎； ‎(ii)‎证明：‎∵‎(Tk+bk+2‎)‎bk‎(k+1)(k+2)‎=‎‎(‎2‎k+1‎-k-2+k+2)k‎(k+1)(k+2)‎ ‎=k⋅‎‎2‎k+1‎‎(k+1)(k+2)‎=‎2‎k+2‎k+2‎-‎‎2‎k+1‎k+1‎． ‎∴k=1‎n‎(Tk+bk+2‎)‎bk‎(k+1)(k+2)‎=(‎2‎‎3‎‎3‎-‎2‎‎2‎‎2‎)+(‎2‎‎4‎‎4‎-‎2‎‎3‎‎3‎)+…+(‎2‎n+2‎n+2‎-‎2‎n+1‎n+1‎) =‎2‎n+2‎n+2‎-2‎． ‎ ‎【解析】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和等基础知识，考查利用裂项相消法求和，是中档题． ‎(‎Ⅰ‎)‎设等比数列‎{an}‎的公比为q，由已知列式求得q，则数列‎{an}‎的通项公式可求；等差数列‎{bn}‎的公差为d，再由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，可得等差数列的通项公式； ‎(‎Ⅱ‎)(i)‎由等比数列的前n项和公式求得Sn，再由分组求和及等比数列的前n项和求得数列‎{Sn}‎的前n项和Tn； ‎(ii)‎化简整理‎(Tk+bk+2‎)‎bk‎(k+1)(k+2)‎，再由裂项相消法证明结论． 20.【答案】‎(‎Ⅰ‎)‎解：由已知，f'(x)=ex(cosx-sinx)‎，因此， 当x∈[2kπ+π‎4‎,2kπ+‎5π‎4‎](k∈Z)‎时，有sinx>cosx，得f'(x)<0‎，f(x)‎单调递减； 当x∈[2kπ-‎3π‎4‎,2kπ+π‎4‎](k∈Z)‎时，有sinx0‎，f(x)‎单调递增． ‎∴f(x)‎的单调增区间为‎[2kπ-‎3π‎4‎,2kπ+π‎4‎](k∈Z)‎，单调减区间为‎[2kπ+π‎4‎,2kπ+‎5π‎4‎](k∈Z)‎； ‎(‎Ⅱ‎)‎证明：记h(x)=f(x)+g(x)(π‎2‎-x)‎，依题意及‎(‎Ⅰ‎)‎， 有g(x)=ex(cosx-sinx)‎，g'(x)=-2exsinx<0‎， 从而h'(x)=f'(x)+g'(x)(π‎2‎-x)+g(x)×(-1)=g'(x)(π‎2‎-x)⩽0.‎ 因此，h(x)‎在区间‎[π‎4‎,π‎2‎]‎上单调递减，有h(x)≥h(π‎2‎)=f(π‎2‎)=0‎． ‎∴‎当x∈[π‎4‎,π‎2‎]‎时，f(x)+g(x)(π‎2‎-x)≥0‎； ‎(‎Ⅲ‎)‎证明：依题意，u(xn)=f(xn)-1=0‎，即exncosxn=1‎， 记yn‎=xn-2nπ，则，且f(yn)=eyncosyn=exn‎-2nπcos(xn-2nπ)=e‎-2nπ(n∈N)‎． 由f(yn)=e‎-2nπ≤1=f(y‎0‎)‎及‎(‎Ⅰ‎)‎，得yn‎≥‎y‎0‎， 由‎(‎Ⅱ‎)‎知，当x∈[π‎4‎,π‎2‎]‎时，g'(x)<0‎， ‎∴g(x)‎在上为减函数， 因此，，‎ 又由‎(‎Ⅱ‎)‎知，f(yn)+g(yn)(π‎2‎-yn)>0‎，‎ 故 所以．‎ ‎ ‎ ‎【解析】本题主要考查导数的运算，不等式的证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和化归与转化思想，考查抽象概括能力、综合分析问题与解决问题的能力，属难题． ‎(‎Ⅰ‎)‎求出原函数的导函数，可得当x∈[2kπ+π‎4‎,2kπ+‎5π‎4‎](k∈Z)‎时，f'(x)<0‎，f(x)‎单调递减；当x∈[2kπ-‎3π‎4‎,2kπ+π‎4‎](k∈Z)‎时，f'(x)>0‎，f(x)‎单调递增； ‎(‎Ⅱ‎)‎记h(x)=f(x)+g(x)(π‎2‎-x)‎，依题意及‎(‎Ⅰ‎)‎，得到g(x)=ex(cosx-sinx)‎，由h'(x)⩽0‎，得h(x)‎在区间‎[π‎4‎,π‎2‎]‎上单调递减，有h(x)≥h(π‎2‎)=f(π‎2‎)=0‎，从而得到当x∈[π‎4‎,π‎2‎]‎时，f(x)+g(x)(π‎2‎-x)≥0‎； ‎(‎Ⅲ‎)‎依题意，u(xn)=f(xn)-1=0‎，即exncosxn=1‎，记yn‎=xn-2nπ，则，且f(yn)=e‎-2nπ(n∈N).‎由f(yn)=e‎-2nπ≤1=f(y‎0‎)‎及‎(‎Ⅰ‎)‎，得yn‎≥‎y‎0‎，由‎(‎Ⅱ‎)‎知，当x∈[π‎4‎,π‎2‎]‎时，g(x)‎在上为减函数，有，又由‎(‎Ⅱ‎)‎知，f(yn)+g(yn)(π‎2‎-yn)>0‎， 得π‎2‎‎-yn≤f(yn)‎g(yn)‎=-e‎-2nπg(yn)‎≤e‎-2nπg(y‎0‎)‎e‎-2nπey‎0‎‎(siny‎0‎-cosy‎0‎)‎<‎e‎-2nπsinx‎0‎-cosx‎0‎，从而证得‎2nπ+π‎2‎-xn<‎e‎-2nπsinx‎0‎-cosx‎0‎． ‎