2016年上海市青浦区高考一模数学 15页

2016 年上海市青浦区高考一模数学 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分. 1.方程组 3 5 6 0 4 3 7 0 xy xy      ＝ ＝ 的增广矩阵是 . 解析：方程组 的增广矩阵是： 3 5 6 4 3 7      ． 答案： 3 5 6 4 3 7      ． 2.已知 32i  是关于 x 的方程 220x p x q   的一个根，则实数 p+q= . 解析：∵ 32i  是关于 x 的方程 220x px q   的一个根， ∴ 32i也是关于 x 的方程 220xpxq 的一个根， ∴32323232 22 pqiiii  （ ） ，（ ）（ ） ， 解得 p=8，q=26． ∴p+q=34． 答案：34 3.设函数 1 102 1 ( ()0 )xx fx xx     （ ） ＜ 若 f(a)＞a，则实数 a 的取值范围是 . 解析：当 a≥0 时，   1 12faaa ＝ ＞ ，解得 a＜-2， 矛盾，无解 当 a＜0 时，   1faa a＝ ＞ ，a＜-1． 综上：a＜-1 ∴实数 a 的取值范围是(-∞，-1)． 答案：(-∞，-1) 4. 已知函数 f(x)=sin(2x+φ)，0＜φ≤π图象的一条对称轴是直线 8x ＝ ，则φ= . 解析：∵函数 f(x)=sin(2x+φ)，0＜φ≤π图象的一条对称轴是直线 8x ＝ ， ∴ 20824 kkkZ ，即 ， ，又 ＜ ， ∴φ= 4  ， 答案： 4  ． 5.函数 23xxf x lg（ ） （ ）的定义域为 . 解析：要使函数有意义，则 23xx ＞0， 即 23xx＞ ＞0， ∴ 22133 x x x （ ）＞ ， 解得 x＜0， ∴函数的定义域为(-∞，0)， 答案：(-∞，0)． 6.已知函数 2 2f x x（ ） ，若 f(a)=f(b)，且 0＜a＜b，则 ab 的取值范围是 . 解析： 2 2 2 2222 22 = 2 xxxfxx xx       ， 或（ ） ， ＜ ＜ ， 作出函数的图象如图： 若 f(a)=f(b)，且 0＜a＜b， 则 2 02ba＞ ，＜ ＜ ，则 ab＞0， 则由 f(a)=f(b)， 得 2 2 2 22 2 4a b a b    ，即 ， ∵0＜a＜b， ∴ 2242a b ab＞ ， 则 ab＜2， 综上 0＜ab＜2， 即 ab 的取值范围是(0，2)， 答案：(0，2) 7. 设集合 2{ | } { | 34 }M x y y x b N x y y x x      （ ， ） ， （ ， ） ，当 M∩N≠  时， 则实数 b 的取值范围是 . 解析：∵集合 ，M∩N≠ ， ∴直线 y=x+b 与半圆 22234 13xyy（ ） （ ） （ ）有交点， 半圆 222 3 4 1 3x y y     （ ） （ ） （ ）表示： 圆心在(2，3)，半径为 2 的圆的下半部分， y=x+b 表示斜率为 1 的平行线， 其中 b 是直线在 y 轴上的截距， 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径， 即圆心(2，3)到直线 y=x+b 的距离 23 2 2 bd ， 解得 122122bb 或 (舍)， 由图知 b 的取值范围是[1223 ] ， ． ∴实数 b 的取值范围是[122 3 ] ， ． 答案：[1 2 2 3] ， ． 8.执行如图所示的程序框图，输出结果为 . 解 析 ： 由 已 知 中 的 程 序 框 图 可 知 ： 该 程 序 的 功 能 是 计 算 并 输 出 1111 13355720152017S  的值． 20161008111111111111 1211 33 55 72015 20173355720152017220172017S  （ ） ． 答案： 1008 2017 ． 9.平面直角坐标系中，方程|x|+|y|=1 的曲线围成的封闭图形绕 y 轴旋转一周所形成的几何 体的体积为 . 解析：方程|x|+|y|=1 的曲线围成的封闭图形是一个以(0，1)，(1，0)，(0，-1)，(-1，0)为顶 点的正方形， 绕 y 轴旋转一周所形成的几何体是两个圆锥形成的组合体， 如下图所示： 圆锥的底面半径为 1，高为 1， 故几何体的体积为： 122133    ， 答案： 2 3 ． 10.将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是 m，记第二颗骰子出现的 点数是 n，向量 22()a m n ＝ ， ，向量 1 )1(b＝ ， ，则向量 ab 的概率是 . 解析：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷 2 次出现的点数情况共 6×6=36 种， 由 22()a m n ＝ ， ，向量 1 )1(b＝ ， ， 由于向量 ab ， 所以 m-2+2-n=0，即 m-n=0， 上述满足 m-n=0 的有(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)共 6 种， 故所求概率为 6 1 3 6 6P  答案： 1 6 11. 已知平面向量 0 1 3OA OB OC OA OB OA OC OB CA CB、 、 足 ＝ ，且 ＝ ＝， ＝ ，满 则 的最大值是 . 解析：∵ 01 00 3OA OBOAOBABC cossin ＝ ， ， （，）， （， ）， （ ， ）设 ， ∴ 13CAcossinCBcossin（ ， ）， （ ， ）， ∴ 221331 2 6CA CBcos cossinsinsincoscossinsin    （ ） （ ） （ ）． ∴当 16sinCACB  （ ） ，时 取得最大值 3． 答案：3． 12.如图，将自然数按如下规则“放置”在平面直角坐标系中，使其满足条件：①每个自然 数“放置”在一个“整点”(横纵坐标均为整数的点)上；②0 在原点，1 在(0，1)点，2 在(1， 1)点，3 在(1，0)点，4 在(1，-1)点，5 在(0，-1)点，…，即所有自然数按顺时针“缠绕”在 以“0”为中心的“桩”上，则放置数字(2n+1)2，n∈N*的整点坐标是 . 解析：观察已知中点(0，1)处标 1，即 21 ， 点(-1，2)处标 9，即 23 ， 点(-2，3)处标 25，即 25 ， … 由此推断 点(-n，n+1)处标 221n （ ）， 故放置数字 221n （ ） ，n∈N*的整点坐标是(-n，n+1)． 答案：(-n，n+1) 13.设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 成等比数列，则 ba ab 的取值范围 . 解析：∵△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 成等比数列， ∴ 2b a c ，a＞0，b＞0，c＞0， ∴ 22baba abab ， ∵ 2 220babcabaabb a＜ ， ＜ ， ＜ ， ∴ 2 151510 22 baa abb  ＜ ， ＜ ＜ ． ∵a＞0，b＞0． ∴ 150 2 a b ＜ ＜ ，① 又∵b-a＜c，∴ 2bba a ＜ ，∴ 220aabb＞ ， ∴ 2 10aa bb＞ ，不等式恒成立 ②． ∵①②同时成立． ∴ 1 5 5 120 2215 ab ba   ＜ ＜ ， ＜ ＝ ， ∴ 1551 522 ba ab ＜ ． ∴ ba ab 的取值范围是[25， ）． 答案：[25， ）． 14.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时， 2221 232fxxaxaa（ ） （ ）， 若 1xRfxfx ，（ ） （ ），则实数 a 的取值范围为 . 解析：当 x≥0 时， ． ∴ 2222 10 23 2[]xafxxaxaax ，（ ） （ ）当 时 ； 222 2axafxa＜ ，（ ）当 时 ； 2223xafxxa ＞ ，（ ）当 时 ． 由于函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 即可画出 f(x)在 R 上的图象，如图所示： 当 x＞0 时，f(x)的最小值为 2a ，当 x＜0 时， f(x)的最大值为 2a ， 由于 ， 故函数 f(x-1)的图象不能在函数 f(x)的图象的上方， 结合下图可得 22133 aa，即 261a  ，求得 66 66a ， 答案： [ 6 66]6 ， ． 二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题 纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分. 15. 1 4a＝ 是“直线(a+1)x+3ay+1=0 与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0 相互垂直”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：对于：直线(a+1)x+3ay+1=0 与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0， 当 a=0 时，分别化为：x+1=0，-x+y-3=0，此时两条直线不垂直，舍去； 当 a=-1 时，分别化为：-3y+1=0，-2x-3=0，此时两条直线相互垂直，因此 a=-1 满足条件； 当 a≠-1，0 时，两条直线的斜率分别为： 11 31 aa aa  ， ，由于两条直线垂直，可得 11 131 aa aa   ，解得 或-1(舍去)． 综上可得：两条直线相互垂直的充要条件为： 或-1． ∴ 是“直线(a+1)x+3ay+1=0 与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0 相互垂直”的充分而不必要条件． 答案：A． 16. 复数 1 aiz i  ＝ (a∈R，i 是虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：∵        1 1 1 11 1 2 2 211 a i i a a ia i a azii ii         ＝ ＝ ＝ ， ∴z 在复平面上对应的点的坐标为 11 22 aa（ ， ）， 若 a-1＞0，则 a＞1，∴a+1＜0． ∴z 在复平面上对应的点不可能位于第一象限． 答案：A． 17. 已知 na 是等比数列，给出以下四个命题：① 312 na  是等比数列；② 1nnaa 是 等比数列；③ 1nnaa 是等比数列；④ ||nlga 是等比数列，下列命题中正确的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析： na 是等比数列可得 1 n n a qa   (q 是定值) ① 331 34 2 2 n n a qa    是定值，故①正确； ②比如 1 n na （ ） ，故②不正确； ③ 21 1 nn nn aa qaa    是定值，故③正确； ④ 1 n n lg a lg a  不一定为常数，故④错误． 答案 B． 18. 已知抛物线 2 20y p x p （ ＞ ）与双曲线 22 221 () 00yx abab ＝ ＞ ， ＞ 有相同的焦点 F，点 A 是两曲线的一个交点，且 AF⊥x 轴，若 l 为双曲线一、三象限的一条渐近线，则 l 的倾斜角 所在的区间可能是( ) A.(0， 6  ) B. ( 64)， C. ( 43)， D. ( 32)， 解析：∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同， ∴p=2c ∵A 是它们的一个公共点，且 AF 垂直 x 轴， 设 A 点的纵坐标大于 0， ∴|AF|=p， ∴ 2 pAp（ ， ）， ∵点 A 在双曲线上， ∴ 22 2214 pp ab， ∵ 2 2 22p c b c a  ， ， ∴ 22 222 4 1cc a c a ， 化简得： 4224 60ccaa ， ∴ 426 1 0ee   ， ∵ 2 1e ＞ ， ∴ 2 3 2 2e  ， ∴ 21322b a（ ） ∴ 2 2223b a （ ） ＞ ∴l 的倾斜角所在的区间可能是( 32)， ， 答案：D． 三．解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤. 19.如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，AB⊥平面 PAD，AB∥CD 且 2AB=CD，PD=PA，点 H 为线 段 AD 的中点，若 PH＝1， 2AD＝ ，PB 与平面 ABCD 所成角的大小为 45°． (1)证明：PH⊥平面 ABCD； (2)求四棱锥 P-ABCD 的体积． 解析：(1)由 AB⊥平面 PAD，可得平面 PAD⊥平面 ABCD，再由已知求得 PH⊥AD，由面面垂 直的性质得到 PH⊥平面 ABCD； (2)由(1)可得∠PBH 为 PB 与平面 ABCD 所成角等于 45°，求解直角三角形 BAH 得到 AB，进 一步得到 CD，求得底面直角梯形的面积，代入棱锥体积公式得答案． 答案：(1)证明：如图，∵AB⊥平面 PAD，AB?平面 ABCD， ∴平面 PAD⊥平面 ABCD，且平面 PAD∩平面 ABCD=AD， 又 PD=PA，点 H 为线段 AD 的中点， ∴PH⊥AD，则 PH⊥平面 ABCD； (2)解：在△PAD 中，∵H 为线段 AD 的中点， ， ∴ 2 2AH  ， 由(1)知，PH⊥平面 ABCD， 连接 BH，则∠PBH 为 PB 与平面 ABCD 所成角等于 45°， 在 Rt△PHB 中，由∠PBH=45°，得 PH=BH=1， 在 Rt△BAH 中，有 2 22 221 22AB BH AH     ＝ ＝ ， 则 22CD AB， ∴ 2 31 222 2 2ABCDS     ＝ ＝ ， ∴ 3111 13322P ABCDABCDVSPH ＝ ＝ ． 20.已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴，且抛物线 2 4yx 的焦点 F 是椭圆 M 的一个焦点，以 F 为圆心，以椭圆 M 的短半轴长为半径的圆与直线 l： 2 2 2 0xy＝ 相切． (1)求椭圆 M 的方程； (2)已知直线 y=x+m 与椭圆 M 交于 A、B 两点，且椭圆 M 上存在点 P 满足OPOAOB＝ 求 m 的值． 解析：(1)利用以 F 为圆心，以椭圆 M 的短半轴长为半径的圆与直线 l： 2220xy＝ 相 切，求出 b，a，即可求椭圆 M 的方程； (2)直线 l：y=x+m 与椭圆 M 联立，利用 ，求出 P 的坐标，代入椭圆方程，即 可求 m 的值． 答案：(1)因为抛物线 的焦点 F 是椭圆 M 的一个焦点，即 F(1，0)， 又椭圆 M 的对称轴为坐标轴，所以设椭圆方程为 22 221 () 0 0yx abab ＝ ＞ ， ＞ ，且 221ab， 又以 F 为圆心，以椭圆 M 的短半轴长为半径的圆与直线 l： 2 2 2 0xy＝ 相切， 即   2 102 1 122 b   ＝ ＝ ，所以椭圆 M 的方程是 2 2 12 x y ＝ ； (2)设 22 1122 22 34220 22 yxmAxyBxyxmxm xy    ＝（ ， ）， （ ， ） ＝ ＝ ， 222412 22824033mmmm   （ ） （ ） ＞ ＜ ＜ ， ∵OP OA OB＝ ，∴ 1 2 1 2P x x y y（ ， ）， 2 2 1 2 1 2 4 2 4 2( 13 3 3 3 2) xx x m y y m P m m y    又 ＝ ， ＝ ，即 ， 在 ＝ 上椭圆 ， 即    22 34222332mmm ＝ ＝ ． 21.如图，有一块平行四边形绿地 ABCD，经测量 BC=2 百米，CD=1 百米，∠BCD=120°，拟 过线段 BC 上一点 E 设计一条直路 EF(点 F 在四边形 ABCD 的边上，不计路的宽度)，将绿地 分为面积之比为 1：3 的左右两部分，分别种植不同的花卉，设 EC=x 百米，EF=y 百米． (1)当点 F 与点 D 重合时，试确定点 E 的位置； (2)试求 x 的值，使路 EF 的长度 y 最短． 解析：(1) 当点 F 与点 D 重 合 时 ， 33311120144244CDECDE ABCDSSSCE CD sinxx平行四 形＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ＝ ＝边 ，从而 确定点 E 的位置； (2)分类讨论，确定 y 关于 x 的函数关系式，利用配方法求最值． 答案：(1)∵ 121 2 12032ABCDSsin   平行四 形 ＝ ＝边 当点 F 与点 D 重合时，由已知 31 44CDE ABCDSS 平行四 形＝ ＝边 ， 又∵ 331 120 12 4 4CDES CE CD sin x x    ＝ ＝ ＝ ＝ ，E 是 BC 的中点 (2)①当点 F 在 CD 上，即 1≤x≤2 时，利用面积关系可得 1CF x＝ ， 再由余弦定理可得 2 2 1 13yxx  ＝ ；当且仅当 x=1 时取等号 ②当点 F 在 DA 上时，即 0≤x＜1 时，利用面积关系可得 DF=1-x， (ⅰ)当 CE＜DF 时，过 E 作 EG∥CD 交 DA 于 G，在△EGF 中，EG=1，GF=1-2x，∠EGF=60°， 利用余弦定理得 24 2 1y x x ＝ (ⅱ)同理当 CE≥DF，过 E 作 EG∥CD 交 DA 于 G，在△EGF 中，EG=1，GF=2x-1，∠ EGF=120°， 利用余弦定理得 24 2 1y x x＝ 由(ⅰ)、(ⅱ)可得 24 2 1y x x ＝ ，0≤x＜1 ∴   2 2 314214 44yxxx ＝ ， ∵0≤x＜1，∴ 3 2m iny ＝ ，当且仅当 1 4x＝ 时取等号， 由①②可知当 1 4x＝ 时，路 EF 的长度最短为 3 2 ． 22.设数列{an} 的所有项都是不等于 1 的正数，  na 的前 n 项 和 为 Sn，已知点 ) *(n n nP a S n N， ， 在直线 y=kx+b 上(其中常数 k≠0，且 k≠1)数列，又 1 2 nbnloga＝ ． (1)求证数列  na 是等比数列； (2)如果 bn=3-n，求实数 k、b 的值； (3)若果存在 t，s∈N*，s≠t 使得点(t，bs)和(s，bt)都在直线在 y=2x+1 上，是否存在自然数 M，当 n＞M(n∈N*)时， 1na ＞ 恒成立？若存在，求出 M 的最小值；若不存在，请说明理由． 解析：(1)由题意把点 111( *)nnnnnnPaSPaSnN  （ ， ）、 ， ， 代入直线 y=kx+b，整理后得 到 1 1 n n a k ak  ＝ ，由此说明数列{an}是等比数列； (2) 把 化 为 指 数 式 ， 结 合 数 列 {an} 是 等 比 数 列 可 求 k 值 ， 再 由 ) *(nnnPaSnN ， ， 在直线 y=kx+b 上，取 n=1 求得 b 值； (3)由 ，知 1na ＞ 恒成立等价于 bn＜0 恒成立．结合存在 t，s∈N*，s≠t 使得点 stt b s b（ ， ）和（ ， ）都在直线在 y=2x+1 上，推得  nb 是首项为正，公差为-2 的等差数列．再 由一定存在自然数 M，使 1 0 0 M M b b     ＜ 求解自然数 M 的最小值． 答案：(1)证明：∵ 都在直线 y=kx+b 上， ∴ 1 1 nn nn SSkaa     ＝ ， 即 11 nnkaka （ ） ，又 k≠0，且 k≠1， ∴ 1 1 n n a k ak  ＝ 为非零常数，即数列  na 是等比数列； (2)解：由 1 2 nb n l o g a＝ ，得   31 2221 n nn kab k  ＝ ＝ ，即 ＝ ，得 k=2． 由 ) *(nnnPaSnN ， ， 在直线 y=kx+b 上，得 nnS k a b， 令 n=1 得， 111 12 4bSaa ＝ ＝ ＝ ； (3)解：由 ，知 an＞1 恒成立等价于 bn＜0 恒成立． ∵存在 t，s∈N*，s≠t 使得点 sttbsb（ ， ）和（ ， ）都在直线在 y=2x+1 上， ∴ 21212sttsbtbsbbst， ，即 （ ）， 又 s=t-1，t≥2，可得 1 212ttbbtt  （ ） ， 又 111 2 2 1 2 1 0sb b s t b t s         （ ）（ ） ， （ ） ＞ ， 即{bn}是首项为正，公差为-2 的等差数列． ∴一定存在自然数 M，使 1 0 0 M M b b     ＜ ， 即          2 1 1 2 0 11 222 1 2 0 t s M t s M t s t s M                ，解得 ＜ ＜ ， ∵M∈N*，∴M=t+s． ∴存在自然数 M，其最小值为 t+s，使得当 n＞M(n∈N*)时， 1na ＞ 恒成立． 23. 已知函数 f(x)，g(x)满足关系 g x f x f x   （ ） （ ） （ ），其中α是常数． (1)设 2f x cosx sinx （ ） ， ＝ ，求 g(x)的解析式； (2)设计一个函数 f(x)及一个α的值，使得    23g x cosx cosx sinx＝ ； (3) 当 2f x sinx cosx （ ） ， ＝ 时 ， 存 在 12x x R， ， 对 任 意 12x R g x g x g x  ，（ ） （ ） （ ）恒成立，求 12xx 的最小值． 解析：(1)求出 f(x+α)，代入 gxfxfx （ ） （ ） （ ）化简得出． (2) 对 g(x) 化 简 得    2342 33gxcosx cosxsinxcosx cos xfxcosx  ＝ （ ），故（ ） ， ． (3)求出 g(x)的解析式，判断 g(x)在何时取的最大值和最小值. 答案：(1)∵ 2fxcosxsinx （ ） ， ＝ ∴ 22fxcosxsinxcosxsinx （ ） （ ） （ ） ； ∴ 22 2gxcosxsinxcosxsinxcosxsin xcosx（ ） （ ）（ ） ． (2)∵    234 3gxcosxcosxsinxcosxcosx ＝ （ ）， ∴ 2 3f x cosx   （ ） ， ． (3)∵ fxsinxcosxgxfxfxsinxcosxcosxsinx （ ） ， （ ） （ ） （ ） （ ）（ ） 222 2 2122 2 3222 2 312 (] (] (] (]2222 2 cos xxkk sin xxkk cos xxkk sin xxkk                  ， ， ， ， ， ， ， ， ， 因为存在 12xxR ， ，对任意 x∈R， 12gxgxgx（ ） （ ） （ ）恒成立， 所以当 111 221 2xkxkkZg xg x  或 ＝ ， ，（ ） （ ）时 当 22 7224x k k Z g x g x    ＝ ， ，（ ） （ ）时 所以 1 2 1 2 1 2| ( ) |7224x x k k k k Z      ＝ ， 、 或 12121 2 |() | 72224x xkkk k Z ＝ ， 、 所以 12xx 的最小值是 3 4  ．