高考数学模拟试卷 2 (13) 9页

- 1 - 荆州中学 2018 届高三 4 月考 数学（理）试题(29) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上. 1. 设全集U 是实数集 R , )4,1(N , 函数 )4ln( 2  xy 的定义域为 M ,则 )( MCN U = （ ） A. { | 2 1}x x   B. { | 2 2}x x   C. { | 2}x x  D. { |1 2}x x  2. 复数 1 2 41 iz ii    ，则复数 z 的虚部是（ ） A．5i B．3i C．5 D．3 3．已知 x R ，则“ 2 6x x  ”是“ 6x x  ”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 角 的终边与单位圆交于点 5 2 5( , )5 5  ,则 cos2  （ ） A． 5 3 B． 5 1 C. 5 3 D． 5 1 5. 函 数 )1,0(23   aaay x 的 图 像 恒 过 定 点 A ， 若 定 点 A 在 直 线 1 n y m x )0,0(  nm 上，则 nm 3 的最小值为（ ） A. 13 B.14 C.16 D. 28 6. 设 x ，y 满足约束条件 2 1 0 1 0 0 x y x y m          ，若函数 2z x y  的最小值大于 5 ，则 m 的取值 范围为（ ） A． 111, 3     B． 113, 3     C. ( 3,2) D． ( ,2) 7．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得 到如下数据： 单价 x （元） 4 5 6 7 8 9 销量 y （件） 90 84 83 80 75 68 - 2 - 由表中数据，求得线性回归方程为  4y x a   .若在这些样本点中任取两点，则至少有一 点在回归直线左下方的概率为 ( ) A． 3 5 B． 2 5 C． 4 5 D． 1 5 8. 己知曲线 3 21 1( ) 33 2f x x x ax    上存在两条斜率为 3的切线，且切点的横坐标都大于 零，则实数 a 的取值范围为（ ） A. 13(3, )4 B. 13 4 （3， ] C. 13 4 （- ， ] D. 13 4 （- ， ） 9．对任意非零实数 ba, ，定义 ba  的算法原理如下左侧程序框图所示. 设 a 为函数 2 sin cosy x x  的最大值，b 为抛物线 2 8 1 xy  焦点的纵坐标值，则 计算机执行该运算后输出的结 果是（ ） A． 5 2 B． 4 7 C．56 D．112 10．一个几何体的三视图如上右图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体（ ） A.外接球的半径为 3 3 B.体积为 3 C.表面积为 6 3 1  D.外接球的表面积为 16 3  11. 双 曲 线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的 左 、 右 焦 点 分 别 为 21, FF , 焦 距 是 c2 ， 直 线 0333  cyx 与 y 轴和双曲线的左支分别交于点 BA, ,若 2 1 ( )2OA OB OF    ,则该双曲线的离心率为 3 111 正视图 侧视图 俯视图 第 10 题图 - 3 - ( ) A. 3 B. 2 C. 2 3 D. 5 12．已知 { | ( ) 0}M f   ， { | ( ) 0}N g   ，若存在 M  ， N  ，使得 n   ， 则称函数 ( )f x 与 ( )g x 互为“ n 度相关函数”. 若 2( ) log 3f x x x   与 2( ) xg x x ae  互为“1度相关函数”，则实数 a 的取值范围为 ( ) A． 2 4(0, ]e B． 2 1 4( , ]e e C． 2 4 2[ , )e e D． 3 2 4 2[ , )e e 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 已知 (1, )a  ， (2,1)b  ，若向量 2a b  与 (8,6)c  共线，则 a  在 b  方向上的投影 为 ． 14．   511  xx 展开式中含 2x 项的系数为 ．（用数字表示） 15. 己知 ABC 中, 4, 3AB AC BC  ,则 ABC 面积的最大值是 . 16．已知在区间      6,0  上单增的函数 )6 5sin(4)(   xxf 的最小正周期是  ，若函数      6 85,0,3)()( xxfxF 的 所 有 零 点 依 次 记 为 1 2 1, , , ,n nx x x x 且 nn xxxx  121  ，则 1 2 3 12 2 2 n nx x x x x      __________． 三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答. 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. 17.(本题满分 12 分) 已知数列 na 的前 n 项和为   2 1 1, 5, 1n n nS a nS n S n n     . (1)求证：数列 nS n     为等差数列； (2)令 2n n nb a ，求数列 nb 的前 n 项和 nT ． 18.(本题满分 12 分)据报道全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考 试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考 英语改革的看法，某媒体在该地区选择了 3 600 人进行调查，就“是否取消英语听力”问 题进行了问卷调查统计，结果如下表: - 4 - 态度 调查人群 应该取消 应该保留 无所谓 在校学生 2 100 人 120 人 b 人 社会人士 600 人 a 人 c 人 已知在全体样本中随机抽取 1 人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05． (1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取 360 人进行问卷访谈，问应在持“无 所谓”态度的人中抽取多少人？ (2)在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取 6 人，再平均分成两组进行深 入交流，求第一组中在校学生人数 X 的分布列和数学期望． 19.(本题满分 12 分)如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1CC  底面 ABC ， 2AC BC  ， 2 2AB  ， 1 4CC  ， M 是棱 1CC 上一点． （1）求证： BC AM ； （2）若 M , N 分别是 1CC , AB 的中点，求证：CN ∥平面 1AB M ； （3）若二面角 1A MB C  的大小为 π 4 ，求线段 1C M 的长. 20.（本题满分 12 分）已知点 D是椭圆   2 2 2 2: 1 0   x yC a ba b 上一点， 1 2、F F 分别为C 的 左、右焦点， 1 2 1 2 1 2=2 2, 60 ,  F F F DF F DF 的面积为 2 3 3 . （1）求椭圆C 的方程； （2）过点  1,0Q 的直线l 与椭圆C 相交于 、A B 两点,点  4,3P ,记直线 ,PA PB 的斜率分别 为 1 2,k k ,当 1 2k k 最大时,求直线l 的方程. - 5 - 21.（本题满分 12 分）设函数 axx xxf  ln)( ． （1）若函数 )(xf 在 ),1(  上为减函数，求实数 a 的最小值； （2）若存在 2 1 2, ,x x e e    ，使 axfxf  )()( 21 成立，求实数 a 的取值范围． 请考生在第 22、23 题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分. 做答时， 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 1x t y t     （其中 t 为参数），在以原点 O 为 极点，以 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 4sin  ． （1）求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程； （2）设 M 是曲线 C 上的一动点， OM 的中点为 P ，求点 P 到直线 l 的最小值． 23. （本题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) 2 1 , 0f x x x a a     . （1）当 0a  时,求不等式 f(x)<1 的解集； （2）若 f(x)的的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 3 2 ,求 a 的取值范围． - 6 - 参考答案（29） - 7 - - 8 - - 9 -