山东专用2021版高考数学一轮复习第8章解析几何第2讲两条直线的位置关系课件 55页

第八章 解析几何 第二讲　两条直线的位置关系 1 　　知识梳理 • 双基自测 2 　 　 考点突破 • 互动探究 3 　 　 名师讲坛 • 素养提升 知识梳理 • 双基自测 知识点一　两条直线的位置关系 平面内两条直线的位置关系包括 ____________________ 三种情况． (1) 两条直线平行 对于直线 l 1 ： y ＝ k 1 x ＋ b 1 ， l 2 ： y ＝ k 2 x ＋ b 2 ， l 1 ∥ l 2 ⇔ k 1 ＝ k 2 ，且 b 1 ≠ b 2 . 对于直线 l 1 ： A 1 x ＋ B 1 y ＋ C 1 ＝ 0 ， l 2 ： A 2 x ＋ B 2 y ＋ C 2 ＝ 0 ， l 1 ∥ l 2 ⇔ A 1 B 2 － A 2 B 1 ＝ 0 ，且 B 1 C 2 － B 2 C 1 ≠0( 或 A 1 C 2 － A 2 C 1 ≠0) ． (2) 两条直线垂直 对于直线 l 1 ： y ＝ k 1 x ＋ b 1 ， l 2 ： y ＝ k 2 x ＋ b 2 ， l 1 ⊥ l 2 ⇔ k 1 · k 2 ＝－ 1. 对于直线 l 1 ： A 1 x ＋ B 1 y ＋ C 1 ＝ 0 ， l 2 ： A 2 x ＋ B 2 y ＋ C 2 ＝ 0 ， l 1 ⊥ l 2 ⇔ _____________. 平行、相交、重合　 A 1 A 2 ＋ B 1 B 2 ＝ 0 　 唯一解　 无解　 无数个解　 1 ．求解距离问题的规律 运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线间的距离公式时，需先把两平行线方程中 x ， y 的系数化为相同的形式． 2 ．对称问题的求解规律 (1) 中心对称：转化为中点问题处理． (2) 轴对称：转化为垂直平分线问题处理．特殊地：点 P ( a ， b ) 关于直线 x ＋ y ＋ m ＝ 0 对称的点坐标为 ( － b － m ，－ a － m ) ，点 P ( a ， b ) 关于直线 x － y ＋ m ＝ 0 对称的点坐标为 ( b － m ， a ＋ m ) ． BD 题组二　走进教材 2 ． ( 课本习题改编 ) 过点 (1,0) 且与直线 x － 2 y － 2 ＝ 0 平行的直线方程是 ( 　　 ) A ． x － 2 y － 1 ＝ 0 　 B ． x － 2 y ＋ 1 ＝ 0 C ． 2 x ＋ y － 2 ＝ 0 　 D ． x ＋ 2 y － 1 ＝ 0 A 　 C 　 题组三　考题再现 4 ． (2019 · 江西抚州七校联考 ) 过点 (2,1) 且与直线 3 x － 2 y ＝ 0 垂直的直线方程为 ( 　　 ) A ． x － 3 y － 1 ＝ 0 　 B ． 2 x ＋ 3 y － 7 ＝ 0 C ． 3 x － 2 y － 4 ＝ 0 　 D ． 3 x ＋ 2 y － 8 ＝ 0 B 　 5 ． (2019 · 广东江门模拟 ) “ a ＝ 2 ” 是 “ 两直线 ax ＋ 3 y ＋ 2 a ＝ 0 和 2 x ＋ ( a ＋ 1) y － 2 ＝ 0 平行 ” 的 ( 　　 ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 A 　 考点突破 • 互动探究 　　　　 　 (1) (2019 · 高安期中 ) 经过抛物线 y 2 ＝ 2 x 的焦点且平行于直线 3 x － 2 y ＋ 5 ＝ 0 的直线 l 的方程是 ( 　　 ) A ． 6 x － 4 y － 3 ＝ 0 B ． 3 x － 2 y － 3 ＝ 0 C ． 2 x ＋ 3 y － 2 ＝ 0 D ． 2 x ＋ 3 y － 1 ＝ 0 (2) “ m ＝ 3 ” 是 “ 直线 l 1 ： 2( m ＋ 1) x ＋ ( m － 3) y ＋ 7 － 5 m ＝ 0 与直线 l 2 ： ( m － 3) x ＋ 2 y － 5 ＝ 0 垂直 ” 的 ( 　　 ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 考点一　两条直线平行、垂直的关系 —— 自主练透 A 　 例 1 A 　 (3) (2019 · 宁夏模拟 ) 若直线 l 1 ： x ＋ 2 my － 1 ＝ 0 与 l 2 ： (3 m － 1) x － my － 1 ＝ 0 平行，则实数 m 的值为 __________ ． (4)( 多选题 ) 等腰直角三角形斜边的中点是 M (4,2) ，一条直角边所在直线的方程为 y ＝ 2 x ，则另外两边所在直线的方程为 ( 　 　 ) A ． 3 x ＋ y － 14 ＝ 0 B ． x ＋ 2 y － 2 ＝ 0 C ． x － 3 y ＋ 2 ＝ 0 D ． x ＋ 2 y － 14 ＝ 0 CD 　 (1) 当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意 x ， y 的系数不能同时为零这一隐含条件． (2) 在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． D 　 B 　 考点二　两直线的交点、距离问题 —— 师生共研 例 2 2 或－ 6 　 距离的求法 (1) 点到直线的距离： 可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． (2) 两平行直线间的距离： ① 利用 “ 化归 ” 法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离； ② 利用两平行线间的距离公式． 提醒： 在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使 x 、 y 的系数分别相等． AC 　 C 　 角度 1 　线关于点的对称 　　　　　 (2020 · 河北五校联考 ) 直线 ax ＋ y ＋ 3 a － 1 ＝ 0 恒过定点 M ，则直线 2 x ＋ 3 y － 6 ＝ 0 关于 M 点对称的直线方程为 ( 　　 ) A ． 2 x ＋ 3 y － 12 ＝ 0 B ． 2 x － 3 y － 12 ＝ 0 C ． 2 x － 3 y ＋ 12 ＝ 0 D ． 2 x ＋ 3 y ＋ 12 ＝ 0 考点三　对称问题 —— 多维探究 D 　 例 3 角度 2 　点关于线的对称 (2019 · 长沙一模 ) 已知入射光线经过点 M ( － 3,4) ，被直线 l ： x － y ＋ 3 ＝ 0 反射，反射光线经过点 N (2,6) ，则反射光线所在直线的方程为 _______________. 例 4 6 x － y － 6 ＝ 0 　 [ 引申 ] 本例中入射光线所在直线的方程为 ________________. x － 6 y ＋ 27 ＝ 0 　 角度 3 　线关于线的对称 　　　　　 (2019 · 合肥模拟 ) 已知直线 l ： x － y － 1 ＝ 0 ， l 1 ： 2 x － y － 2 ＝ 0. 若直线 l 2 与 l 1 关于 l 对称，则 l 2 的方程是 ( 　　 ) A ． x － 2 y ＋ 1 ＝ 0 B ． x － 2 y － 1 ＝ 0 C ． x ＋ y － 1 ＝ 0 D ． x ＋ 2 y － 1 ＝ 0 例 5 B 　 〔 变式训练 3〕 已知直线 l ： 2 x － 3 y ＋ 1 ＝ 0 ，点 A ( － 1 ，－ 2) ．求： (1) ( 角度 2) 点 A 关于直线 l 的对称点 A ′ 的坐标； (2) ( 角度 3) 直线 m ： 3 x － 2 y － 6 ＝ 0 关于直线 l 的对称直线 m ′ 的方程； (3) ( 角度 1) 直线 l 关于点 A ( － 1 ，－ 2) 对称的直线 l ′ 的方程． 名师讲坛 • 素养提升 　　　　 　 (1) 求证：动直线 ( m 2 ＋ 2 m ＋ 3) x ＋ (1 ＋ m － m 2 ) y ＋ 3 m 2 ＋ 1 ＝ 0( 其中 m ∈ R ) 恒过定点，并求出定点坐标． (2) 求经过两直线 l 1 ： x － 2 y ＋ 4 ＝ 0 和 l 2 ： x ＋ y － 2 ＝ 0 的交点 P ，且与直线 l 3 ： 3 x － 4 y ＋ 5 ＝ 0 垂直的直线 l 的方程． 巧用直线系求直线方程 例 6 [ 引申 ] 若将本例 (2) 中的“垂直”改为“平行”，则直线 l 的方程为 ________________. 3 x － 4 y ＋ 8 ＝ 0 　 1 ． 确定方程含参数的直线所过定点的方法： (1) 将直线方程写成点斜式 y － y 0 ＝ f ( λ )( x － x 0 ) ， 从而确定定点 ( x 0 ， y 0 ) ； (2) 将直线方程整理成关于参数的方程，由方程中各项系数及常数项为 0 确定定点； (3) 给参数取两个不同值，再解直线方程构成的方程组，从而确定定点坐标． 2 ． 直线系的主要应用 (1) 共点直线系方程：经过两直线 l 1 ： A 1 x ＋ B 1 y ＋ C 1 ＝ 0 ， l 2 ： A 2 x ＋ B 2 y ＋ C 2 ＝ 0 交点的直线系方程为 A 1 x ＋ B 1 y ＋ C 1 ＋ λ ( A 2 x ＋ B 2 y ＋ C 2 ) ＝ 0 ，其中 A 1 B 2 － A 2 B 1 ≠ 0 ，待定系数 λ ∈ R . 在这个方程中，无论 λ 取什么实数，都得不到 A 2 x ＋ B 2 y ＋ C 2 ＝ 0 ，因此它不能表示直线 l 2 ． (2) 过定点 ( x 0 ， y 0 ) 的直线系方程为 y － y 0 ＝ k ( x － x 0 )( k 为参数 ) 及 x ＝ x 0 ． (3) 平行直线系方程：与直线 y ＝ kx ＋ b 平行的直线系方程为 y ＝ kx ＋ m ( m 为参数且 m ≠ b ) ；与直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 平行的直线系方程是 Ax ＋ By ＋ λ ＝ 0( λ ≠ C ， λ 是参数 ) ． (4) 垂直直线系方程：与直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0( A ≠ 0 ， B ≠ 0) 垂直的直线系方程是 Bx － Ay ＋ λ ＝ 0( λ 为参数 ) ． 如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，那么可选用直线系方程来求解． D 　 5 x － 12 y ＋ 32 ＝ 0 或 5 x － 12 y － 20 ＝ 0