四川省广元市苍溪县实验中学校2020届高三数学下学期适应性考试试题6理 14页

- 1 - 四川省广元市苍溪县实验中学校 2020 届高三数学下学期适应性考试 试题（6）理 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．设集合  2 6 0A x x x    ，  1 0B x x   ，则 A B 的值是 A． - ,1 B． -2,1 C． -3,-1 D． 3, 2．若复数 3 1 2 a iz i   （ a R ，i 是虚数单位）是纯虚数，则复数 z 的虚部为 A． 3 B． 3i C．3 D． 3i 3．已知向量 1(8, )2a x ， ( ,1)b x ， 0x  ，若 2a b  与 2a b  共线，则 x 的值为 A．4 B．8 C．0 D．2 4．PM2.5 是空气质量的一个重要指标，我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 PM2.5 日均值在 35μg/m3 以下空气质量为一级，在 35μg/m3～75μg/m3 之间空气质量为二级，在 75μg/m3 以上空气质量为超标.如图是某市 2019 年 12 月 1 日到 10 日 PM2.5 日均值（单位： μg/m3）的统计数据，则下列叙述不正确的是 A．这 10 天中，12 月 5 日的空气质量超标 B．这 10 天中有 5 天空气质量为二级 C．从 5 日到 10 日，PM2.5 日均值逐渐降低 D．这 10 天的 PM2.5 日均值的中位数 是 47 - 2 - 5．在 ABC 中，D 在 BC 边上，且 2BD DC ，E 为 AD 的中点，则 BE  A． 1 1 3 6AC AB  B． 1 5 3 6AC AB   C． 1 1 3 6AC AB   D． 1 5 3 6AC AB  6．已知随机变量  ~ 2,1X N ，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形 OABC 中随机投 掷10000个点，则落入阴影部分的点个数的估计值为 附：若随机变量  2~N ,   ，则   0.6826P          ，  2 2 0.9544P          . A． 4772 B．5228 C．1359 D．3413 7．已知 0.22018a  ， 20180.2b  ， 2018log 0.2c  ，则 A． c b a  B．b a c  C． a b c  D． a c b  8．已知 , ,l m n 是三条不同的直线， ,  是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是 A．若 , , ,l m l n m n     ，则l  B．若 , / / ,l m     ，则l m C．若 / / ,l m m  ，则 / /l  D．若 , ,l m      ，则 //l m 9．已知 F 是抛物线 xyC 4: 2  的焦点，A，B 为抛物线 C 上两点，且 6AF BF  ．则线 段 AB 的中点到 y 轴的距离为 A．3 B．2 C． 2 5 D． 2 3 10．在 ABC△ 中， )sin(3)2sin(3 AA   ， )cos(3cos BA   则 ABC△ 为 - 3 - A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 11．已知抛物线 1C ： 2y tx ( 0, 0)y t  在点 4( ,2)M t 处的切线与曲线 2C ： xy e 相切， 若动直线 y a 分别与曲线 1C 、 2C 相交于 A 、 B 两点，则 AB 的最小值为 A． ln3 1 3  B． ln3 1 3  C．1 ln 2 2  D．1 ln 2 2  12．过点 ( 1,0)P  的直线与圆 2 2: ( 3) 4E x y   相切于 M，N 两点，且这两点恰好在椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     上，设椭圆的右顶点为 A，若四边形 PMAN 为平行四边形，则椭 圆的离心率为 A． 21 7 B． 2 2 C． 3 5 D． 42 7 二、填空题第 II 卷 非选择题（90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．在二项式 5 2 1x x     的展开式中，含 4x 的项的系数是___________ 14．经过点   10 0 2， 、 ， 且圆心在直线 2y x 上的圆的方程是____. 15．已知直线 1 0kx y k    恒过定点 A ，且点 A 在直线  2 0 0, 0mx ny m n     上， 则 mn 的最大值为_____________ 16．定义 1 1 22 2n n n a a aH n   为数列 na 的“均值”,已知数列 nb 的“均 - 4 - 值” 12n nH  ，记数列 nb kn 的前 n 项和为 nS ，若 6nS S 对任意正整数 n 恒成立，则实 数 k 的范围为__________． 三．解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分 17．（12 分）在 ABC 中，角 A ， B 、C 的对边分别为 a ，b ， c ，且 3 cos sin a b A B  . （Ⅰ）求 A ； （II）若 2a  ，且  cos 2sin sin cosB C B C C   ，求 ABC 的面积. 18．（12 分）2012 年 12 月 18 日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的 74 个城市之一， 郑州市正式发布 2.5PM 数据.资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气 质量与前几年相比得到了很大改善.郑州市设有 9 个监测站点监测空气质量指数（ AQI ）， 其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有 2,5,2 个监测站点，以 9 个站点测得 的 AQI 的平均值为依据，播报我市的空气质量. （Ⅰ）若某日播报的 AQI 为 118，已知轻度污染区 AQI 的平均值为 74，中度污染区 AQI 的 平均值为 114，求重度污染区 AQI 的平均值； （Ⅱ）如图是 2018 年 11 月的 30 天中 AQI 的分布，11 月份仅有一天 AQI 在[170,180) 内. - 5 - ①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的 AQI 为标准，如果 AQI 小 于 180，则去进行社会实践活动.以统计数据中的频率为概率，求该校周日进行社会实践活动 的概率； ②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的 空气质量监测数据中抽取 3 天的数据进行评价，设抽取到 AQI 不小于 180 的天数为 X ，求 X 的分布列及数学期望. 19．（12 分）已知四棱锥 P ABCD ，底面 ABCD 为菱形， PD PB ,H 为 PC 上的点， 过 AH 的平面分别交 ,PB PD 于点 ,M N ，且 / /BD 平面 AMHN ． （Ⅰ）证明： MN PC ； （II）当 H 为 PC 的中点， 3PA PC AB  ， PA 与平面 ABCD 所 成的角为 60，求二面角 P AM N  的余弦值． 20．已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的离心率为 1 2 ，直线 : 2 4l x y  与椭圆有且只有 一个交点T . - 6 - （Ⅰ）求椭圆 C 的方程和点T 的坐标； （II）设O 为坐标原点，与 OT 平行的直线l 与椭圆C 交于不同的两点 A B， ，直线l 与直线 l 交于点 P ，试判断 2PT PA PB 是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由. 21． e 是自然对数的底数， 0a  ，已知函数   x af x x e   ， xR . （Ⅰ）若函数  f x 有零点，求实数 a 的取值范围； （II）对于   xg x e ，证明:当 2a e  时，       1 1 1 xf x g x g e   . （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 2 1 x t y t       （t 为参数），在以直角坐标系 的原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为 2 2sin cos   ． （Ⅰ）求曲线 C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （II）若直线l 与曲线C 相交于 A ， B 两点，求 AOB 的面积． 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知函数  f x x a x b    （Ⅰ）若 1a  ， 2b  ，求不等式   5f x  的解集； （Ⅱ）若 0a  ， 0b  ，且 4 2a b ab  ，求证：   9 2f x  ． - 7 - - 8 - 理科数学参考答案 1．B 2．C 3．A 4．C 5．D 6．C 7．C 8．B 9．B 10．B 11．D 12．D 13．10 14．   2 21 512 4x y       15．1 16． 16 7 7 3k  17．（1）∵ 3 cos sin sin a b a A B A   ，∴ 3tan 3A  .∵  0,A  ，∴ 6A  . （2） ∵  cos 2sin sin cosB C B C C   ∴ cos cos sin sin 2sin sin cosB C B C B C C   ， ∴  cos cosB C C   ，即 cos cosA C ，即 A C .∵ 6A  ，∴ 2 3B  .∵ 2a  ， ∴ 2a c  . ∴ 1 1 3sin 2 2 32 2 2ABCS ac B       . 18．（Ⅰ）设重度污染区 AQI 的平均值为 x ，则 74 2 114 5 2 118 9x      ，解得 172x  . 即重度污染区 AQI 平均值为 172. （Ⅱ）①由题意知， AQI 在 170,180 内的天数为 1， 由图可知，AQI 在 50,170 内的天数为 17 天，故 11 月份 AQI 小于 180 的天数为1 17 18  ， 又 18 3 30 5  ，则该学校去进行社会实践活动的概率为 3 5 . ②由题意知， X 的所有可能取值为 0，1，2，3，且 - 9 -   3 0 18 12 3 30 2040 1015 C CP X C    ，   2 1 18 12 3 30 4591 1015 C CP X C    ，   1 2 18 12 3 30 2972 1015 C CP X C    ，   0 3 18 12 3 30 113 203 C CP X C    ， 则 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 204 1015 459 1015 297 1015 11 203 数学期望 EX  204 459 297 110 1 2 31015 1015 1015 203        6 5  . 19．（1）证明：连结 AC 交 BD 于点O ，连结 PO ．因为 ABCD 为菱形，所以 BD AC ， 且O 为 AC 、 BD 的中点，因为 PD PB ，所以 PO BD ， 因为 AC PO O  且 AC PO 、 平面 PAC ，所以 BD  平面 PAC ， 因为 PC 平面 PAC ，所以 BD PC ． 因为 / /BD 平面 AMHN ， BD  平面 PBD ，且平面 AMHN  平面 PBD MN ， 所以 / /BD MN ，所以 MN PC ． （2）由（1）知 BD AC 且 PO BD ，因为 PA PC ，且 O 为 AC 的中点， 所以 PO AC ，所以 PO  平面 ABCD ，所以 PA 与平面 ABCD 所成的角为 PAO ， 所以，所以 1 3,2 2AO PA PO PA  ，因为 3PA AB ，所以 3 6BO PA ． 分别以OA  ， OB  ， OP  为 , ,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设 2PA  ，则 - 10 -        3 3 1 30,0,0 , 1,0,0 , 0, ,0 , 1,0,0 , 0, ,0 , 0,0, 3 , ,0,3 3 2 2O A B C D P H                        ， 所以  2 3 3 3 30, ,0 , ,0, , 1, ,0 , 1,0, 33 2 2 3DB AH AB AP                                ． 记平面 AMHN 的法向量为  1 1 1 1, ,n x y z ，则 1 1 1 1 1 2 3 03 3 3 02 2 n DB y n AH x z               ， 令 1 0x  ，则 1 10, 3y z  ，所以  1 1,0, 3n  ， 记平面 PAB 的法向量为  2 2 2 2, ,n x y z ，则 2 2 2 2 2 2 3 03 3 0 n AB x y n AP x z                 ， 令 2 1x  ，则 2 2 33, 3y z  ，所以 2 31, 3, 3n        ， 记二面角 P AM N  的大小为 ，则 1 2 1 2 1 2 39cos cos< , 13 n nn n n n            ． 所以二面角 P AM N  的余弦值为 39 13 ． 20．（I）由椭圆的离心率 e= c a = 2 21 b a  = 1 2 ，则 b2= 3 4 a2， 则 2 2 2 2 2 4 4 13 x y x y a a     ，消去 x，整理得： 16 3 y2﹣16y+16﹣a2=0，①由△=0，解得：a2=4，b2=3， - 11 - 所以椭圆的标准方程为： 2 4 x + 2 3 y =1；所以 Ty = 3 2 ，则 T（1， 3 2 ）， （Ⅱ）设直线 l′的方程为 y= 3 2 x+t，由 3 2 2 4 y x t x y       ，解得 P 的坐标为（1﹣ 2 t ， 3 2 + 4 t ）， 所以|PT|2= 5 16 t2，设设 A（x1，y1），B（x2，y2），联立 2 2 3 2 3 4 12 y x t x y       ，消去 y 整理得 x2+tx+ 2 3 t ﹣1=0， 则 x1+x2=﹣t，x1x2= 2 3 3 t  ，△=t2﹣4（ 2 3 t ﹣1）＞0，t2＜12， y1= 3 2 x1+t，y2= 3 2 x2+t，|PA|= 2 2 1 1 31 2 2 4 t tx y              = 13 2 | 2 2 t ﹣x1|， 同理|PB|= 13 2 | 2 2 t ﹣x2|，|PA|•|PB|=13 4 |（ 2 2 t ﹣x1）（ 2 2 t ﹣x2）|=13 4 | 22 2 t     ﹣ 2 2 t （x1+x2）+x1x2|，13 4 | 22 2 t     ﹣ 2 2 t （﹣t）+ 2 3 3 t  |= 13 48 t2，所以 2| |PT PA PB = 2 2 5 16 13 48 t t =15 13 ， 所以 2| |PT PA PB =15 13 为定值． 21．（1）由函数 ( )f x 有零点知，方程 ( ) 0x af x x e    有实数解，因为 0xa xe   ，所以 0x  ．设 ( ) xg x xe  ， ( , 0)x   ， 则 a 的取值范围转化为函数 ( ) xg x xe  在 ( , 0)x   上的值域． 因为 ( ) ( 1) xg x x e    ，所以当 (x  ， 1) 时 ( ) 0g x  ，函数 ( )g x 在 ( , 1)  上单调递增， 当 x ( 1,0) 时 ( ) 0g x  ，函数 ( )g x 在 ( 1,0) 上单调递减， - 12 - 故函数 ( )g x 在 1x   时，取得最大值 1 1( 1) ( 1)g e e      ， 又 ( , 1)x   上， ( ) 0xg x xe   ，所以函数 ( ) xg x xe  在 ( , 1)x   上的值域为 (0 ， 1]e ．当 x ( 1,0) 时， ( ) 0xg x xe   ，所以函数 ( ) xg x xe  在 ( , 0)x   上的值域为 (0 ， 1]e . 从而函数 ( ) x af x x e   有零点时，实数 a 的取值范围为 (0 ， 1]e （2） 1 1( ) ( 1) ( )xf x g x g e… … 可以转化为证明两个不等式 1 1 x x ax e e  …  1 0xxe a e   … ①， 1 10 ( 1) ( ) ( 1) ( ) x xg x g e g x g e    „ … ②.设 1( ) xF x xe a e    ，所以 ( ) ( 1) xF x x e   ， 当 ( , 1)x   时， ( ) 0F x  ，函数 ( )F x 在 ( , 1)  上单调递减，当 ( 1, )x   时， ( ) 0F x  ，函数 ( )F x 在 ( 1, )  上单调递增．故函数 ( )F x 在 1x   时，取得最小值 1 1 2( 1) ( 1) 0F a ae e e        … ，所以 ( ) ( 1) 0F x F … … ．得证 1 1 1( ) ( 1)x x ax f xe e g x  … … ① 设 ( )= 1xG x e x  ，有 ( ) 1xG x e   ，当 0x  时， ( ) 0G x  ．函数 ( )G x 在 ( ,0) 上单调递减； 当 0x  时，函数 ( ) 0G x  ， ( )G x 在 (0, ) 上单调递增．故函数 ( )G x 在 0x  时，取得最小 值 0(0) 0 1 0G e    ． 所以 ( ) (0) 0G x G … ，得 1 xx e „ ．（仅当 0x  时取等号） 又由 ( ) xg x e 为增函数，得 1 10 ( 1) ( ) ( 1) ( ) x xg x g e g x g e    „ … ②.合并①②得证 1 1( ) ( 1) ( )xf x g x g e… … ． 22．（1）由曲线C 的极坐标方程为 2 2sin cos   ，得 2 2cos 2 sin    ，所以曲线C 的直角 坐标方程是 2 2x y ． - 13 - 由直线l 的参数方程为 2 1 x t y t       （t 为参数），得直线l 的普通方程 1 0x y   （2）由直线l 的参数方程为 2 1 x t y t       （t 为参数），得 22 2 21 2 x t y t        （t 为参数）， 代入 2 2x y ，得 2 6 2 12 0t t   ，设 A ，B 两点对应的参数分别为 1t ，2t ，则 1 2 6 2t t  ， 1 2 12t t  ， 所以    22 1 2 1 2 1 24 6 2 4 12 2 6AB t t t t t t         ， 因为原点到直线 1 0x y   的距离 1 2 22 d   ，所以 1 1 2· 2 6 32 2 2AOBS AB d     ． 23．（Ⅰ） 1 2a b ， 时，   25 1 2 5 2 1 5 xf x x x x            或 2 1 3 5 x     或 1 2 1 5 x x     ， 解得 3 2x   ，故不等式 5f x （ ） 的解集为 3 2 ， ； （Ⅱ） 0 0a b＞ ， ＞ 时 f x x a x b x b x a a b         （ ） （ ）（ ） ，当且仅当 b x a   时，取等. ∵ 4 2a b ab  ，∴ 1 2 12b a   ，   1 2 2a b a b a a         1 2 5 2 92 22 2 2 2 2 a b a b b a b a        当且仅当 4 2 3 3a b ， 时取等． - 14 - 故   9 2f x  ．