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- 2021-06-16 发布
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- 1 -
2020 届广州市高三年级调研测试
文科数学
2019.12 本试卷共 5 页,23 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟.
1.答卷前,考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上,用 2B 铅笔在
答题卡的相应位置填涂考生号、并将试卷类型(A)填图在答题卡的相应位置上.
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案涂黑;如需
改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须卸载答题卡各题目制定区域内的
相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔盒涂改液,
不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.
1.已知复数 ,则复数 的虚部为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
转化条件得 ,由虚部的概念即可得解.
【详解】由题意 ,
所以复数 的虚部为 .
故选:D.
【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数虚部的概念,属于基础题.
2.设集合 ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
5
3 4z i
= − z
4i i 4
5 i 4
5
3 4
5 5z i= +
( )
( )( )
3 455
3 4 3 4
4
53
3
4 5
iz i i ii
+
− − = ++= =
5
3 4z i
= −
4
5
{ } { ( )}2 2 3 0 , ln 2A x x x B x y x= − − ≤ = = − A B∩ =
[ )3 2- , ( ]2 3, [ )l 2- , ( )l 2- ,
- 2 -
【解析】
【分析】
本题首先可以通过解一元二次不等式计算出集合 A,然后通过对数的性质计算出集合 B,最后
计算出 ,即可得出结果.
【详解】集合 A: , , ,
故集合 ,
集合 B: , ,
故集合 ,
,故选 C.
【点睛】本题考查的是集合的相关性质,主要考查集合的运算、一元二次不等式的解法以及
对数的相关性质,考查计算能力,体现了基础性与综合性,是简单题.
3.如图所示的风车图案中,黑色部分和白色部分分别由全等的等腰直角三角形构成,在图案
内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设黑色等腰直角三角形的腰长为 ,由题意分别表示出黑色部分和白色部分的面积,由几何概
型概率的求解方法即可得解.
【详解】设黑色等腰直角三角形的腰长为 ,则一个白色等腰直角三角形的腰长为 ,
A B
2 2 3 0x x− − ≤ ( )( )3 1 0x x- + £ 1 3x− ≤ ≤
{ }= 1 3A x x- £ £
2 0x− > 2x <
{ }B= 2x x <
)1 2A B éÇ = -ë ,
1
4
1
3
2
3
3
4
a
a 2a
- 3 -
则黑色部分的面积为 ,白色部分的面积为 ,
故所求概率为 .
故选:B.
【点睛】本题考查了几何概型概率的求解,属于基础题.
4.命题“ ”的否定是( )
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用全称命题的否定是特称命题,即可直接得解.
【详解】因为全称命题的否定是特称命题,
所以命题“ , ”的否定为“ , ”.
故选:D.
【点睛】本题考查了全称命题的否定,属于基础题.
5.设 , 是单位向量,且 , 的夹角为 60°,则 的模为( )
A. B. 13 C. 4 D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】
利用模的运算,结合数量积的运算,求得 的模.
【 详 解 】 的 模 为
.
故选:A
.
2 21 4 22 a a× = ( )2 21 2 4 42 a a⋅ × =
2
2 2
2 1
4 2 3
ap a a
= =+
10, 1x lnx x
∀ > ≥ −
10 1x lnx x
∃ ≤ ≥ −, 10 1x lnx x
∃ ≤ < −,
10 1x lnx x
∃ > ≥ −, 10 1x lnx x
∃ > < −,
0x∀ > 11lnx x
≥ − 0x∃ > 11lnx x
< −
a b a b 3c a b= +
13
c
3c a b= + ( )2 2 2
3 3 9 6a b a b a a b b+ = + = + ⋅ +
9 6 cos60 1 13= + ⋅ + =
- 4 -
【点睛】本小题主要考查复数的模和数量积运算,属于基础题.
6.已知实数 满足 ,则 的最小值为( )
A. -7 B. -6 C. 1 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】
作出约束条件的可行域,根据目标函数表示的几何意义即可求解.
【详解】画出约束条件的可行域,如图(阴影部分)所示:
由图可知向上平移直线 ,
到边界 的位置时, 取得最小值,此时
故选:A
【点睛】本题主要考查了线性规划问题,考查的核心素养是直观想象,属于基础题
7.已知点 在幂函数 的图象上,设
,则 的大小关系为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
,x y
2 2 0
3 3 0
2 4 0
x y
x y
x y
+ − ≥
− − ≤
− + ≥
3z x y= −
3 0x y− =
( )2,3B z 2 3 3 7z = − × = −
( ),8m ( ) ( )1 nf x m x= −
( )3 2, lnπ ,3 2a f b f c f
= = =
, ,a b c
a c b< < a b c< <
b c a< < b a c< <
- 5 -
【分析】
由幂函数特点可求出 值,带入点可求 值,进而求得 解析式,利用 的单调性即
可比较大小.
【详解】∵点 在幂函数 的图象上,∴ ,解得 ,
∴ ,且 在 上单调递增,又 ,∴ ,故选 A.
【点睛】本题考查幂函数性质和利用单调性比较大小.
8.已知 F 为双曲线 的右焦点,过 F 做 C 的渐近线的垂线 FD,垂足为 D,且满足
(O 为坐标原点),则双曲线的离心率为( )
A. B. 2 C. 3 D.
【答案】A
【解析】
分析】
根据题中条件求出双曲线基本量的比例关系,然后即可求出离心率的值.
【详解】由题知 ,又因为焦点到双曲线渐近线的距离为 ,
所以 ,
整理得 .
故选:A.
【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求解,属于基础题.
9.函数 图象大致为( )
【
的
m n ( )f x ( )f x
( ),8m ( ) ( )1 nf x m x= − ( )
1 1
1 8n
m
m m
− =
− =
2
3
m
n
=
=
( ) 3f x x= ( )f x ( ),−∞ +∞ 3 2 1 lnπ3 2
< < < a c b< <
2 2
2 2 1x y
a b
− =
1
2FD OF=
2 3
3
10
3
1
2FD OF= b FD=
( )2 2 2 2 21 1 2 4 42 2FD OF b c b c b c c a c= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ − =
2
2 2 2
2
4 2 33 4 3 3
cc a e ea
= ⇒ = = ⇒ =
( )
2ln
x x
x xf x e e−
−
= +
- 6 -
A. B. C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由 时, 可排除选项 A、B,利用函数奇偶性可排除 C,即可得解.
【详解】当 时, , , ,所以 ,
故可排除选项 A、B;
由 可得函数 为偶函数,可排除 C.
故选:D.
【点睛】本题考查了函数图象的识别,关键是对比函数的性质和图象的特征,属于基础题.
10.已知函数 将函数 的图象向左平移 个单位长度,
得到的函数的图象关于 轴对称,则下列说法错误的是( )
A. 在 上单调递减 B. 在 上单调递增
( )2,2x∈ ( ) 0f x <
( )2,2x∈ ( )2 0,1x x
− ∈ 2ln 0x x
− < 0x xe e−+ > ( ) 0f x <
( ) ( )
2 2ln ln
x x x x
x xx xf x f xe e e e− −
− + −
− = = =+ +
( )f x
( ) ( )2 0 2f x sin x
πϕ ϕ = + < <
( )f x 6
π
y
( )f x 2 ,3 2
π π − −
( )f x 0, 3
π
- 7 -
C. 的图象关于 对称 D. 的图象关于 对称
【答案】B
【解析】
【分析】
设平移后的函数为 ,令 可得
,利用三角函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】设平移后的函数为 ,
由题意 ,则 ,
又 , , ,
当 时, ,故 A 正确;
当 时, ,故 在 上不单调,故 B 错误;
当 时, ,故 C 正确;
当 时, ,故 D 正确.
故选:B.
【点睛】本题考查了三角函数图象的平移和三角函数图象的综合应用,属于中档题.
11.已知三棱锥 中, 面 面
则此三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
( )f x 5 ,012
π
( )f x
3x
π= −
( ) 2 03 2g x sin x
π πϕ ϕ
=
+ + < <
( )
3 2 k k Z
π πϕ π+ = + ∈
6
π=ϕ
( ) 2 03 2g x sin x
π πϕ ϕ
=
+ + < <
( )
3 2 k k Z
π πϕ π+ = + ∈ ( )
6 k k Z
πϕ π= + ∈
0 2
πϕ< < ∴
6
π=ϕ ∴ ( ) 2 6f x sin x
π = +
2 ,3 2x
π π ∈ − −
7 5 3 12 , ,6 6 6 2 2x
π π π π π + ∈ − − ⊆ − −
0, 3x
π ∈
52 ,6 6 6x
π π π + ∈
( )f x 0, 3
π
5
12x
π= ( ) 5 s 06 in6f x sin
π π π = =
+ =
3x
π= − ( ) 2
3 sin 126f x sin
π π π = − = −
= − +
P ABC− 1 7 2 2 5PA PB AB CA CB= = = = =, , , , PAB ⊥
ABC,
20
9
π 25
12
π 25
3
π 5
3
π
- 8 -
【分析】
取 的中点 ,连接 , ,由题意得球心一定在直线 上,设球心为 O,半径为 R
,连接 ,在 中由勾股定理可得 ,解方程求得球的半径
后即可得解.
【详解】如图, , , ,
, ,
, 为等腰三角形.
取 的中点 ,连接 , , , ,
,
又 面 面 ,面 面 , 面 ,
面 ,
又 为直角三角形, 外接圆圆心为 D,
球心一定在直线 上,设球心为 O,半径为 R,连接 ,
则 , 即 解得 ,
则此三棱锥的外接球的表面积为 .
故选:C.
【点睛】本题考查了三棱锥的结构特征和三棱锥外接球的表面积的求解,考查了空间思维能
力,属于中档题.
12.已知各项均为正数的数列 的前 项和为 满足 ,
AB D CD PD CD
PO Rt OPD ( ) ( )2 2 23 2R R− + =
1PA = 7PB = 2 2AB =
∴ 2 2 2PA PB AB+ =
2APB
π∠ =
5CA CB= = ∴ ABC
AB D CD PD ∴ CD AB⊥ 2AD BD= =
∴ 2 2 3CD BC BD= − =
PAB ⊥ ABC PAB ∩ ABC AB= CD ⊂ ABC
∴ CD ⊥ PAB
PAB△ ∴ PAB△
∴ CD PO
3OD R= − ∴ 2 2 2OD DP OP+ = ( ) ( )2 2 23 2R R− + = 5 3
6R =
2
2 5 3 254 4 6 3S R
ππ π = = ⋅ =
{ }na n ,nS ( )2 2 1 2 0n n
n nS S− − − =
- 9 -
,若 表示不超过 的最大正数,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
转 化 条 件 得 , 进 而 可 得 , , 利 用 裂 项 相 消 法 可 得
,根据新定义即可得解.
【详解】 , ,
为正项数列, , , ,
, ,
,
由 表示不超过 的最大正数可知 .
故选:B.
【点睛】本题考查了新定义在数列问题中的应用,考查了 与 关系的应用和裂项相消法求
数列前 n 项和的应用,属于中档题.
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.已知抛物线 的焦点与椭圆 的一个焦点重合,则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
2 1n nb log a += [ ]x x
1 2 2 3 2020 2021
2020 2020 2020+ + =b b b b b b
+ ⋅⋅⋅
2018 2019 2020 2021
2n
nS = 1 2n
na + = nb n=
1 2 2 3 2020 2021
2020 2020 2020+ + =b b b b b b
+ ⋅⋅⋅
12020 1 2021
−
( )2 2 1 2 0n n
n nS S− − − = ∴ ( )( )2 1 0n
n nS S− + =
{ }na ∴ 1 0nS + > 2n
nS = ∴ 1
1 2n
nS +
+ =
∴ 1
1 1 2 2 2n n n
n n na S S +
+ += − = − = ∴ 2 1n nb log a n+= =
∴
1 2 2 3 2020 2021
2020 2020 2020 2020 2020 2020+ + = + +1 2 2 3 2020 2021b b b b b b
+ ⋅⋅⋅ + ⋅⋅⋅ × × ×
1 1 1 1 1 12020 1 2020 12 2 3 2020 2021 2021
= − + − +⋅⋅⋅+ − = −
[ ]x x 12020 1 20192021
− =
na nS
( )2 2 0x py p= > 2 2
13 12
x y+ = p =
6
- 10 -
由题意抛物线焦点为 ,椭圆焦点为 ,即可得解.
【详解】由题意抛物线 的焦点为 ,
椭圆的焦点为 即 ,
所以 即 .
故答案为: .
【点睛】本题考查了抛物线和椭圆的焦点问题,属于基础题.
14.设数列 为等比数列,若 成等差数列,则等比数列 的公比为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意结合等差中项的性质、等比数列的通项公式可得 ,化简后即可得
解.
【详解】设公比为 q,由题意可得 ,
,化简得 ,解得 .
故答案为: .
【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的综合应用,属于基础题.
15.奇函数 (其中 为底数)在 处的切线方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】
由奇函数的性质可得 ,求出 , ,利用点斜式即可求解.
【详解】 函数 为奇函数,
0, 2
p
( )0, 3±
( )2 2 0x py p= > 0, 2
p
( )0, 12 3± − ( )0, 3±
32
p = 6p =
6
{ }na 2 3 42 4 8a a a, , { }na
1
2
3 2
1 1 12 8 8a q a q a q+ =
2 4 32 8 4 2a a a+ = ×
∴ 3 2
1 1 12 8 8a q a q a q+ = 24 4 1 0q q− + = 1
2q =
1
2
( ) x
x
af x x e e
= +
e 0x =
2 0x y− =
1a = ( )0 2f ′ = ( )0 0f =
( ) x
x
af x x e e
= +
- 11 -
即 ,解得 ,
, ,
, , 切线方程为 即 .
故答案为: .
【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用,考查了导数几何意义的应用,属于中档题.
16.已知正方体 的棱长为 为 的中点,若 平面 ,且
平面 ,则平面 截正方体所得截面的周长为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据线面垂直的条件先确定平面 ,再根据截面形状求周长即可得解.
【详解】在正方体 中, , ,
面 , ,
取 的中点 , 的中点 ,连接 , , ,
易知 ,
由 面 可得 , 面 , ,
面 ,取 的中点 ,由 可知点 在面 上,
平面 截正方体所得截面为 ,
由正方体棱长为 2 易得截面周长为 .
故答案为: .
∴ ( ) ( )1 1f f− = − 1
1
a ae ee e
−
−
− = −
+
+ 1a =
∴ ( ) 1x
xf x x e e
= +
∴ ( ) 1 1x x
x xf x e x ee e
′ = + + −
∴ ( )0 2f ′ = ( )0 0f = ∴ 2y x= 2 0x y− =
2 0x y− =
1 1 1 1ABCD A B C D− 2 M, 1CC AM ⊥ α B∈
α α
3 2 2 5+
α
1 1 1 1ABCD A B C D− BD AC⊥ BD CM⊥
∴ BD ⊥ ACM ∴ BD AM⊥
1BB N 1 1A B E MN AN BE
BE AN⊥
MN ⊥ 1 1ABB A MN BE⊥ ∴ BE⊥ AMN ∴ BE AM⊥
∴ AM ⊥ BDE 1 1A D F / /EF BD F BDE
∴ α BDFE
2 2 5 2 5 3 2 2 5+ + + = +
3 2 2 5+
- 12 -
【点睛】本题考查了线面垂直的判定和截面的性质,考查了空间思维能力,属于中档题.
三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.在 中,角 的对边分别是 ,已知 .
(1)求角 的值;
(2)若 的面积为 ,周长为 ,求 的值.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)由正弦定理得 ,进而可得 ,即可
得解;
(2)由面积可得 ,由余弦定理得 ,再结合周长即可得解.
【详解】(1)因为 ,
由正弦定理得 .
因为 ,所以 ,
所以 ,即 ,
ABC A B C, , a b c, , 03csin A asinC
π −
+ =
A
ABC 3 6 a
3A
π= 2a =
1 3 02 2sinC sinA cosA sinAsinC
−
+ = tan 3A =
4bc = ( )22 12a b c= + −
03csin A asinC
π −
+ =
1 3 02 2sinC sinA cosA sinAsinC
−
+ =
( )0,C π∈ 0sinC >
3 1 sin 02 2cosA A− = tan 3A =
- 13 -
因为 ,所以 .
(2)因为 的面积为 ,所以 ,得 ,
由余弦定理得 ,
因为 的周长为 ,即
所以
所以 .
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用,属于中档题.
18.随着手机的发展,“微信”逐渐成为人们支付购物的一种形式.某机构对“使用微信支付”
的态度进行调查,随机抽取了 50 人,他们年龄的频数分布及对“使用微信支付”赞成人数如
下表.
年龄
(单位:
岁)
, , ,
, , ,
频数 5 10 15 10 5 5
赞成人数 5 10 12 7 2 1
(Ⅰ)若以“年龄 45 岁为分界点”,由以上统计数据完成下面 列联表,并判断是否有 99%
的把握认为“使用微信支付”的态度与人的年龄有关;
年龄不低于 45 岁的人数 年龄低于 45 岁的人数 合计
赞成
不赞成
合计
(Ⅱ)若从年龄在 的被调查人中按照赞成与不赞成分层抽样,抽取 5 人进行追踪调查
,在 5 人中抽取 3 人做专访,求 3 人中不赞成使用微信支付的人数的分布列和期望值.
( )0,A π∈
3A
π=
ABC 3 1 32 bcsinA = 4bc =
( ) ( )2 22 2 2 2 22 3 12a b c bccosA b c bc b c bc b c= + − = + − = + − = + −
ABC 6 6,a b c+ + =
( )22 6 12,a a= − −
2a =
[15
25)
[25
35)
[35
45)
[45 55) [55 65) [65 75]
2 2×
[45,65)
- 14 -
参考数据:
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
,其中 .
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据频数分布表补全列联表,代入公式可求得 ,从而可知有 的
把握;(Ⅱ)根据分层抽样的方法可知抽取的 人中,支持微信支付 人,不支持微信支付
人,根据超几何分布的特点求得分布列和数学期望.
【详解】(Ⅰ)由频数分布表得 列联表如下:
年龄不低于 45 岁的人数 年龄低于 45 岁的人数 合计
赞成
不赞成 13
合计
有 把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关
(Ⅱ)年龄在 中支持微信支付 人,不支持微信支付 6 人
由分层抽样方法可知:抽取的 人中,支持微信支付 人,不支持微信支付 人
设 人中不支持微信支付的人数为 ,则 所有可能的取值为:
的
2
0( )P K k
0k
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
2 9.98 6.635K ≈ > 99%
5 3 2
2 2×
10 27 37
10 3
20 30 50
2
2 50 (3 10 27 10) 9.979 6.63537 30 13 20K
× × − ×∴ = ≈ >× × ×
∴ 99%
[ )45,65 9
5 3 2
3 ξ ξ 0,1,2
- 15 -
, ,
的分布列为:
【点睛】本题考查独立性检验、超几何分布的分布列和数学期望的求解,对于学生的基础计
算能力有一定的考查,属于常规题型.
19.如图,已知四边形 是边长为 的菱形, 平面 平面
,且
(1)求证:平面 平面
(2)若四边形 为直角梯形,且 ,求点 到平面 的距离.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
【分析】
(1)由菱形性质可得 ,再由面面垂直的性质可得 平面 ,由面面垂直
的判定即可得证;
( ) 3
3
3
5
10 10
CP C
ξ = = = ( ) 2 1
3 2
3
5
6 31 10 5
C CP C
ξ = = = = ( ) 1 2
3 2
3
5
32 10
C CP C
ξ = = =
ξ∴
ξ 0 1 2
P
1
10
3
5
3
10
( ) 0 0.1 1 0.6 2 0.3 1.2E ξ∴ = × + × + × =
ABCD 2 60 ,ABC∠ = AEFC ⊥ ,ABCD
//EF AC 1, 2AE AC EF= =
BED ⊥ ;AEFC
AEFC AE AC⊥ A FCD
2 21
7
BD AC⊥ BD ⊥ AEFC
- 16 -
(2)设 与 相交于点 ,连接 ,先证明 面 ,求出 后利
用 即可得解.
【详解】(1)证明:因为四边形 是菱形,所以 ,
又因为 平面 ,平面 平面 .
平面 平面
所以 平面 .
因为 平面 ,
所以平面 平面 .
(2)设 与 相交于点 ,连接 .
因为 且 ,
四边形 是平行四边形.
所以 且 .
因为 ,面 面 ,面 面 ,
面 ,所以 面 ,
因为 ,所以 面 .
因为 面 ,
所以 , .
在 中, ,
在 中,
在 中, , .
所以 边上的高为
AC BD O OF OF ⊥ ABCD 7
2CFDS =
A CDF F ACDV V− −=
ABCD BD AC⊥
BD ⊂ ABCD AEFC ⊥ ABCD
AEFC ∩ ,ABCD AC=
BD ⊥ AEFC
BD ⊂ BDE
BED ⊥ AEFC
AC BD O OF
/ /AO EF AO EF=
∴ AOFE
/ /AE OF AE OF=
AE AC⊥ AEFC ⊥ ABCD AEFC ∩ ABCD AC=
AE ⊂ ACFE AE ⊥ ABCD
/ /AE OF OF ⊥ ABCD
AC BD ⊂, ABCD
OF AC⊥ OF BD⊥
Rt OFC 2 2 2CF OF OC= + =
Rt OFD 2 2 2,DF OF OD= + =
CFD△ 2CF = 2DF DC= =
CF
2
2 2 142 2 2
− =
- 17 -
所以
设点 到面 的距离为 ,
因为 ,
即 ,
所以 ,
所以 .
【点睛】本题考查了面面垂直的性质和判定,考查了点到平面距离的求解和等体积法的应用,
属于中档题.
20.已知椭圆 的右焦点 F 到左顶点的距离为 3.
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)设 O 是坐标原点,过点 F 的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点(A,B 不在 x 轴上),若
,延长 AO 交椭圆与点 G,求四边形 AGBE 的面积 S 的最大值.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
【分析】
(1)根据椭圆方程中基本量的关系与右焦点 F 到左顶点的距离,即可求出椭圆基本量,即得
椭圆方程;
(2)首先联立方程组,利用韦达定理表示出四边形的面积,根据面积表达式的函数单调性求
出面积的最值即可.
【详解】(1)由题知 , , ,
解得 ,所以椭圆 ;
(2)因为过点 F 的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点(A,B 不在 x 轴上),
1 14 722 2 2CFDS = × × =
A CDF h
A CDF F ACDV V− −=
1 1
3 3CDF ACDh S OF S× × = × ×
7 11 2 32 2h× = × × ×
2 3 2 21
77
h = =
( )2 2
2 1 03
x yC aa
+ = >:
OE OA OB= +
2 2
14 3
x y+ = 9
2
2 3b = 3a c+ = ( )22 2 2 2 2 3a b c a b a= + ⇒ = + −
2a =
2 2
14 3
x yC + =:
- 18 -
设 ,联立 ,
设 , ,有 ,
因为 ,所以四边形 AOBE 是平行四边形,
所以 ,
有 ,
令 ,有 ,
当 时 单调递减,所以当 时面积取最大值,
最大值为 .
【点睛】本题主要考查了椭圆方程基本量的求解,椭圆中三角形的面积计算,属于一般题.
21.已知函数 .
(1)若 ,求 的单调区间;
(2)讨论 的零点个数.
【答案】(1) 在 单调递减,在 单调递增.(2)当 时, 有 个零
点;当 时, 有 个零点.
【解析】
【分析】
(1)求导后求解 、 的解集后即可得解;
(2)当 时,由(1)求得的单调性即可得解;当 时,求出函数导数后,设导函数的
零点为 ,求得 的最小值 ,再由 、 即可得解.
: 1l x ty= + ( )2 22 2
1
3 4 6 9 0
14 3
x ty
t y tyx y
= + ⇒ + + − = + =
( )1 1,A x y ( )2 2,b x y
1 2 2
1 2 2
6
3 4
9
3 4
ty y t
y y t
− + = + − = +
OE OA OB= +
1 2
33 2AGBE AOBE OGB AOBS S S S y y= + = = −
( ) 2
2
1 2 1 2 2
3 18 142 3 4AGBE
tS y y y y t
+= + − = +
2 1 1m t= + ≥ 2
18 18
13 1 3
AGBE
mS m m m
= =+ +
m 1≥
18
13m m
+ 1m =
max
18 9
3 1 2S = =+
1,a ≥ ( ) ( )2ln 1 1f x x x ax a x= − + + −
1a = ( )f x
( )f x
( )f x ( )0,1 (1, )+∞ 1a = ( )f x 1
1a > ( )f x 2
( ) 0f x′ < ( ) 0f x′ >
1a = 1a >
0x ( )f x ( )0 0f x < 1 03f >
( )3 0f >
- 19 -
【详解】(1)若 时, , 的定义域为 ,
,
当 时, ;当 时, ;
所以 在 单调递减,在 单调递增.
(2)当 时, ,
,且 在 单调递减,在 单调递增,
有 个零点;
当 时, ,
令 ,
因为 , 在 上单调递增.
又 , ,
所以存在实数 ,使得 .
在 上, , 是减函数,
在 上, , 是增函数,
所以 的最小值是 ,
其中 满足 ,
即 ,
所以
,
因为 , ,
1a = ( ) ( )2ln 1 1f x x x x x= − + + − ( )f x (0, )+∞
( ) ( )ln 2 1f x x x′ = + −
0 1x< < ( ) 0f x′ < 1x > ( ) 0f x >
( )f x ( )0,1 (1, )+∞
1a = ( ) ( )2ln 1 1f x x x x x= − + + −
( )1 0f = ( )f x ( )0,1 (1, )+∞
∴ ( )f x 1
1a > ( ) ( )1 ln 2 1 1 ln 2 3f x x a a x x ax a′ = + − + − = + + −
( ) 1 ln 2 3g x x ax a= + + −
1a > ( )g x (0, )+∞
( ) ( )1 1 1 0f g a′ = = − < 3 3 31 02 2 2f g ln ′ = = + >
0
31, 2x ∈
( )0 0g x =
( )00, x ( ) 0f x′ < ( )f x
0( )x + ∞, ( ) 0f x′ > ( )f x
( )f x ( )0f x
0x ( )0 0f x′ =
01 ln 2 3 0x ax a+ + − =
( ) ( )2
0 0 0 0 0ln 1 1f x x x ax a x= − + + − ( ) ( )2
0 0 0 03 1 2 1 1x a ax ax a x= − − − + + −
( )( )0 01 1x a ax= − + +
0
31, 2x ∈
∴ ( )0 0f x <
- 20 -
又因为 ,
所以 有 个零点.
综上所述,当 时, 有 个零点;
当 时, 有 个零点.
【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间和函数零点的个数,考查了分类讨论思想,
属于中档题.
(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所
选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致,在答题卡选答区域指定
位置上答题.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 (m 为参数),以坐标原点 O 为极
点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 的极坐标方程为
(1)求曲线 C 和直线 的直角坐标系方程;
(2)已知 直线 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求 的值.
【答案】(1)曲线 ,直线 ;(2) .
【解析】
【分析】
(1)根据曲线的参数方程,消去参数即可求出曲线方程,根据直线的极坐标方程,根据极坐
标与直角坐标转换的公式即可求出直线的直角坐标方程;
(2)由于点 , , 均在直线上,所以利用直线参数方程的几何意义,与曲线联立,求出
根,即可求出 的值.
【详解】(1)由题知 , ,
1 31 03 9 3
a lnf = + − >
( )3 3 3 1 0,f ln a= + + >
( )f x 2
1a = ( )f x 1
1a > ( )f x 2
1
1
x m m
y m m
= +
= −
l 3 sin cos 3 0.ρ θ ρ θ− − =
l
( )0,1P l
1 1
PA PB
+
2 2
14 4
x yC : − = 3: 3 0y xl − − = 11
5
P A B
1 1
PA PB
+
2x y m+ = 2x y m
− =
- 21 -
消去 有 ,
即曲线 ,
因为 ,
即直线 ;
(2)易知点 在直线 上,且直线 的倾斜角为 ,
则直线 的参数方程为 (t 为参数),
因为直线 与曲线 C 相交于 A,B 两点,
所以有 ,
解得 , ,
根据参数的几何意义有 , ,
有 , ,
.
【点睛】本题主要考查了直线的参数方程,直角坐标与极坐标的转化,直线参数方程的几何
意义,属于一般题.
23.已知
(1)当 时,求不等式 的解集;
(2)若 时, ,求 的取值范围.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
m
2 2
2 2 4 14 4
x yx y− = ⇒ − =
2 2
14 4
x yC : − =
3 sin cos 3 0
cos 3 3 0
sin
x y x
y
ρ θ ρ θ
ρ θ
ρ θ
− − =
= ⇒ − − =
=
3: 3 0y xl − − =
( )0,1P l l 6
π
l
3
2
11 2
x t
y t
=
= +
l
2 2
23 1 11 4 5 02 2 2t t t t
− + = ⇒ − − =
1 1 11t = − 2 1+ 11t =
1 = 11 1PA t= − 2 1 11PB t= = +
1 2 2 11t t+ = 1 2 10t t⋅ =
1 2
1 2
1 2
1 1 1 1 2 11 11
10 5PA PB t
t t
t tt
+ =⋅+ = + = =
( ) ( ) ( )2 2 .f x x a x x x a= − − + − −
2a = ( ) 0f x <
( ),x a∈ −∞ ( ) 0f x < a
( ),2−∞ ( ],2−∞
- 22 -
【分析】
(1)对 和 分类讨论即可求出解集范围;
(2)分别讨论 和 两种情况,结合第一问中 ,即可求出结果.
详解】(1)当 时, ,
当 时, ,
当 时, ,
故不等式 的解集为 ;
(2)因为 ,所以 ,
当 时,可知在区间 时,即 ,
有 ,
显然不恒成立,不满足题意,舍去,
当 时,可知在区间 时,即 ,
有 恒成立,满足题意,
由第一问有,当 时也满足题意,
综上, 时, 在 上恒成立.
【点睛】本题主要考查了含有绝对值的不等式,这类题要注意分类讨论,属于一般题.
【
2x < 2x ≥
2a > 2a < 0a =
2a = ( )( 2 2) 2xf xx −= −
2x < ( )2( ) 2 2 0f xx −= <−
2x ≥ ( )22( 0) 2 xf x −= ≥
( ) 0f x < ( ),2−∞
( ),x a∈ −∞ 0x a x a< ⇒ − <
2a > [ )2,x a∈ 2 0x − ≥
( )( ) ( )( )( ) 2 2 0f x a x x x x a= − − + − − =
2a < ( ),x a∈ −∞ 2 0x − <
( )( )( ) 2 2 0f x a x x= − − <
2a =
( ],2a∈ −∞ ( ) 0f x < ( ),x a∈ −∞
- 23 -
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