• 365.60 KB
  • 2021-06-16 发布

2017年安徽省合肥市高考一模数学理

  • 11页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
2017 年安徽省合肥市高考一模数学理 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.若集合 M={x|log2x<1},集合 N={x|x2-1≤0},则 M∩N=( ) A.{x|1≤x<2} B.{x|-1≤x<2} C.{x|-1<x≤1} D.{x|0<x≤1} 解析:集合 M={x|log2x<1}={x|0<x<2}, 集合 N={x|x2-1≤0}={x|-1≤x≤1}, 则 M∩N={x|0<x≤1}. 答案:D. 2.已知复数 z= 2 1 i i   (i 为虚数单位),那么 z 的共轭复数为( ) A. 33 22i B. 13 22i C. 13 22i D. 33 22i 解析:利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出. 答案:B. 3.要想得到函数 y=sin2x+1 的图象,只需将函数 y=cos2x 的图象( ) A.向左平移 4  个单位,再向上平移 1 个单位 B.向右平移 4  个单位,再向上平移 1 个单位 C.向左平移 2  个单位,再向下平移 1 个单位 D.向右平移 2  个单位,再向上平移 1 个单位 解析:利用诱导公式化简成同名函数,在平移变换(左加右减,上加下减)即可. 答案:B. 4.执行如图的程序框图,则输出的 n 为( ) A.9 B.11 C.13 D.15 解析:算法的功能是求满足 1 1 1 11 3 5 2017S n    < 的最大的正整数 n+2 的值,验证 S=1·3·…·13>2017,从而确定输出的 n 值. 答案:C. 5.已知双曲线 2 4 y -x2=1 的两条渐近线分别与抛物线 y2=2px(p>0)的准线交于 A,B 两点,O 为坐标原点,若△OAB 的面积为 1,则 p 的值为( ) A.1 B. 2 C.2 2 D.4 解析:求出双曲线 -x2=1 的两条渐近线方程与抛物线 y2=2px(p>0)的准线方程,进而求 出 A,B 两点的坐标,再由△AOB 的面积为 1 列出方程,由此方程求出 p 的值. 答案:B. 6.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cosC= 22 3 ,bcosA+acosB=2,则△ABC 的外接圆的面积为( ) A.4π B.8π C.9π D.36π 解析:由余弦定理化简已知等式可求 c 的值,利用同角三角函数基本关系式可求 sinC 的值, 进而利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径 R 的值,利用圆的面积公式即可计算得解. 答案:C. 7.祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题,意思是 两个同高的几何体,如在等高处的截面积恒相等,则体积相等.设 A、B 为两个同高的几何体, p:A、B 的体积不相等,q:A、B 在等高处的截面积不恒相等,根据祖暅原理可知,p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:由 pq,反之不成立. ∴p 是 q 的充分不必要条件. 答案:A. 8.在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点,则落入阴影部分(曲线 C 的方程为 x2-y=0) 的点的个数的估计值为( ) A.5000 B.6667 C.7500 D.7854 解析:由题意,阴影部分的面积 S=  1 2 3 1 00 1 3 | 21 3x dx x x       ,正方形的面积为 1, 利用正方形中随机投掷 10000 个点,即可得出结论. 答案:B. 9.一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周),则该几何体的表面积 为( ) A.72+6π B.72+4π C.48+6π D.48+4π 解析:由已知中的三视图,可得该几何体是一个以正视图为为底面的柱体,由柱体表面积公 式,可得答案. 答案:A. 10.已知(ax+b)6 的展开式中 x4 项的系数与 x5 项的系数分别为 135 与-18,则(ax+b)6 展开式 所有项系数之和为( ) A.-1 B.1 C.32 D.64 解析:由题意先求得 a、b 的值,再令 x=1 求出展开式中所有项的系数和. 答案:D. 11.已知函数 f(x)=(x2-2x)sin(x-1)+x+1 在[-1,3]上的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=( ) A.4 B.2 C.1 D.0 解 析 : 把 已 知 函 数 解 析 式 变 形 , 可 得 f(x)=[(x-1)2-1]sin(x-1)+x-1+2 ,令 g(x)=(x-1)2sin(x-1)-sin(x-1)+(x-1),结合 g(2-x)+g(x)=0,可得 g(x)关于(1,0)中心对 称,则 f(x)在[-1,3]上关于(1,2)中心对称,从而求得 M+m 的值. 答案:A. 12.已知函数 f(x)= 2 2 1 0 1 2 1 02 x x x x x       , < , ,方程 f2(x)-af(x)+b=0(b≠0)有六个不同的实数 解,则 3a+b 的取值范围是( ) A.[6,11] B.[3,11] C.(6,11) D.(3,11) 解析:作函数 f(x)= 2 2 1 0 1 2 1 02 x x x x x       , < , 的图象,从而利用数形结合知 t2-at+b=0 有 2 个 不同的正实数解,且其中一个为 1,从而可得-1-a>0 且-1-a≠1;从而解得. 答案:D. 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.命题:“ x∈R,x2-ax+1<0”的否定为_____. 解析:直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 答案: x∈R,x2-ax+1≥0. 14.已知 a =(1,3),b =(-2,k),且( a +2 )∥(3 a - ),则实数 k=_____. 解析:利用向量坐标运算性质、向量共线定理即可得出. 答案:-6. 15.已知 sin2α-2=2cos2α,则 sin2α+sin2α=_____. 解析:利用同角三角函数的基本关系,求得 cosα=0 或 tanα=2,从而求得要求式子的值. 答案:1 或 8 5 . 16.已知直线 y=b 与函数 f(x)=2x+3 和 g(x)=ax+lnx 分别交于 A,B 两点,若|AB|的最小值为 2,则 a+b=_____. 解析:设 A(x1,b),B(x2,b),则 2x1+3=ax2+lnx2=b,表示出 x1,求出|AB|,利用导数,结 合最小值也为极小值,可得极值点,求出最小值,解方程可得 a=1,进而得到 b,求出 a+b. 答案:2. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 S4=24,S7=63. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 bn= 2 na +(-1)n·an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解析:(Ⅰ)利用等差数列的求和公式及其通项公式即可得出. (Ⅱ)通过分类讨论,利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出. 答案:(Ⅰ)因为{an}为等差数列, 所以 41 1 71 434 24 32 76 27 632 S a d a dS a d                an=2n+1. (Ⅱ)∵bn= 2 na +(-1)n·an=22n+1+(-1)n·(2n+1)=2×4n+(-1)n·(2n+1) ∴Tn=2(41+42+…+4n)+[-3+5-7+9-…+(-1)n(2n+1)]=  8 4 1 3 n  +Gn, 当 n=2k(k∈N*)时,Gn=2× 2 n =n,∴Tn= +n 当 n=2k-1(k∈N*)时,Gn=2× 1 2 n  -(2n+1)=-n-2, ∴Tn= -n-2,∴Tn=     * * 8 4 1 23 8 4 1 2 2 13 () () n n n n k k N n n k k N             , , . 18.某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动,有甲,乙两个抽奖方案供员工选择. 方案甲:员工最多有两次抽奖机会,每次抽奖的中奖率均为 4 5 ,第一次抽奖,若未中奖, 则抽奖结束,若中奖,则通过抛一枚质地均匀的硬币,决定是否继续进行第二次抽奖,规定: 若抛出硬币,反面朝上,员工则获得 500 元奖金,不进行第二次抽奖;若正面朝上,员工则 须进行第二次抽奖,且在第二次抽奖中,若中奖,则获得 1000 元;若未中奖,则所获得奖 金为 0 元. 方案乙:员工连续三次抽奖,每次中奖率均为 2 5 ,每次中奖均可获得奖金 400 元. (Ⅰ)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 X(元)的分布列; (Ⅱ)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖,哪个方案更划算? 解析:(Ⅰ)利用相互独立事件的概率计算公式即可得出. (Ⅱ)利用数学期望计算公式、二项分布列的性质即可得出. 答案:(Ⅰ)P(X=0)= 1 4 1 1 7 5 5 2 5 25    ,P(X=500)= 4 1 2 5 2 5,P(X=1000)= 4 1 4 8 5 2 5 25   , 所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 X(元)的分布列为 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,选择方案甲进行抽奖所获得奖金 X 的均值 E(X)=500× 2 5 +1000× 8 25 =520, 若选择方案乙进行抽奖中奖次数ξ~B(3, 2 5 ),则 E(ξ)=3× 2 5 = 6 5 , 抽奖所获奖金 X 的均值 E(X)=E(400ξ)=400E(ξ)=480, 故选择方案甲较划算. 19.如图所示,在四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1⊥底面 ABCD,四边形 ABCD 为菱形,∠BAD=120°, AB=AA1=2A1B1=2. (Ⅰ)若 M 为 CD 中点,求证:AM⊥平面 AA1B1B; (Ⅱ)求直线 DD1 与平面 A1BD 所成角的正弦值. 解析:(Ⅰ)推导出 AM⊥CD,AM⊥AB,AM⊥AA1,由此能证明 AM⊥平面 AA1B1B. (Ⅱ)分别以 AB,AM,AA1 为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,利用 向量法能求出直线 DD1 与平面 A1BD 所成角θ的正弦值. 答案:(Ⅰ)∵四边形为菱形,∠BAD=120°,连结 AC, ∴△ACD 为等边三角形, 又∵M 为 CD 中点,∴AM⊥CD, 由 CD∥AB 得,∴AM⊥AB, ∵AA1⊥底面 ABCD,AM 底面 ABCD,∴AM⊥AA1, 又∵AB∩AA1=A,∴AM⊥平面 AA1B1B 解:(Ⅱ)∵四边形 ABCD 为菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2, ∴DM=1,AM=3,∠AMD=∠BAM=90°, 又∵AA1⊥底面 ABCD, 分别以 AB,AM,AA1 为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz, 则 A1(0,0,2)、B(2,0,0)、D(-1, 3 ,0)、D1(- 1 2 , 3 2 ,2), ∴ 1DD =( ,- ,2), BD =(-3, ,0), 1AB=(2,0,-2), 设平面 A1BD 的一个法向量 n =(x,y,z), 则有 1 · 0 3 3 0 33 2 2 0· 0 n BD xy y x z xzn A B           ,令 x=1,则 =(1, ,1), ∴直线 DD1 与平面 A1BD 所成角θ的正弦值:sinθ=|cos< n , 1DD >|= 1 1|| 1 5 n DD n DD    . 20.已知点 F 为椭圆 E: 22 22 xy ab =1(a>b>0)的左焦点,且两焦点与短轴的一个顶点构成一 个等边三角形,直线 42 xy =1 与椭圆 E 有且仅有一个交点 M. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设直线 42 xy =1 与 y 轴交于 P,过点 P 的直线与椭圆 E 交于两不同点 A,B,若λ |PM|2=|PA|·|PB|,求实数λ的取值范围. 解析:(Ⅰ)由题意可得 a,b 与 c 的关系,化椭圆方程为 22 2243 xy cc =1,联立直线方程与椭 圆方程,由判别式为 0 求得 c,则椭圆方程可求; (Ⅱ)由(Ⅰ)求得 M 坐标,得到|PM|2,当直线 l 与 x 轴垂直时,直接由λ|PM|2=|PA|·|PB| 求得λ值;当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=kx+2,联立直线方程与椭圆方 程,利用判别式大于 0 求得 k 的取值范围,再由根与系数的关系,结合λ|PM|2=|PA|·|PB|, 把λ用含有 k 的表达式表示,则实数λ的取值范围可求. 答案:(Ⅰ)由题意,得 a=2c,b= 3 c,则椭圆 E 为: 22 2243 xy cc =1, 联立 22 2 43 142 y cx xy          ,得 x2-2x+4-3c2=0, ∵直线 42 xy =1 与椭圆 E 有且仅有一个交点 M, ∴△=4-4(4-3c2)=0,得 c2=1, ∴椭圆 E 的方程为 22 43 xy =1; (Ⅱ)由(Ⅰ)得 M(1, 3 2 ), ∵直线 =1 与 y 轴交于 P(0,2),∴|PM|2= 5 4 , 当直线 l 与 x 轴垂直时,|PA|·|PB|=(2+ )(2- )=1, 由λ|PM|2=|PA|·|PB|,得λ= 4 5 , 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立 22 2 3 4 12 0 y kx xy      ,得(3+4k2)x2+16kx+4=0, 依题意得,x1x2= 2 4 34k ,且△=48(4k2-1)>0, ∴|PA||PB|=(1+k2)x1x2=(1+k2)· =1+ 2 1 34k = 5 4 λ, ∴λ= 4 5 (1+ ), ∵k2> 1 4 ,∴ <λ<1, 综上所述,λ的取值范围是[ ,1). 21.已知函数 f(x)=ex- 1 2 ax2(x>0,e 为自然对数的底数),f′(x)是 f(x)的导函数. (Ⅰ)当 a=2 时,求证 f(x)>1; (Ⅱ)是否存在正整数 a,使得 f′(x)≥x2lnx 对一切 x>0 恒成立?若存在,求出 a 的最大值; 若不存在,说明理由. 解析:(Ⅰ)求出函数的导数,根据函数的单调性证明即可; (Ⅱ)求出函数的导数,得到 a≤e,问题转化为证明当 a=2 时,不等式恒成立,设 g(x)= 2 2xe xx -lnx,根据函数的单调性证明即可. 答案:(Ⅰ)证明:当 a=2 时,f(x)=ex-x2,则 f′(x)=ex-2x, 令 f1(x)=f′(x)=ex-2x,则 f′1(x)=ex-2, 令 f′1(x)=0,得 x=ln2,故 f′(x)在 x=ln2 时取得最小值, ∵f′(ln2)=2-2ln2>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数, ∴f(x)>f(0)=1; (Ⅱ)f′(x)=ex-ax, 由 f′(x)≥x2lnx,得 ex-ax≥x2lnx 对一切 x>0 恒成立, 当 x=1 时,可得 a≤e,所以若存在,则正整数 a 的值只能取 1,2. 下面证明当 a=2 时,不等式恒成立, 设 g(x)= 2 2xe xx -lnx,则 g′(x)=      3 2 3 22 21 xx x e xxe x x x x     , 由(Ⅰ)ex>x2+1≥2x>x,∴ex-x>0(x>0), ∴当 0<x<2 时,g′(x)<0;当 x>2 时,g′(x)>0, 即 g(x)在(0,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数, ∴g(x)≥g(2)= 1 4 (e2-4-4ln2)> (2.72-4-4ln2)> (3-ln16)>0, ∴当 a=2 时,不等式恒成立, 所以 a 的最大值是 2. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修 4-4:坐 标系与参数方程] 22.已知直线 l 的参数方程为 11 2 33 xt yt     (t 为参数)以坐标原点 O 为极点,以 x 轴正半轴 为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的方程为 sinθ- 3 ρcos2θ=0. (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)写出直线 l 与曲线 C 交点的一个极坐标. 解析:(Ⅰ)利用极坐标与直角坐标互化方法,求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)将 ,代入 y- x2=0 得, + t- (1+ 1 2 t)2=0,求出交点坐标, 即可直线 l 与曲线 C 交点的一个极坐标. 答案:(Ⅰ)∵sinθ- ρcos2θ=0,∴ρsinθ- ρ2cos2θ=0, 即 y- x2=0; (Ⅱ)将 ,代入 y-3 2=0 得, + t- (1+ t)2=0,即 t=0, 从而,交点坐标为(1, ), 所以,交点的一个极坐标为(2, 3  ). [选修 4-5:不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|x-m|-|x+3m|(m>0). (Ⅰ)当 m=1 时,求不等式 f(x)≥1 的解集; (Ⅱ)对于任意实数 x,t,不等式 f(x)<|2+t|+|t-1|恒成立,求 m 的取值范围. 解析:(Ⅰ)将 m=1 的值带入,得到关于 x 的不等式组,求出不等式的解集即可; (Ⅱ)问题等价于对任意的实数 xf(x)<[|2+t|+|t-1|]min 恒成立,根据绝对值的性质求出 f(x) 的最大值以及[|2+t|+|t-1|]min,求出 m 的范围即可. 答案:(Ⅰ)f(x)=|x-m|-|x+3m|= 4 2 2 3 43 m x m x m m x m m x m          < < , 当 m=1 时,由 2 2 1 31 x x     < < 或 x≤-3,得到 x≤- 3 2 , ∴不等式 f(x)≥1 的解集为{x|x≤- 3 2 }; (Ⅱ)不等式 f(x)<|2+t|+|t-1|对任意的实数 t,x 恒成立, 等价于对任意的实数 xf(x)<[|2+t|+|t-1|]min 恒成立, 即[f(x)]max<[|2+t|+|t-1|]min, ∵f(x)=|x-m|-|x+3m|≤|(x-m)-(x+3m)|=4m, |2+t|+|t-1|≥|(2+t)-(t-1)|=3, ∴4m<3 又 m>0,所以 0<m< 3 4 .