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  • 2021-06-16 发布

广东省广州市2020届高三下学期调研考试数学(文)试题 Word版含解析

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- 1 - 2020 届广州市高三年级调研测试 文科数学 2019.12 本试卷共 5 页,23 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟. 1.答卷前,考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上,用 2B 铅笔在 答题卡的相应位置填涂考生号、并将试卷类型(A)填图在答题卡的相应位置上. 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案涂黑;如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须卸载答题卡各题目制定区域内的 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔盒涂改液, 不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知复数 ,则复数 的虚部为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 转化条件得 ,由虚部的概念即可得解. 【详解】由题意 , 所以复数 的虚部为 . 故选:D. 【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数虚部的概念,属于基础题. 2.设集合 ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 5 3 4z i = − z 4i i 4 5 i 4 5 3 4 5 5z i= + ( ) ( )( ) 3 455 3 4 3 4 4 53 3 4 5 iz i i ii + − − = ++= = 5 3 4z i = − 4 5 { } { ( )}2 2 3 0 , ln 2A x x x B x y x= − − ≤ = = − A B∩ = [ )3 2- , ( ]2 3, [ )l 2- , ( )l 2- , - 2 - 【解析】 【分析】 本题首先可以通过解一元二次不等式计算出集合 A,然后通过对数的性质计算出集合 B,最后 计算出 ,即可得出结果. 【详解】集合 A: , , , 故集合 , 集合 B: , , 故集合 , ,故选 C. 【点睛】本题考查的是集合的相关性质,主要考查集合的运算、一元二次不等式的解法以及 对数的相关性质,考查计算能力,体现了基础性与综合性,是简单题. 3.如图所示的风车图案中,黑色部分和白色部分分别由全等的等腰直角三角形构成,在图案 内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设黑色等腰直角三角形的腰长为 ,由题意分别表示出黑色部分和白色部分的面积,由几何概 型概率的求解方法即可得解. 【详解】设黑色等腰直角三角形的腰长为 ,则一个白色等腰直角三角形的腰长为 , A B 2 2 3 0x x− − ≤ ( )( )3 1 0x x- + £ 1 3x− ≤ ≤ { }= 1 3A x x- £ £ 2 0x− > 2x < { }B= 2x x < )1 2A B éÇ = -ë , 1 4 1 3 2 3 3 4 a a 2a - 3 - 则黑色部分的面积为 ,白色部分的面积为 , 故所求概率为 . 故选:B. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求解,属于基础题. 4.命题“ ”的否定是( ) A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用全称命题的否定是特称命题,即可直接得解. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题, 所以命题“ , ”的否定为“ , ”. 故选:D. 【点睛】本题考查了全称命题的否定,属于基础题. 5.设 , 是单位向量,且 , 的夹角为 60°,则 的模为( ) A. B. 13 C. 4 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】 利用模的运算,结合数量积的运算,求得 的模. 【 详 解 】 的 模 为 . 故选:A . 2 21 4 22 a a× = ( )2 21 2 4 42 a a⋅ × = 2 2 2 2 1 4 2 3 ap a a = =+ 10, 1x lnx x ∀ > ≥ − 10 1x lnx x ∃ ≤ ≥ −, 10 1x lnx x ∃ ≤ < −, 10 1x lnx x ∃ > ≥ −, 10 1x lnx x ∃ > < −, 0x∀ > 11lnx x ≥ − 0x∃ > 11lnx x < − a b a b 3c a b= +   13 c 3c a b= +   ( )2 2 2 3 3 9 6a b a b a a b b+ = + = + ⋅ +        9 6 cos60 1 13= + ⋅ + = - 4 - 【点睛】本小题主要考查复数的模和数量积运算,属于基础题. 6.已知实数 满足 ,则 的最小值为( ) A. -7 B. -6 C. 1 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】 作出约束条件的可行域,根据目标函数表示的几何意义即可求解. 【详解】画出约束条件的可行域,如图(阴影部分)所示: 由图可知向上平移直线 , 到边界 的位置时, 取得最小值,此时 故选:A 【点睛】本题主要考查了线性规划问题,考查的核心素养是直观想象,属于基础题 7.已知点 在幂函数 的图象上,设 ,则 的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ,x y 2 2 0 3 3 0 2 4 0 x y x y x y + − ≥  − − ≤  − + ≥ 3z x y= − 3 0x y− = ( )2,3B z 2 3 3 7z = − × = − ( ),8m ( ) ( )1 nf x m x= − ( )3 2, lnπ ,3 2a f b f c f    = = =          , ,a b c a c b< < a b c< < b c a< < b a c< < - 5 - 【分析】 由幂函数特点可求出 值,带入点可求 值,进而求得 解析式,利用 的单调性即 可比较大小. 【详解】∵点 在幂函数 的图象上,∴ ,解得 , ∴ ,且 在 上单调递增,又 ,∴ ,故选 A. 【点睛】本题考查幂函数性质和利用单调性比较大小. 8.已知 F 为双曲线 的右焦点,过 F 做 C 的渐近线的垂线 FD,垂足为 D,且满足 (O 为坐标原点),则双曲线的离心率为( ) A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 分析】 根据题中条件求出双曲线基本量的比例关系,然后即可求出离心率的值. 【详解】由题知 ,又因为焦点到双曲线渐近线的距离为 , 所以 , 整理得 . 故选:A. 【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求解,属于基础题. 9.函数 图象大致为( ) 【 的 m n ( )f x ( )f x ( ),8m ( ) ( )1 nf x m x= − ( ) 1 1 1 8n m m m − =  − = 2 3 m n =  = ( ) 3f x x= ( )f x ( ),−∞ +∞ 3 2 1 lnπ3 2 < < < a c b< < 2 2 2 2 1x y a b − = 1 2FD OF= 2 3 3 10 3 1 2FD OF= b FD= ( )2 2 2 2 21 1 2 4 42 2FD OF b c b c b c c a c= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ − = 2 2 2 2 2 4 2 33 4 3 3 cc a e ea = ⇒ = = ⇒ = ( ) 2ln x x x xf x e e− − = + - 6 - A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由 时, 可排除选项 A、B,利用函数奇偶性可排除 C,即可得解. 【详解】当 时, , , ,所以 , 故可排除选项 A、B; 由 可得函数 为偶函数,可排除 C. 故选:D. 【点睛】本题考查了函数图象的识别,关键是对比函数的性质和图象的特征,属于基础题. 10.已知函数 将函数 的图象向左平移 个单位长度, 得到的函数的图象关于 轴对称,则下列说法错误的是( ) A. 在 上单调递减 B. 在 上单调递增 ( )2,2x∈ ( ) 0f x < ( )2,2x∈ ( )2 0,1x x − ∈ 2ln 0x x − < 0x xe e−+ > ( ) 0f x < ( ) ( ) 2 2ln ln x x x x x xx xf x f xe e e e− − − + − − = = =+ + ( )f x ( ) ( )2 0 2f x sin x πϕ ϕ = + < <   ( )f x 6 π y ( )f x 2 ,3 2 π π − −   ( )f x 0, 3 π     - 7 - C. 的图象关于 对称 D. 的图象关于 对称 【答案】B 【解析】 【分析】 设平移后的函数为 ,令 可得 ,利用三角函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】设平移后的函数为 , 由题意 ,则 , 又 , , , 当 时, ,故 A 正确; 当 时, ,故 在 上不单调,故 B 错误; 当 时, ,故 C 正确; 当 时, ,故 D 正确. 故选:B. 【点睛】本题考查了三角函数图象的平移和三角函数图象的综合应用,属于中档题. 11.已知三棱锥 中, 面 面 则此三棱锥的外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ( )f x 5 ,012 π     ( )f x 3x π= − ( ) 2 03 2g x sin x π πϕ ϕ    =  + + < <   ( ) 3 2 k k Z π πϕ π+ = + ∈ 6 π=ϕ ( ) 2 03 2g x sin x π πϕ ϕ    =  + + < <   ( ) 3 2 k k Z π πϕ π+ = + ∈ ( ) 6 k k Z πϕ π= + ∈ 0 2 πϕ< < ∴ 6 π=ϕ ∴ ( ) 2 6f x sin x π = +   2 ,3 2x π π ∈ − −   7 5 3 12 , ,6 6 6 2 2x π π π π π   + ∈ − − ⊆ − −       0, 3x π ∈   52 ,6 6 6x π π π + ∈   ( )f x 0, 3 π     5 12x π= ( ) 5 s 06 in6f x sin π π π  = =  + = 3x π= − ( ) 2 3 sin 126f x sin π π π   = − = −       = − + P ABC− 1 7 2 2 5PA PB AB CA CB= = = = =, , , , PAB ⊥ ABC, 20 9 π 25 12 π 25 3 π 5 3 π - 8 - 【分析】 取 的中点 ,连接 , ,由题意得球心一定在直线 上,设球心为 O,半径为 R ,连接 ,在 中由勾股定理可得 ,解方程求得球的半径 后即可得解. 【详解】如图, , , , , , , 为等腰三角形. 取 的中点 ,连接 , , , , , 又 面 面 ,面 面 , 面 , 面 , 又 为直角三角形, 外接圆圆心为 D, 球心一定在直线 上,设球心为 O,半径为 R,连接 , 则 , 即 解得 , 则此三棱锥的外接球的表面积为 . 故选:C. 【点睛】本题考查了三棱锥的结构特征和三棱锥外接球的表面积的求解,考查了空间思维能 力,属于中档题. 12.已知各项均为正数的数列 的前 项和为 满足 , AB D CD PD CD PO Rt OPD ( ) ( )2 2 23 2R R− + =  1PA = 7PB = 2 2AB = ∴ 2 2 2PA PB AB+ = 2APB π∠ =  5CA CB= = ∴ ABC AB D CD PD ∴ CD AB⊥ 2AD BD= = ∴ 2 2 3CD BC BD= − = PAB ⊥ ABC PAB ∩ ABC AB= CD ⊂ ABC ∴ CD ⊥ PAB PAB△ ∴ PAB△ ∴ CD PO 3OD R= − ∴ 2 2 2OD DP OP+ = ( ) ( )2 2 23 2R R− + = 5 3 6R = 2 2 5 3 254 4 6 3S R ππ π  = = ⋅ =    { }na n ,nS ( )2 2 1 2 0n n n nS S− − − = - 9 - ,若 表示不超过 的最大正数,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 转 化 条 件 得 , 进 而 可 得 , , 利 用 裂 项 相 消 法 可 得 ,根据新定义即可得解. 【详解】 , , 为正项数列, , , , , , , 由 表示不超过 的最大正数可知 . 故选:B. 【点睛】本题考查了新定义在数列问题中的应用,考查了 与 关系的应用和裂项相消法求 数列前 n 项和的应用,属于中档题. 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知抛物线 的焦点与椭圆 的一个焦点重合,则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】 2 1n nb log a += [ ]x x 1 2 2 3 2020 2021 2020 2020 2020+ + =b b b b b b  + ⋅⋅⋅   2018 2019 2020 2021 2n nS = 1 2n na + = nb n= 1 2 2 3 2020 2021 2020 2020 2020+ + =b b b b b b  + ⋅⋅⋅   12020 1 2021   −      ( )2 2 1 2 0n n n nS S− − − = ∴ ( )( )2 1 0n n nS S− + =  { }na ∴ 1 0nS + > 2n nS = ∴ 1 1 2n nS + + = ∴ 1 1 1 2 2 2n n n n n na S S + + += − = − = ∴ 2 1n nb log a n+= = ∴ 1 2 2 3 2020 2021 2020 2020 2020 2020 2020 2020+ + = + +1 2 2 3 2020 2021b b b b b b    + ⋅⋅⋅ + ⋅⋅⋅   × × ×   1 1 1 1 1 12020 1 2020 12 2 3 2020 2021 2021       = − + − +⋅⋅⋅+ − = −             [ ]x x 12020 1 20192021   − =     na nS ( )2 2 0x py p= > 2 2 13 12 x y+ = p = 6 - 10 - 由题意抛物线焦点为 ,椭圆焦点为 ,即可得解. 【详解】由题意抛物线 的焦点为 , 椭圆的焦点为 即 , 所以 即 . 故答案为: . 【点睛】本题考查了抛物线和椭圆的焦点问题,属于基础题. 14.设数列 为等比数列,若 成等差数列,则等比数列 的公比为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意结合等差中项的性质、等比数列的通项公式可得 ,化简后即可得 解. 【详解】设公比为 q,由题意可得 , ,化简得 ,解得 . 故答案为: . 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的综合应用,属于基础题. 15.奇函数 (其中 为底数)在 处的切线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】 由奇函数的性质可得 ,求出 , ,利用点斜式即可求解. 【详解】 函数 为奇函数, 0, 2 p     ( )0, 3± ( )2 2 0x py p= > 0, 2 p     ( )0, 12 3± − ( )0, 3± 32 p = 6p = 6 { }na 2 3 42 4 8a a a, , { }na 1 2 3 2 1 1 12 8 8a q a q a q+ = 2 4 32 8 4 2a a a+ = × ∴ 3 2 1 1 12 8 8a q a q a q+ = 24 4 1 0q q− + = 1 2q = 1 2 ( ) x x af x x e e = +     e 0x = 2 0x y− = 1a = ( )0 2f ′ = ( )0 0f =  ( ) x x af x x e e = +     - 11 - 即 ,解得 , , , , , 切线方程为 即 . 故答案为: . 【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用,考查了导数几何意义的应用,属于中档题. 16.已知正方体 的棱长为 为 的中点,若 平面 ,且 平面 ,则平面 截正方体所得截面的周长为_________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据线面垂直的条件先确定平面 ,再根据截面形状求周长即可得解. 【详解】在正方体 中, , , 面 , , 取 的中点 , 的中点 ,连接 , , , 易知 , 由 面 可得 , 面 , , 面 ,取 的中点 ,由 可知点 在面 上, 平面 截正方体所得截面为 , 由正方体棱长为 2 易得截面周长为 . 故答案为: . ∴ ( ) ( )1 1f f− = − 1 1 a ae ee e − −    − = −      +  + 1a = ∴ ( ) 1x xf x x e e = +     ∴ ( ) 1 1x x x xf x e x ee e  ′ = + + −   ∴ ( )0 2f ′ = ( )0 0f = ∴ 2y x= 2 0x y− = 2 0x y− = 1 1 1 1ABCD A B C D− 2 M, 1CC AM ⊥ α B∈ α α 3 2 2 5+ α 1 1 1 1ABCD A B C D− BD AC⊥ BD CM⊥ ∴ BD ⊥ ACM ∴ BD AM⊥ 1BB N 1 1A B E MN AN BE BE AN⊥ MN ⊥ 1 1ABB A MN BE⊥ ∴ BE⊥ AMN ∴ BE AM⊥ ∴ AM ⊥ BDE 1 1A D F / /EF BD F BDE ∴ α BDFE 2 2 5 2 5 3 2 2 5+ + + = + 3 2 2 5+ - 12 - 【点睛】本题考查了线面垂直的判定和截面的性质,考查了空间思维能力,属于中档题. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.在 中,角 的对边分别是 ,已知 . (1)求角 的值; (2)若 的面积为 ,周长为 ,求 的值. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 (1)由正弦定理得 ,进而可得 ,即可 得解; (2)由面积可得 ,由余弦定理得 ,再结合周长即可得解. 【详解】(1)因为 , 由正弦定理得 . 因为 ,所以 , 所以 ,即 , ABC A B C, , a b c, , 03csin A asinC π  −   + = A ABC 3 6 a 3A π= 2a = 1 3 02 2sinC sinA cosA sinAsinC      −  + = tan 3A = 4bc = ( )22 12a b c= + − 03csin A asinC π  −   + = 1 3 02 2sinC sinA cosA sinAsinC      −  + = ( )0,C π∈ 0sinC > 3 1 sin 02 2cosA A− = tan 3A = - 13 - 因为 ,所以 . (2)因为 的面积为 ,所以 ,得 , 由余弦定理得 , 因为 的周长为 ,即 所以 所以 . 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用,属于中档题. 18.随着手机的发展,“微信”逐渐成为人们支付购物的一种形式.某机构对“使用微信支付” 的态度进行调查,随机抽取了 50 人,他们年龄的频数分布及对“使用微信支付”赞成人数如 下表. 年龄 (单位: 岁) , , , , , , 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 5 10 12 7 2 1 (Ⅰ)若以“年龄 45 岁为分界点”,由以上统计数据完成下面 列联表,并判断是否有 99% 的把握认为“使用微信支付”的态度与人的年龄有关; 年龄不低于 45 岁的人数 年龄低于 45 岁的人数 合计 赞成 不赞成 合计 (Ⅱ)若从年龄在 的被调查人中按照赞成与不赞成分层抽样,抽取 5 人进行追踪调查 ,在 5 人中抽取 3 人做专访,求 3 人中不赞成使用微信支付的人数的分布列和期望值. ( )0,A π∈ 3A π= ABC 3 1 32 bcsinA = 4bc = ( ) ( )2 22 2 2 2 22 3 12a b c bccosA b c bc b c bc b c= + − = + − = + − = + − ABC 6 6,a b c+ + = ( )22 6 12,a a= − − 2a = [15 25) [25 35) [35 45) [45 55) [55 65) [65 75] 2 2× [45,65) - 14 - 参考数据: 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ,其中 . 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析. 【解析】 【分析】 (Ⅰ)根据频数分布表补全列联表,代入公式可求得 ,从而可知有 的 把握;(Ⅱ)根据分层抽样的方法可知抽取的 人中,支持微信支付 人,不支持微信支付 人,根据超几何分布的特点求得分布列和数学期望. 【详解】(Ⅰ)由频数分布表得 列联表如下: 年龄不低于 45 岁的人数 年龄低于 45 岁的人数 合计 赞成 不赞成 13 合计 有 把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关 (Ⅱ)年龄在 中支持微信支付 人,不支持微信支付 6 人 由分层抽样方法可知:抽取的 人中,支持微信支付 人,不支持微信支付 人 设 人中不支持微信支付的人数为 ,则 所有可能的取值为: 的 2 0( )P K k 0k 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + 2 9.98 6.635K ≈ > 99% 5 3 2 2 2× 10 27 37 10 3 20 30 50 2 2 50 (3 10 27 10) 9.979 6.63537 30 13 20K × × − ×∴ = ≈ >× × × ∴ 99% [ )45,65 9 5 3 2 3 ξ ξ 0,1,2 - 15 - , , 的分布列为: 【点睛】本题考查独立性检验、超几何分布的分布列和数学期望的求解,对于学生的基础计 算能力有一定的考查,属于常规题型. 19.如图,已知四边形 是边长为 的菱形, 平面 平面 ,且 (1)求证:平面 平面 (2)若四边形 为直角梯形,且 ,求点 到平面 的距离. 【答案】(1)见解析(2) 【解析】 【分析】 (1)由菱形性质可得 ,再由面面垂直的性质可得 平面 ,由面面垂直 的判定即可得证; ( ) 3 3 3 5 10 10 CP C ξ = = = ( ) 2 1 3 2 3 5 6 31 10 5 C CP C ξ = = = = ( ) 1 2 3 2 3 5 32 10 C CP C ξ = = = ξ∴ ξ 0 1 2 P 1 10 3 5 3 10 ( ) 0 0.1 1 0.6 2 0.3 1.2E ξ∴ = × + × + × = ABCD 2 60 ,ABC∠ =  AEFC ⊥ ,ABCD //EF AC 1, 2AE AC EF= = BED ⊥ ;AEFC AEFC AE AC⊥ A FCD 2 21 7 BD AC⊥ BD ⊥ AEFC - 16 - (2)设 与 相交于点 ,连接 ,先证明 面 ,求出 后利 用 即可得解. 【详解】(1)证明:因为四边形 是菱形,所以 , 又因为 平面 ,平面 平面 . 平面 平面 所以 平面 . 因为 平面 , 所以平面 平面 . (2)设 与 相交于点 ,连接 . 因为 且 , 四边形 是平行四边形. 所以 且 . 因为 ,面 面 ,面 面 , 面 ,所以 面 , 因为 ,所以 面 . 因为 面 , 所以 , . 在 中, , 在 中, 在 中, , . 所以 边上的高为 AC BD O OF OF ⊥ ABCD 7 2CFDS =  A CDF F ACDV V− −= ABCD BD AC⊥ BD ⊂ ABCD AEFC ⊥ ABCD AEFC ∩ ,ABCD AC= BD ⊥ AEFC BD ⊂ BDE BED ⊥ AEFC AC BD O OF / /AO EF AO EF= ∴ AOFE / /AE OF AE OF= AE AC⊥ AEFC ⊥ ABCD AEFC ∩ ABCD AC= AE ⊂ ACFE AE ⊥ ABCD / /AE OF OF ⊥ ABCD AC BD ⊂, ABCD OF AC⊥ OF BD⊥ Rt OFC 2 2 2CF OF OC= + = Rt OFD 2 2 2,DF OF OD= + = CFD△ 2CF = 2DF DC= = CF 2 2 2 142 2 2  − =    - 17 - 所以 设点 到面 的距离为 , 因为 , 即 , 所以 , 所以 . 【点睛】本题考查了面面垂直的性质和判定,考查了点到平面距离的求解和等体积法的应用, 属于中档题. 20.已知椭圆 的右焦点 F 到左顶点的距离为 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 O 是坐标原点,过点 F 的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点(A,B 不在 x 轴上),若 ,延长 AO 交椭圆与点 G,求四边形 AGBE 的面积 S 的最大值. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】 【分析】 (1)根据椭圆方程中基本量的关系与右焦点 F 到左顶点的距离,即可求出椭圆基本量,即得 椭圆方程; (2)首先联立方程组,利用韦达定理表示出四边形的面积,根据面积表达式的函数单调性求 出面积的最值即可. 【详解】(1)由题知 , , , 解得 ,所以椭圆 ; (2)因为过点 F 的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点(A,B 不在 x 轴上), 1 14 722 2 2CFDS = × × =  A CDF h A CDF F ACDV V− −= 1 1 3 3CDF ACDh S OF S× × = × ×   7 11 2 32 2h× = × × × 2 3 2 21 77 h = = ( )2 2 2 1 03 x yC aa + = >: OE OA OB= +   2 2 14 3 x y+ = 9 2 2 3b = 3a c+ = ( )22 2 2 2 2 3a b c a b a= + ⇒ = + − 2a = 2 2 14 3 x yC + =: - 18 - 设 ,联立 , 设 , ,有 , 因为 ,所以四边形 AOBE 是平行四边形, 所以 , 有 , 令 ,有 , 当 时 单调递减,所以当 时面积取最大值, 最大值为 . 【点睛】本题主要考查了椭圆方程基本量的求解,椭圆中三角形的面积计算,属于一般题. 21.已知函数 . (1)若 ,求 的单调区间; (2)讨论 的零点个数. 【答案】(1) 在 单调递减,在 单调递增.(2)当 时, 有 个零 点;当 时, 有 个零点. 【解析】 【分析】 (1)求导后求解 、 的解集后即可得解; (2)当 时,由(1)求得的单调性即可得解;当 时,求出函数导数后,设导函数的 零点为 ,求得 的最小值 ,再由 、 即可得解. : 1l x ty= + ( )2 22 2 1 3 4 6 9 0 14 3 x ty t y tyx y = + ⇒ + + − = + = ( )1 1,A x y ( )2 2,b x y 1 2 2 1 2 2 6 3 4 9 3 4 ty y t y y t − + = + − = + OE OA OB= +   1 2 33 2AGBE AOBE OGB AOBS S S S y y= + = = −   ( ) 2 2 1 2 1 2 2 3 18 142 3 4AGBE tS y y y y t += + − = + 2 1 1m t= + ≥ 2 18 18 13 1 3 AGBE mS m m m = =+ + m 1≥ 18 13m m + 1m = max 18 9 3 1 2S = =+ 1,a ≥ ( ) ( )2ln 1 1f x x x ax a x= − + + − 1a = ( )f x ( )f x ( )f x ( )0,1 (1, )+∞ 1a = ( )f x 1 1a > ( )f x 2 ( ) 0f x′ < ( ) 0f x′ > 1a = 1a > 0x ( )f x ( )0 0f x < 1 03f   >   ( )3 0f > - 19 - 【详解】(1)若 时, , 的定义域为 , , 当 时, ;当 时, ; 所以 在 单调递减,在 单调递增. (2)当 时, , ,且 在 单调递减,在 单调递增, 有 个零点; 当 时, , 令 , 因为 , 在 上单调递增. 又 , , 所以存在实数 ,使得 . 在 上, , 是减函数, 在 上, , 是增函数, 所以 的最小值是 , 其中 满足 , 即 , 所以 , 因为 , , 1a = ( ) ( )2ln 1 1f x x x x x= − + + − ( )f x (0, )+∞ ( ) ( )ln 2 1f x x x′ = + − 0 1x< < ( ) 0f x′ < 1x > ( ) 0f x > ( )f x ( )0,1 (1, )+∞ 1a = ( ) ( )2ln 1 1f x x x x x= − + + −  ( )1 0f = ( )f x ( )0,1 (1, )+∞ ∴ ( )f x 1 1a > ( ) ( )1 ln 2 1 1 ln 2 3f x x a a x x ax a′ = + − + − = + + − ( ) 1 ln 2 3g x x ax a= + + − 1a > ( )g x (0, )+∞ ( ) ( )1 1 1 0f g a′ = = − < 3 3 31 02 2 2f g ln   ′ = = + >       0 31, 2x  ∈   ( )0 0g x = ( )00, x ( ) 0f x′ < ( )f x 0( )x + ∞, ( ) 0f x′ > ( )f x ( )f x ( )0f x 0x ( )0 0f x′ = 01 ln 2 3 0x ax a+ + − = ( ) ( )2 0 0 0 0 0ln 1 1f x x x ax a x= − + + − ( ) ( )2 0 0 0 03 1 2 1 1x a ax ax a x= − − − + + − ( )( )0 01 1x a ax= − + + 0 31, 2x  ∈   ∴ ( )0 0f x < - 20 - 又因为 , 所以 有 个零点. 综上所述,当 时, 有 个零点; 当 时, 有 个零点. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间和函数零点的个数,考查了分类讨论思想, 属于中档题. (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所 选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致,在答题卡选答区域指定 位置上答题.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 (m 为参数),以坐标原点 O 为极 点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 的极坐标方程为 (1)求曲线 C 和直线 的直角坐标系方程; (2)已知 直线 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求 的值. 【答案】(1)曲线 ,直线 ;(2) . 【解析】 【分析】 (1)根据曲线的参数方程,消去参数即可求出曲线方程,根据直线的极坐标方程,根据极坐 标与直角坐标转换的公式即可求出直线的直角坐标方程; (2)由于点 , , 均在直线上,所以利用直线参数方程的几何意义,与曲线联立,求出 根,即可求出 的值. 【详解】(1)由题知 , , 1 31 03 9 3 a lnf   = + − >   ( )3 3 3 1 0,f ln a= + + > ( )f x 2 1a = ( )f x 1 1a > ( )f x 2 1 1 x m m y m m  = +  = − l 3 sin cos 3 0.ρ θ ρ θ− − = l ( )0,1P l 1 1 PA PB + 2 2 14 4 x yC : − = 3: 3 0y xl − − = 11 5 P A B 1 1 PA PB + 2x y m+ = 2x y m − = - 21 - 消去 有 , 即曲线 , 因为 , 即直线 ; (2)易知点 在直线 上,且直线 的倾斜角为 , 则直线 的参数方程为 (t 为参数), 因为直线 与曲线 C 相交于 A,B 两点, 所以有 , 解得 , , 根据参数的几何意义有 , , 有 , , . 【点睛】本题主要考查了直线的参数方程,直角坐标与极坐标的转化,直线参数方程的几何 意义,属于一般题. 23.已知 (1)当 时,求不等式 的解集; (2)若 时, ,求 的取值范围. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】 m 2 2 2 2 4 14 4 x yx y− = ⇒ − = 2 2 14 4 x yC : − = 3 sin cos 3 0 cos 3 3 0 sin x y x y ρ θ ρ θ ρ θ ρ θ  − − =  = ⇒ − − =  = 3: 3 0y xl − − = ( )0,1P l l 6 π l 3 2 11 2 x t y t  =  = + l 2 2 23 1 11 4 5 02 2 2t t t t    − + = ⇒ − − =        1 1 11t = − 2 1+ 11t = 1 = 11 1PA t= − 2 1 11PB t= = + 1 2 2 11t t+ = 1 2 10t t⋅ = 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 11 11 10 5PA PB t t t t tt + =⋅+ = + = = ( ) ( ) ( )2 2 .f x x a x x x a= − − + − − 2a = ( ) 0f x < ( ),x a∈ −∞ ( ) 0f x < a ( ),2−∞ ( ],2−∞ - 22 - 【分析】 (1)对 和 分类讨论即可求出解集范围; (2)分别讨论 和 两种情况,结合第一问中 ,即可求出结果. 详解】(1)当 时, , 当 时, , 当 时, , 故不等式 的解集为 ; (2)因为 ,所以 , 当 时,可知在区间 时,即 , 有 , 显然不恒成立,不满足题意,舍去, 当 时,可知在区间 时,即 , 有 恒成立,满足题意, 由第一问有,当 时也满足题意, 综上, 时, 在 上恒成立. 【点睛】本题主要考查了含有绝对值的不等式,这类题要注意分类讨论,属于一般题. 【 2x < 2x ≥ 2a > 2a < 0a = 2a = ( )( 2 2) 2xf xx −= − 2x < ( )2( ) 2 2 0f xx −= <− 2x ≥ ( )22( 0) 2 xf x −= ≥ ( ) 0f x < ( ),2−∞ ( ),x a∈ −∞ 0x a x a< ⇒ − < 2a > [ )2,x a∈ 2 0x − ≥ ( )( ) ( )( )( ) 2 2 0f x a x x x x a= − − + − − = 2a < ( ),x a∈ −∞ 2 0x − < ( )( )( ) 2 2 0f x a x x= − − < 2a = ( ],2a∈ −∞ ( ) 0f x < ( ),x a∈ −∞ - 23 -