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- 2021-06-16 发布
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2017 年安徽省合肥市高考一模数学理
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
1.若集合 M={x|log2x<1},集合 N={x|x2-1≤0},则 M∩N=( )
A.{x|1≤x<2}
B.{x|-1≤x<2}
C.{x|-1<x≤1}
D.{x|0<x≤1}
解析:集合 M={x|log2x<1}={x|0<x<2},
集合 N={x|x2-1≤0}={x|-1≤x≤1},
则 M∩N={x|0<x≤1}.
答案:D.
2.已知复数 z= 2
1
i
i
(i 为虚数单位),那么 z 的共轭复数为( )
A. 33
22i
B. 13
22i
C. 13
22i
D. 33
22i
解析:利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出.
答案:B.
3.要想得到函数 y=sin2x+1 的图象,只需将函数 y=cos2x 的图象( )
A.向左平移
4
个单位,再向上平移 1 个单位
B.向右平移
4
个单位,再向上平移 1 个单位
C.向左平移
2
个单位,再向下平移 1 个单位
D.向右平移
2
个单位,再向上平移 1 个单位
解析:利用诱导公式化简成同名函数,在平移变换(左加右减,上加下减)即可.
答案:B.
4.执行如图的程序框图,则输出的 n 为( )
A.9
B.11
C.13
D.15
解析:算法的功能是求满足 1 1 1 11 3 5 2017S n < 的最大的正整数 n+2 的值,验证
S=1·3·…·13>2017,从而确定输出的 n 值.
答案:C.
5.已知双曲线
2
4
y -x2=1 的两条渐近线分别与抛物线 y2=2px(p>0)的准线交于 A,B 两点,O
为坐标原点,若△OAB 的面积为 1,则 p 的值为( )
A.1
B. 2
C.2 2
D.4
解析:求出双曲线 -x2=1 的两条渐近线方程与抛物线 y2=2px(p>0)的准线方程,进而求
出 A,B 两点的坐标,再由△AOB 的面积为 1 列出方程,由此方程求出 p 的值.
答案:B.
6.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cosC= 22
3
,bcosA+acosB=2,则△ABC
的外接圆的面积为( )
A.4π
B.8π
C.9π
D.36π
解析:由余弦定理化简已知等式可求 c 的值,利用同角三角函数基本关系式可求 sinC 的值,
进而利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径 R 的值,利用圆的面积公式即可计算得解.
答案:C.
7.祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题,意思是
两个同高的几何体,如在等高处的截面积恒相等,则体积相等.设 A、B 为两个同高的几何体,
p:A、B 的体积不相等,q:A、B 在等高处的截面积不恒相等,根据祖暅原理可知,p 是 q
的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:由 pq,反之不成立.
∴p 是 q 的充分不必要条件.
答案:A.
8.在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点,则落入阴影部分(曲线 C 的方程为 x2-y=0)
的点的个数的估计值为( )
A.5000
B.6667
C.7500
D.7854
解析:由题意,阴影部分的面积 S= 1 2 3 1
00
1
3 | 21 3x dx x x
,正方形的面积为 1,
利用正方形中随机投掷 10000 个点,即可得出结论.
答案:B.
9.一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周),则该几何体的表面积
为( )
A.72+6π
B.72+4π
C.48+6π
D.48+4π
解析:由已知中的三视图,可得该几何体是一个以正视图为为底面的柱体,由柱体表面积公
式,可得答案.
答案:A.
10.已知(ax+b)6 的展开式中 x4 项的系数与 x5 项的系数分别为 135 与-18,则(ax+b)6 展开式
所有项系数之和为( )
A.-1
B.1
C.32
D.64
解析:由题意先求得 a、b 的值,再令 x=1 求出展开式中所有项的系数和.
答案:D.
11.已知函数 f(x)=(x2-2x)sin(x-1)+x+1 在[-1,3]上的最大值为 M,最小值为 m,则
M+m=( )
A.4
B.2
C.1
D.0
解 析 : 把 已 知 函 数 解 析 式 变 形 , 可 得 f(x)=[(x-1)2-1]sin(x-1)+x-1+2 ,令
g(x)=(x-1)2sin(x-1)-sin(x-1)+(x-1),结合 g(2-x)+g(x)=0,可得 g(x)关于(1,0)中心对
称,则 f(x)在[-1,3]上关于(1,2)中心对称,从而求得 M+m 的值.
答案:A.
12.已知函数 f(x)= 2
2 1 0
1 2 1 02
x x
x x x
, <
, ,方程 f2(x)-af(x)+b=0(b≠0)有六个不同的实数
解,则 3a+b 的取值范围是( )
A.[6,11]
B.[3,11]
C.(6,11)
D.(3,11)
解析:作函数 f(x)= 2
2 1 0
1 2 1 02
x x
x x x
, <
, 的图象,从而利用数形结合知 t2-at+b=0 有 2 个
不同的正实数解,且其中一个为 1,从而可得-1-a>0 且-1-a≠1;从而解得.
答案:D.
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.命题:“ x∈R,x2-ax+1<0”的否定为_____.
解析:直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.
答案: x∈R,x2-ax+1≥0.
14.已知 a =(1,3),b =(-2,k),且( a +2 )∥(3 a - ),则实数 k=_____.
解析:利用向量坐标运算性质、向量共线定理即可得出.
答案:-6.
15.已知 sin2α-2=2cos2α,则 sin2α+sin2α=_____.
解析:利用同角三角函数的基本关系,求得 cosα=0 或 tanα=2,从而求得要求式子的值.
答案:1 或 8
5
.
16.已知直线 y=b 与函数 f(x)=2x+3 和 g(x)=ax+lnx 分别交于 A,B 两点,若|AB|的最小值为
2,则 a+b=_____.
解析:设 A(x1,b),B(x2,b),则 2x1+3=ax2+lnx2=b,表示出 x1,求出|AB|,利用导数,结
合最小值也为极小值,可得极值点,求出最小值,解方程可得 a=1,进而得到 b,求出 a+b.
答案:2.
三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 S4=24,S7=63.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若 bn= 2 na +(-1)n·an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
解析:(Ⅰ)利用等差数列的求和公式及其通项公式即可得出.
(Ⅱ)通过分类讨论,利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出.
答案:(Ⅰ)因为{an}为等差数列,
所以
41
1
71
434 24 32
76 27 632
S a d a
dS a d
an=2n+1.
(Ⅱ)∵bn= 2 na +(-1)n·an=22n+1+(-1)n·(2n+1)=2×4n+(-1)n·(2n+1)
∴Tn=2(41+42+…+4n)+[-3+5-7+9-…+(-1)n(2n+1)]= 8 4 1
3
n
+Gn,
当 n=2k(k∈N*)时,Gn=2×
2
n =n,∴Tn= +n
当 n=2k-1(k∈N*)时,Gn=2× 1
2
n -(2n+1)=-n-2,
∴Tn= -n-2,∴Tn=
*
*
8 4 1
23
8 4 1
2 2 13
()
()
n
n
n n k k N
n n k k N
,
,
.
18.某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动,有甲,乙两个抽奖方案供员工选择.
方案甲:员工最多有两次抽奖机会,每次抽奖的中奖率均为 4
5
,第一次抽奖,若未中奖,
则抽奖结束,若中奖,则通过抛一枚质地均匀的硬币,决定是否继续进行第二次抽奖,规定:
若抛出硬币,反面朝上,员工则获得 500 元奖金,不进行第二次抽奖;若正面朝上,员工则
须进行第二次抽奖,且在第二次抽奖中,若中奖,则获得 1000 元;若未中奖,则所获得奖
金为 0 元.
方案乙:员工连续三次抽奖,每次中奖率均为 2
5
,每次中奖均可获得奖金 400 元.
(Ⅰ)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 X(元)的分布列;
(Ⅱ)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖,哪个方案更划算?
解析:(Ⅰ)利用相互独立事件的概率计算公式即可得出.
(Ⅱ)利用数学期望计算公式、二项分布列的性质即可得出.
答案:(Ⅰ)P(X=0)= 1 4 1 1 7
5 5 2 5 25 ,P(X=500)= 4 1 2
5 2 5,P(X=1000)= 4 1 4 8
5 2 5 25 ,
所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 X(元)的分布列为
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,选择方案甲进行抽奖所获得奖金 X 的均值 E(X)=500× 2
5
+1000× 8
25
=520,
若选择方案乙进行抽奖中奖次数ξ~B(3, 2
5
),则 E(ξ)=3× 2
5
= 6
5
,
抽奖所获奖金 X 的均值 E(X)=E(400ξ)=400E(ξ)=480,
故选择方案甲较划算.
19.如图所示,在四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1⊥底面 ABCD,四边形 ABCD 为菱形,∠BAD=120°,
AB=AA1=2A1B1=2.
(Ⅰ)若 M 为 CD 中点,求证:AM⊥平面 AA1B1B;
(Ⅱ)求直线 DD1 与平面 A1BD 所成角的正弦值.
解析:(Ⅰ)推导出 AM⊥CD,AM⊥AB,AM⊥AA1,由此能证明 AM⊥平面 AA1B1B.
(Ⅱ)分别以 AB,AM,AA1 为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,利用
向量法能求出直线 DD1 与平面 A1BD 所成角θ的正弦值.
答案:(Ⅰ)∵四边形为菱形,∠BAD=120°,连结 AC,
∴△ACD 为等边三角形,
又∵M 为 CD 中点,∴AM⊥CD,
由 CD∥AB 得,∴AM⊥AB,
∵AA1⊥底面 ABCD,AM 底面 ABCD,∴AM⊥AA1,
又∵AB∩AA1=A,∴AM⊥平面 AA1B1B
解:(Ⅱ)∵四边形 ABCD 为菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2,
∴DM=1,AM=3,∠AMD=∠BAM=90°,
又∵AA1⊥底面 ABCD,
分别以 AB,AM,AA1 为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,
则 A1(0,0,2)、B(2,0,0)、D(-1, 3 ,0)、D1(- 1
2
, 3
2
,2),
∴ 1DD =( ,- ,2), BD =(-3, ,0), 1AB=(2,0,-2),
设平面 A1BD 的一个法向量 n =(x,y,z),
则有
1
· 0 3 3 0 33
2 2 0· 0
n BD xy y x z
xzn A B
,令 x=1,则 =(1, ,1),
∴直线 DD1 与平面 A1BD 所成角θ的正弦值:sinθ=|cos< n , 1DD >|= 1
1||
1
5
n DD
n DD
.
20.已知点 F 为椭圆 E:
22
22
xy
ab =1(a>b>0)的左焦点,且两焦点与短轴的一个顶点构成一
个等边三角形,直线
42
xy =1 与椭圆 E 有且仅有一个交点 M.
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程;
(Ⅱ)设直线
42
xy =1 与 y 轴交于 P,过点 P 的直线与椭圆 E 交于两不同点 A,B,若λ
|PM|2=|PA|·|PB|,求实数λ的取值范围.
解析:(Ⅰ)由题意可得 a,b 与 c 的关系,化椭圆方程为
22
2243
xy
cc =1,联立直线方程与椭
圆方程,由判别式为 0 求得 c,则椭圆方程可求;
(Ⅱ)由(Ⅰ)求得 M 坐标,得到|PM|2,当直线 l 与 x 轴垂直时,直接由λ|PM|2=|PA|·|PB|
求得λ值;当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=kx+2,联立直线方程与椭圆方
程,利用判别式大于 0 求得 k 的取值范围,再由根与系数的关系,结合λ|PM|2=|PA|·|PB|,
把λ用含有 k 的表达式表示,则实数λ的取值范围可求.
答案:(Ⅰ)由题意,得 a=2c,b= 3 c,则椭圆 E 为:
22
2243
xy
cc =1,
联立
22
2
43
142
y cx
xy
,得 x2-2x+4-3c2=0,
∵直线
42
xy =1 与椭圆 E 有且仅有一个交点 M,
∴△=4-4(4-3c2)=0,得 c2=1,
∴椭圆 E 的方程为
22
43
xy =1;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 M(1, 3
2
),
∵直线 =1 与 y 轴交于 P(0,2),∴|PM|2= 5
4
,
当直线 l 与 x 轴垂直时,|PA|·|PB|=(2+ )(2- )=1,
由λ|PM|2=|PA|·|PB|,得λ= 4
5
,
当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立 22
2
3 4 12 0
y kx
xy
,得(3+4k2)x2+16kx+4=0,
依题意得,x1x2= 2
4
34k
,且△=48(4k2-1)>0,
∴|PA||PB|=(1+k2)x1x2=(1+k2)· =1+ 2
1
34k
= 5
4
λ,
∴λ= 4
5
(1+ ),
∵k2> 1
4
,∴ <λ<1,
综上所述,λ的取值范围是[ ,1).
21.已知函数 f(x)=ex- 1
2
ax2(x>0,e 为自然对数的底数),f′(x)是 f(x)的导函数.
(Ⅰ)当 a=2 时,求证 f(x)>1;
(Ⅱ)是否存在正整数 a,使得 f′(x)≥x2lnx 对一切 x>0 恒成立?若存在,求出 a 的最大值;
若不存在,说明理由.
解析:(Ⅰ)求出函数的导数,根据函数的单调性证明即可;
(Ⅱ)求出函数的导数,得到 a≤e,问题转化为证明当 a=2 时,不等式恒成立,设 g(x)= 2
2xe
xx
-lnx,根据函数的单调性证明即可.
答案:(Ⅰ)证明:当 a=2 时,f(x)=ex-x2,则 f′(x)=ex-2x,
令 f1(x)=f′(x)=ex-2x,则 f′1(x)=ex-2,
令 f′1(x)=0,得 x=ln2,故 f′(x)在 x=ln2 时取得最小值,
∵f′(ln2)=2-2ln2>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,
∴f(x)>f(0)=1;
(Ⅱ)f′(x)=ex-ax,
由 f′(x)≥x2lnx,得 ex-ax≥x2lnx 对一切 x>0 恒成立,
当 x=1 时,可得 a≤e,所以若存在,则正整数 a 的值只能取 1,2.
下面证明当 a=2 时,不等式恒成立,
设 g(x)= 2
2xe
xx -lnx,则 g′(x)=
3 2 3
22 21 xx x e xxe
x x x x
,
由(Ⅰ)ex>x2+1≥2x>x,∴ex-x>0(x>0),
∴当 0<x<2 时,g′(x)<0;当 x>2 时,g′(x)>0,
即 g(x)在(0,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数,
∴g(x)≥g(2)= 1
4
(e2-4-4ln2)> (2.72-4-4ln2)> (3-ln16)>0,
∴当 a=2 时,不等式恒成立,
所以 a 的最大值是 2.
请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修 4-4:坐
标系与参数方程]
22.已知直线 l 的参数方程为
11 2
33
xt
yt
(t 为参数)以坐标原点 O 为极点,以 x 轴正半轴
为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的方程为 sinθ- 3 ρcos2θ=0.
(Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程;
(Ⅱ)写出直线 l 与曲线 C 交点的一个极坐标.
解析:(Ⅰ)利用极坐标与直角坐标互化方法,求曲线 C 的直角坐标方程;
(Ⅱ)将 ,代入 y- x2=0 得, + t- (1+ 1
2
t)2=0,求出交点坐标,
即可直线 l 与曲线 C 交点的一个极坐标.
答案:(Ⅰ)∵sinθ- ρcos2θ=0,∴ρsinθ- ρ2cos2θ=0,
即 y- x2=0;
(Ⅱ)将 ,代入 y-3 2=0 得, + t- (1+ t)2=0,即 t=0,
从而,交点坐标为(1, ),
所以,交点的一个极坐标为(2,
3
).
[选修 4-5:不等式选讲]
23.已知函数 f(x)=|x-m|-|x+3m|(m>0).
(Ⅰ)当 m=1 时,求不等式 f(x)≥1 的解集;
(Ⅱ)对于任意实数 x,t,不等式 f(x)<|2+t|+|t-1|恒成立,求 m 的取值范围.
解析:(Ⅰ)将 m=1 的值带入,得到关于 x 的不等式组,求出不等式的解集即可;
(Ⅱ)问题等价于对任意的实数 xf(x)<[|2+t|+|t-1|]min 恒成立,根据绝对值的性质求出 f(x)
的最大值以及[|2+t|+|t-1|]min,求出 m 的范围即可.
答案:(Ⅰ)f(x)=|x-m|-|x+3m|=
4
2 2 3
43
m x m
x m m x m
m x m
< < ,
当 m=1 时,由 2 2 1
31
x
x
< < 或 x≤-3,得到 x≤- 3
2
,
∴不等式 f(x)≥1 的解集为{x|x≤- 3
2
};
(Ⅱ)不等式 f(x)<|2+t|+|t-1|对任意的实数 t,x 恒成立,
等价于对任意的实数 xf(x)<[|2+t|+|t-1|]min 恒成立,
即[f(x)]max<[|2+t|+|t-1|]min,
∵f(x)=|x-m|-|x+3m|≤|(x-m)-(x+3m)|=4m,
|2+t|+|t-1|≥|(2+t)-(t-1)|=3,
∴4m<3 又 m>0,所以 0<m< 3
4
.
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