高中数学必修1教案：第三章（第2课时）数列的概念2 6页

课 题：3.1 数列的概念（二）‎ 教学目的：‎ ‎1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；‎ ‎2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项；‎ ‎3．理解数列的前n项和与的关系；‎ ‎4．会由数列的前n项和公式求出其通项公式.‎ 教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项 教学难点：理解递推公式与通项公式的关系 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：    由于并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展递推是数学里的一个非常重要的概念和方法在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式但是，这项内容也是极易膨胀的，例如研究用递推公式给出的数列的性质，从数列的递推公式推导通项公式等，这样就会加重学生负担考虑到学生是在高一学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要能初步体会一下用递推方法给出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了 教学过程：‎ 一、复习引入：上节学习知识点如下 ‎⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.‎ 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；‎ ‎⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.‎ ‎⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….‎ ‎⒊数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第n项 ‎⒋ 数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.‎ ‎5．数列的图像都是一群孤立的点.‎ ‎6．数列有三种表示形式：列举法，通项公式法和图象法.‎ ‎7． 有穷数列：项数有限的数列.例如，数列①是有穷数列.‎ ‎8． 无穷数列：项数无限的数列.‎ ‎ 二、讲解新课： ‎ 知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．‎ ‎ 观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．‎ ‎ 模型一：自上而下：‎ ‎ 第1层钢管数为4；即：14＝1+3‎ ‎ 第2层钢管数为5；即：25＝2+3‎ ‎ 第3层钢管数为6；即：36＝3+3‎ ‎ 第4层钢管数为7；即：47＝4+3‎ ‎ 第5层钢管数为8；即：58＝5+3‎ ‎ 第6层钢管数为9；即：69＝6+3‎ ‎ 第7层钢管数为10；即：710＝7+3‎ 若用表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且≤n≤7）‎ 运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便 让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）‎ 模型二：上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1‎ 即；；‎ 依此类推：（2≤n≤7）‎ 对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要 定义：‎ ‎1．递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公 式就叫做这个数列的递推公式 说明：递推公式也是给出数列的一种方法 如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89‎ 递推公式为：‎ ‎2．数列的前n项和：‎ 数列中，称为数列的前n项和，记为. ‎ 表示前1项之和：=‎ ‎ 表示前2项之和：=‎ ‎……‎ 表示前n-1项之和：=‎ 表示前n项之和：=.‎ ‎∴当n≥1时才有意义；当n-1≥1即n≥2时才有意义.‎ ‎3．与之间的关系：‎ 由的定义可知，当n=1时，=；当n≥2时，=-，‎ 即=.‎ 说明：数列的前n项和公式也是给出数列的一种方法.‎ 三、例题讲解 例1已知数列的第1项是1，以后的各项由公式给出，写出这个数列的前5项 分析：题中已给出的第1项即，递推公式：‎ 解：据题意可知：‎ ‎ ‎ 例2已知数列中，≥3），试写出数列的前4项 解：由已知得 ‎ 例3已知， 写出前5项，并猜想． ‎ 法一： ，观察可得 ‎ 法二：由 ∴ 即 ‎ ∴ ‎ ‎ ∴ ‎ 例4 已知数列的前n项和，求数列的通项公式：‎ ‎⑴ =n+2n； ⑵ =n-2n-1.‎ 解：⑴①当n≥2时，=-=(n+2n)-[(n-1)+2(n-1)]=2n+1；‎ ‎②当n=1时，==1+2×1=3；‎ ‎③经检验，当n=1时，2n+1=2×1+1=3，‎ ‎∴=2n+1为所求.‎ ‎⑵①当n≥2时，=-=(n-2n-1)-[(n-1)+2(n-1)-1]=2n-3；‎ ‎②当n=1时，==1-2×1-1=-2；‎ ‎③经检验，当n=1时，2n-3=2×1-3=-1≠-2，‎ ‎∴=为所求.‎ 四、练习：‎ ‎1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式 ‎(1) ＝0, ＝＋(2n－1) (n∈N)；‎ ‎(2) ＝1, ＝ (n∈N)；‎ ‎(3) ＝3, ＝3－2 (n∈N).‎ ‎ 解：(1) ＝0, ＝1, ＝4, ＝9, ＝16, ∴ ＝(n－1);‎ ‎(2) ＝1,＝,＝, ＝, ＝, ∴ ＝;‎ ‎(3) ＝3＝1+2, ＝7＝1+2, ＝19＝1+2, ‎ ‎＝55＝1+2, ＝163＝1+2, ∴ ＝1＋2·3;‎ ‎ 2． ．已知下列各数列的前n项和的公式，求的通项公式 ‎(1) ＝2n－3n; (2) ＝－2.‎ ‎ 解：(1) ＝－1, ‎ ‎=-＝2n－3n－[2(n－1)－3(n－1)]＝4n－5, ‎ 又符合＝4·1－5, ∴ ＝4n－5;‎ ‎(2) ＝1, =-＝－2－(－2)＝2·, ‎ ‎∴＝‎ 五、小结 本节课学习了以下内容：‎ ‎1．递推公式及其用法；‎ ‎2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.‎ ‎ 3．的定义及与之间的关系 六、课后作业：‎ ‎1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项 ‎=1, =+（n≥2）‎ 解：由=1, =+（n≥2）,‎ 得=1, =+=2, =+,‎ ‎=+,=+‎ ‎2．已知=an+bn+c，求数列的通项公式 答案：=‎ 七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎