高中数学第一章空间向量与立体几何1-2-3直线与平面的夹角课件新人教B版选择性必修第一册 1 32页

1 . 2 . 3 　 直线与平面的夹角 核心 素养 1 . 掌握直线在平面内的射影及斜线与平面所成角的概念 . ( 数学抽象 ) 2 . 理解最小角定理及公式 cos θ = cos θ 1 cos θ 2 , 并能利用这一公式解决相关问题 . ( 逻辑推理、数学运算 ) 3 . 会利用空间向量求直线与平面所成的角问题 . ( 数学运算 ) 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 迈克尔 · 杰克逊出生于印第安纳州加里市 , 被称为 “ 流行音乐之王 ” . 迈克尔 · 杰克逊除了他擅长的歌曲 , 还有他那漂亮的太空步 , 尤其像谜一样存在的招牌动作 45 度倾斜舞步 , 据说迈克尔杰克逊早在 1993 年就申请了专利 , 专利名称 “ 摆脱地心引力的幻想 ” . 同学们 ,45 度到底指的是哪个角呢 ? 激趣诱思 知识点拨 1 . 直线与平面所成的 角 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1) 直线与平面所成的角就是该直线与平面内的直线所成的角 . ( 　　 ) 答案 : (1)× 　 (2)× 微思考 直线与平面的夹角的取值范围是什么 ? 斜线与平面的夹角的取值范围是什么 ? 激趣诱思 知识点拨 2 . 最小角定理 (1) 线线角、线面角的关系式 如图 , 设 OA 是平面 α 的一条斜线段 , O 为斜足 , B 为 A 在平面 α 内的射影 , OM 是平面 α 内的一条射线 . θ 是 OA 与 OM 所成的角 , θ 1 是 OA 与 OB 所成的角 , θ 2 是 OB 与 OM 所成的角 . 则有 cos θ = cos θ 1 cos θ 2 . (2) 最小角定理 平面的斜线与平面所成的角 , 是斜线和这个平面内 所有直线所成角 中最小的角 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知平面 α 内的角 ∠ APB= 60 ° , 射线 PC 与 PA , PB 所成角均为 135 ° , 则 PC 与平面 α 所成角的余弦值是 ( 　　 ) 答案 : B 微思考 将公式 cos θ = cos θ 1 cos θ 2 中角的余弦值换成正弦值是否成立 ? 提示 : 不成立 . 只有在特定的条件下能相等 . 也只能是数值上的相等 , 不具有等式的一般性结论 . 激趣诱思 知识点拨 3 . 用空间向量求直线与平面的夹角 如果 v 是直线 l 的一个方向向量 , n 是平面 α 的一个法向量 , 设直线 l 与平面 α 所成角的大小为 θ , 则有 微判断 直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面法向量夹角的余角 . ( 　　 ) 答案 : × 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 用定义法求直线与平面所成的角 例 1 在正四面体 ABCD 中 , E 为棱 AD 的中点 , 连接 CE , 求 CE 和平面 BCD 所成角的正弦值 . 分析 在求解斜线和平面所成的角时 , 确定斜线在平面内的射影的位置是一个既基本又重要的问题 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : 如图 , 过 A , E 分别作 AO ⊥ 平面 BCD , EG ⊥ 平面 BCD , O , G 为垂足 . 则 AO ∥ GE , AO= 2 GE. 连接 GC , 则 ∠ ECG 为 EC 和平面 BCD 所成的角 . 因为 AB=AC=AD , 所以 OB=OC=OD. 因为 △ BCD 是正三角形 , 所以 O 为 △ BCD 的中心 . 连接 DO 并延长交 BC 于 F , 则 F 为 BC 的中点 . 令正四面体 ABCD 的棱长为 1 , 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 利用定义法求直线与平面所成的角 , 首先要作出斜线和这条斜线在平面内的射影所成的锐角 , 然后通过解三角形求出直线与平面所成的角的大小 . 其基本步骤可归纳为 “ 一作 , 二证 , 三计算 ” . 2 . 找射影的两种方法 :(1) 斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上 ;(2) 利用已知垂直关系得出线面垂直 , 确定射影 . 3 . 本例中找出点 E 在平面 BCD 中的射影是解决问题的核心 , 对于几何体中缺少棱长等数据信息 , 可根据几何体的特征进行假设 , 这样处理不影响角度问题 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 向量法求直线与 平面 所成的角 例 2 如图所示 , 在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , AD ∥ BC , ∠ BAD= 90 ° , AB = , BC= 1, AD=AA 1 = 3 . (1) 证明 : AC ⊥ B 1 D ; (2) 求直线 B 1 C 1 与平面 ACD 1 所成角的正弦值 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 通过此类例题不仅要熟悉求直线与平面夹角的一般流程 , 更重要的是注意对所给几何体的结构分析、合理建系是问题的关键 , 如果求夹角还要结合线面角的范围 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 如图所示 , 三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中 , CA=CB , AB=AA 1 , ∠ BAA 1 = 60 ° . (1) 证明 : AB ⊥ A 1 C ; (2) 若平面 ABC ⊥ 平面 AA 1 B 1 B , AB=CB , 求直线 A 1 C 与平面 BB 1 C 1 C 所成角的正弦值 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (1) 证明 : 取 AB 的中点 O , 连接 OC , OA 1 , A 1 B. 因为 CA=CB , 所以 OC ⊥ AB. 由于 AB=AA 1 , ∠ BAA 1 = 60 ° , 故 △ AA 1 B 为等边三角形 , 所以 OA 1 ⊥ AB. 因为 OC ∩ OA 1 =O , 所以 AB ⊥ 平面 OA 1 C. 又 A 1 C ⊂ 平面 OA 1 C , 故 AB ⊥ A 1 C. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2) 解 : 由 (1) 知 OC ⊥ AB , OA 1 ⊥ AB. 又平面 ABC ⊥ 平面 AA 1 B 1 B , 交线为 AB , 所以 OC ⊥ 平面 AA 1 B 1 B , 故 OA , OA 1 , OC 两两垂直 , 以 O 为坐标原点 , 建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 最小角定理的应用 例 3 正 四面体 ABCD , CD 在平面 α 内 , 点 E 是线段 AC 的中点 , 在该四面体绕 CD 旋转的过程中 , 直线 BE 与平面 α 所成的角 θ 不可能是 ( 　　 ) 答案 : D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 最小角定理是立体几何的重要定理之一 , 指与平面斜交的直线与它在该平面内的射影的夹角不大于直线与平面内其他直线的夹角 . 图形语言表示如下 : 线线角 ≥ 线面角 2 . 本例中先明确直线 BE 与 CD 所成角的余弦值是突破口 , 再利用线线角 ≥ 线面角这一结论 , 即可做出判断 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 PA 、 PB 、 PC 是由 P 点出发的三条射线 , 两两夹角均为 60 ° , 则直线 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值是 ( 　　 ) 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 直线与平面所成角中的探索类问题 案例 如图 , 已知三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 的侧棱与底面垂直 , AA 1 =AB=AC= 1, AB ⊥ AC , M 、 N 分别是 CC 1 、 BC 的中点 , 点 P 在 (1) 证明 : PN ⊥ AM ; (2) 当 λ 取何值时 , 直线 PN 与平面 ABC 所成的角 θ 最大 ? 并求该最大角的正切值 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 归纳提升 (1) 此类问题属于逆向思维问题 , 解决思路也是建立合适的空间直角坐标系 , 将相关点坐标明确或设出 , 然后根据空间角的计算公式表达出含参数的方程或函数 . (2) 解决此类问题还要注意题目中各动点的限制范围 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 已知向量 m , n 分别是直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量 , 若 cos =- , 则 l 与 α 所成的角为 ( 　　 ) A.30 ° B . 60 ° C . 120 ° D . 150 ° 解析 : 设 l 与 α 所成的角为 θ 且 θ ∈ [0,90 ° ], 则 sin θ =| cos |= . ∴ θ = 30 ° . 答案 : A 2 .AB ⊥ 平面 α 于点 B , BC 为 AC 在 α 内的射影 , CD 在 α 内 , 若 ∠ ACD= 60 ° , ∠ BCD= 45 ° , 则 AC 和平面 α 所成的角为 ( 　　 ) A.90 ° B.60 ° C.45 ° D.30 ° 解析 : 设 AC 和平面 α 所成的角为 θ , 则 cos 60 ° = cos θ cos 45 ° , 故 cos θ = , 所以 θ = 45 ° . 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3 . 在三棱锥 P-ABC 中 , AB ⊥ BC , AB=BC= PA , 点 O , D 分别是 AC , PC 的中点 , OP ⊥ 底面 ABC , 则直线 OD 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ( 　　 ) 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解析 : 以 O 为原点 , 射线 OA , OB , OP 为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系 , 如图 , 答案 : D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4 . 等腰直角 △ ABC 的斜边 AB 在平面 α 内 , 若 AC 与 α 成 30 ° 角 , 则斜边上的中线 CM 与平面 α 所成的角为 　　　　　 .   答案 : 45 ° 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5 . 如图所示 , ABCD 是直角梯形 , ∠ ABC= 90 ° , SA ⊥ 平面 ABCD , SA=AB=BC= 1, AD = , 求 CS 与平面 ABCD 所成的角的正弦值 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测